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1、第九章第九章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法本征值问题本征值问题1.特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程2.常点邻域上的级数解法常点邻域上的级数解法3.正则奇点邻域上的级数解法正则奇点邻域上的级数解法4.施图姆施图姆-刘维尔本征值问题刘维尔本征值问题(自学自学)11.特殊函数常微分方程特殊函数常微分方程 1.Laplace1.Laplace方程方程 2.2.波动方程波动方程 3.3.输运方程输运方程 4.4.亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 2(1)球坐标系中的表示球坐标系中的表示 球坐标系中的球坐标系中的Laplace方程为方程为 1.Laplace方程方程首先将首先将r r与方向变数
2、分离开，设与方向变数分离开，设假设常数为假设常数为l l(l+l+1),1),得得3Y Y与半径与半径r r无关，故称为球面函数，简称无关，故称为球面函数，简称球函数球函数，因此，因此它的方程称为它的方程称为球函数方程球函数方程。解关于解关于R的方程的方程4将球函数方程进一步分离变数，有将球函数方程进一步分离变数，有第第一一个个方方程程加加上上自自然然周周期期条条件件构构成成本本征征值值问问题题，本本征征值为值为对应的本征函数为对应的本征函数为这时，另一个方程为这时，另一个方程为5作变换，有作变换，有于是，方程为于是，方程为6即即这称为这称为L L阶连带勒让德方程阶连带勒让德方程，特例为，特例
3、为m=0m=0，有有称为称为L L阶勒让德方程阶勒让德方程。注意：此处的注意：此处的x x不是直角坐标系中的不是直角坐标系中的x x，而是而是7(2)(2)柱坐标系柱坐标系柱坐标系中的柱坐标系中的LaplaceLaplace方程为方程为设具有分离变数形式的解为设具有分离变数形式的解为代入后，得代入后，得8第二个方程变为第二个方程变为得得9讨论讨论：(i)i)：R R的方程是一个欧拉方程，解为的方程是一个欧拉方程，解为(ii)(ii)：对：对R R的方程作代换的方程作代换方程化为方程化为注意注意:这里的这里的x不是直角坐标系里的不是直角坐标系里的x。10或者写为或者写为这称为这称为m m阶贝塞尔
4、方程阶贝塞尔方程。该方程以后讨论，该方程以后讨论，Z Z的解为的解为(iii)(iii)：通常记，通常记，Z Z的解为的解为对对R R有方程作代换有方程作代换11这称为这称为虚宗量贝塞尔方程虚宗量贝塞尔方程，只要把贝塞尔方程的自变只要把贝塞尔方程的自变量量x x用用ixix代换，就将贝塞尔方程变为虚宗量贝塞尔方程。代换，就将贝塞尔方程变为虚宗量贝塞尔方程。前面，对三维前面，对三维LaplaceLaplace方程，在球坐标系中，由方程，在球坐标系中，由的方程导出的方程导出L L阶勒让德方程，柱坐标系中，由阶勒让德方程，柱坐标系中，由R R的方程的方程在两种情况下分别导出贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方
5、在两种情况下分别导出贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程。程。2.2.波动方程波动方程前面讨论波动方程等是在一维情况下，现在讨论三维前面讨论波动方程等是在一维情况下，现在讨论三维情况情况(空间空间)。波动方程为。波动方程为12分离变数得分离变数得代入方程并分离得代入方程并分离得关于关于T T的方程的解为的方程的解为关于关于v v的偏微分方程称为的偏微分方程称为亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程。关于亥姆霍兹。关于亥姆霍兹方程以后讨论。方程以后讨论。133.3.输运方程输运方程三维输运方程为三维输运方程为和对三维波动方程的讨论一样，设和对三维波动方程的讨论一样，设有有与三维波动方程比较，关于空间部分都是亥姆霍兹方
6、与三维波动方程比较，关于空间部分都是亥姆霍兹方程，不同的只是程，不同的只是T T的方程，这里，的方程，这里，T T的方程是一阶的，的方程是一阶的，解为解为144.4.亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程与拉氏方程比较，亥姆霍兹方程多了一项与拉氏方程比较，亥姆霍兹方程多了一项仍采用对拉氏方程的讨论方法。仍采用对拉氏方程的讨论方法。(1)球坐标系球坐标系亥姆霍兹方程在球坐标系中的表达式为亥姆霍兹方程在球坐标系中的表达式为同样，设试探解同样，设试探解代入整理后得代入整理后得15与与LaplaceLaplace方程时的情况比较，仅是方程时的情况比较，仅是R R的方程不同，的方程不同，R R的方程可写为的方程可写为
7、16称为称为L L阶的球贝塞尔方程阶的球贝塞尔方程。作代换。作代换得到得到这称这称L L+1/2+1/2阶的贝塞尔方程阶的贝塞尔方程。当当k=0k=0时，方程则退化为时，方程则退化为欧拉型方程。欧拉型方程。(2)(2)柱坐标系柱坐标系柱坐标系中的亥姆霍兹方程为柱坐标系中的亥姆霍兹方程为17设具有分离变数形式的解为设具有分离变数形式的解为代入方程后，一步步的分离，引入常数代入方程后，一步步的分离，引入常数 ，最，最后得后得第一个方程与自然周期条件一起构成的本征值问题第一个方程与自然周期条件一起构成的本征值问题:18令令则则R R的方程化为的方程化为再考虑作代换，则有再考虑作代换，则有m m阶贝塞
8、尔方程阶贝塞尔方程19关于这一部分的总结，见关于这一部分的总结，见P236P236说明：在前面讨论波动方程、输运方程时，使用分离说明：在前面讨论波动方程、输运方程时，使用分离变数法，常数，按讨论时的情况，是不能这样选变数法，常数，按讨论时的情况，是不能这样选取的，因为在实数范围内，该常数只能大于等于零。取的，因为在实数范围内，该常数只能大于等于零。后面我们将会看到，由于齐次边界条件中，只能这样后面我们将会看到，由于齐次边界条件中，只能这样选值。选值。209.2 常点邻域上的级数解法常点邻域上的级数解法级数解法引入级数解法引入:对分离变数法得到的二阶常维分方程对分离变数法得到的二阶常维分方程,考
9、虑在初始考虑在初始条件下的求解方法条件下的求解方法.即即:是指定点，为常数。是指定点，为常数。级数解法思想级数解法思想：在某个任选点的邻域上，待求解表：在某个任选点的邻域上，待求解表为系数待定的级数，将此级数带入方程和初始条件，为系数待定的级数，将此级数带入方程和初始条件，确定待定系数，最后得到解确定待定系数，最后得到解。21不失一般性，讨论复变函数的线性二阶常微分方程不失一般性，讨论复变函数的线性二阶常微分方程是指定点，为复常数。是指定点，为复常数。(1)(1)级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。级数解法是一个比较普遍的方法，对方程无特殊的要求。(2)(2)对于级数，存在是否收
10、敛和收敛范围的问题。用级数解法要选对于级数，存在是否收敛和收敛范围的问题。用级数解法要选(3)(3)定某个点定某个点 作展开中心，得到的解是以作展开中心，得到的解是以 为中心的幂级数。为中心的幂级数。(4)(4)另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只在收敛圆内部才有另外还必须确定幂级数的收敛圆，级数解只在收敛圆内部才有(5)(5)意义。意义。说明：说明：22一一.方程的常点和奇点方程的常点和奇点若方程若方程的系数的系数 在某点解析，则该点称为方程在某点解析，则该点称为方程的的常点常点，若该点是的奇点，则该点称为，若该点是的奇点，则该点称为方程的方程的奇点奇点。二二.常点邻域上的级数解常点邻域上
11、的级数解定理：定理：若方程的系数为点若方程的系数为点 的邻域的邻域 中中 的解析函数，则方程在这个圆中存在唯的解析函数，则方程在这个圆中存在唯一的解析解满足初值条件一的解析解满足初值条件其中为任意给定的复常数。其中为任意给定的复常数。23根据定理及复变函数理论，可以在常点邻域内将此唯根据定理及复变函数理论，可以在常点邻域内将此唯一的解析解展开为泰勒级数一的解析解展开为泰勒级数该级数的系数是待定的。该级数的系数是待定的。确定系数的方法：确定系数的方法：将级数解代入方程，合并同幂项，将级数解代入方程，合并同幂项，然后令合并后的各系数分别为零，得到系数间的递推然后令合并后的各系数分别为零，得到系数间
12、的递推关系，最后用已给的初值确定各系数，最后得到确定关系，最后用已给的初值确定各系数，最后得到确定的级数解。的级数解。24三三.勒让德方程自然边界条件勒让德方程自然边界条件(1)(1)勒让德方程的级数解勒让德方程的级数解在的邻域上求解在的邻域上求解l l阶勒让德方程阶勒让德方程给定点给定点为方程的常点，根据常点邻域上解的定理，解为方程的常点，根据常点邻域上解的定理，解具有形式具有形式25代入代入L L阶勒让德方程，通常作成表阶勒让德方程，通常作成表合并同幂系数，令合并后的各系数为合并同幂系数，令合并后的各系数为0 0得一系列的方程得一系列的方程26可得系数的递推公式可得系数的递推公式27由递推
13、公式可见，解的泰勒级数展开式的系数可以由递推公式可见，解的泰勒级数展开式的系数可以用用表示，即有表示，即有 含偶次幂，是偶函数含偶次幂，是偶函数;只含奇次幂，是奇函数。只含奇次幂，是奇函数。两个级数的收敛半径均为两个级数的收敛半径均为1 1。28(2)级数解在是否收敛级数解在是否收敛在勒让德方程中，对余弦函数，其绝对值在勒让德方程中，对余弦函数，其绝对值是小于等于是小于等于1的，实数范围内不存在大于的，实数范围内不存在大于1的情况，的情况，只关心等于只关心等于+1，-1的情况。的情况。附录四中证明两个级数各在两点都是发散的。可以附录四中证明两个级数各在两点都是发散的。可以用反证法证明勒让德方程
14、在用反证法证明勒让德方程在+1，-1两点均有限的级两点均有限的级数解不存在。见数解不存在。见P241但有很多定解问题要求在上述两有有限解但有很多定解问题要求在上述两有有限解出路出路：将将级数截断为多项式级数截断为多项式，必有限。，必有限。29(3)(3)退化为多项式的可能性退化为多项式的可能性从从 可以推出可以推出当参数当参数L L=2n=2n时，则级数时，则级数 只到为止。只到为止。当参数当参数L L=2n+1=2n+1时，则级数时，则级数 只到为止。只到为止。综上，当综上，当L L为为0 0和正整数时，两级数中总有一个会退化为一和正整数时，两级数中总有一个会退化为一个个L L多项式，该多项
15、式称为多项式，该多项式称为勒让德多项式勒让德多项式。当级数退化为多项式时，自然在当级数退化为多项式时，自然在+1+1，-1-1点是有限值。点是有限值。30(4)自然边界条件自然边界条件勒让德方程的自然边界条件为勒让德方程的自然边界条件为勒让德方程与自然边界条件一起构成本征值问题，本勒让德方程与自然边界条件一起构成本征值问题，本征值是征值是本征函数则是本征函数则是L阶勒让德多项式。阶勒让德多项式。31P243:2,3,5P243:2,3,5329.3 正则奇点邻域上的级数解法正则奇点邻域上的级数解法1.1.奇点邻域上的级数解奇点邻域上的级数解奇点邻域上的级数解的定理：奇点邻域上的级数解的定理：若
16、点为方程的奇点，则方程在该点的邻域若点为方程的奇点，则方程在该点的邻域上，方程上，方程 存在两个线性独立解，其形式为存在两个线性独立解，其形式为33或或其中，其中，为常数。为常数。说明：说明：此定理只给出一个一般性的论断，并未提供确定级此定理只给出一个一般性的论断，并未提供确定级数系数的方法，且一般情况下，确定这些常数是有困数系数的方法，且一般情况下，确定这些常数是有困难的。这里不讨论。难的。这里不讨论。342.2.正则奇点邻域上的级数解正则奇点邻域上的级数解正则奇点正则奇点:若方程在奇点邻域上的两个线性独立的级数解全都具若方程在奇点邻域上的两个线性独立的级数解全都具有有限个负幂项，则该奇点称
17、为方程的有有限个负幂项，则该奇点称为方程的正则奇点正则奇点。若是系数的不高于一阶的极点若是系数的不高于一阶的极点,且是系数且是系数 的的 的不高于二阶的极点，即的不高于二阶的极点，即则该点是方程的正则奇点。则该点是方程的正则奇点。35kskkzzbzzzAwzw+=-+-=2)()ln()()(00012在的邻域上，方程有两个线性独在的邻域上，方程有两个线性独立解，级数表达式为立解，级数表达式为:36 是判定方程是判定方程的的2 2个根个根,较小的为。较小的为。当时，是第一个式子，否则为第二个式当时，是第一个式子，否则为第二个式子（此种情况下，也有子（此种情况下，也有A A为为0 0的可能）。
18、的可能）。其中其中373.3.贝塞尔方程贝塞尔方程(1)(1)阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程考虑情况考虑情况不等于整数或半奇数不等于整数或半奇数贝塞尔方程贝塞尔方程的级数解。的级数解。给定点是方程的正则奇点，给定点是方程的正则奇点，,设方程的设方程的级数解为级数解为38将此级数代入方程，合并同幂次的项，列表后合并，将此级数代入方程，合并同幂次的项，列表后合并，可以得到可以得到由于级数中由于级数中第一项的系数第一项的系数要求不为零，由此得到的即要求不为零，由此得到的即是判定方程。从后面第三个式子开始，得到系数的递是判定方程。从后面第三个式子开始，得到系数的递推公式为推公式为39 A:时的解的情况时的解
19、的情况 可得各系数为可得各系数为由递推公式由递推公式4041 阶贝塞尔方程的一个特解阶贝塞尔方程的一个特解为为:该级数的收敛半径为无限该级数的收敛半径为无限通常，取通常，取把这个解称为阶贝塞尔函数把这个解称为阶贝塞尔函数得得:42 B:时的解的情况时的解的情况贝塞尔方程的另一个特解为贝塞尔方程的另一个特解为:级数的收敛半径为无限，通常取系数级数的收敛半径为无限，通常取系数这个解称为贝塞尔函数这个解称为贝塞尔函数43由由A.B得得 阶贝塞尔方程的通解是阶贝塞尔方程的通解是:(2)半奇数半奇数(+1/2)阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程 在点的邻域上求半奇数阶贝塞尔方程在点的邻域上求半奇数阶贝塞尔方程给定
20、点是方程的正则奇点给定点是方程的正则奇点,l=0时时:转化为转化为 阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程l44时方程的一个解为时方程的一个解为:再利用再利用gamma函数函数45由于判定方程两根之差为由于判定方程两根之差为1 1，第二个特解的形式为，第二个特解的形式为代入贝塞尔方程代入贝塞尔方程第二个特解为第二个特解为阶贝塞尔方程的通解为阶贝塞尔方程的通解为46l0时时:半奇数阶贝塞尔方程的通解为半奇数阶贝塞尔方程的通解为47(3)(3)整数整数m m阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程在点的邻域上求解整数在点的邻域上求解整数m m阶贝塞尔方程阶贝塞尔方程判定方程的两个根为判定方程的两个根为+m,-m+m,-m大根对应的特解为大根对应的特解为m m阶贝塞阶贝塞尔函数尔函数对应于小根的，对应于小根的，特解为特解为m m阶的诺伊曼函数，定义为阶的诺伊曼函数，定义为:48(4)x=0(4)x=0处的自然边界条件处的自然边界条件对贝塞尔函数和诺伊曼函数在对贝塞尔函数和诺伊曼函数在x x趋于趋于0 0时，有时，有因此因此,存在自然边界条件，当包含存在自然边界条件，当包含x=0 x=0的点时，由于要的点时，由于要求解有限，只能是求解有限，只能是的线性叠加。的线性叠加。49