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1、目录 上页 下页 返回 结束 第二章 一、一、极限的四则运算法则极限的四则运算法则 二、二、复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 第四节第四节极限运算法则极限运算法则目录 上页 下页 返回 结束 一、一、极限的四则运算法则极限的四则运算法则则有证证:因则有(其中为无穷小)于是 因为是无穷小,再利用极限与无穷小量的关系定理,知定理结论成立.定理定理 1.若（微积分的（微积分的“序序”：运算顺序的交换）运算顺序的交换）目录 上页 下页 返回 结束 推论推论:若且则说明说明:定理定理 1可推广到有限个函数相加、减的情形可推广到有限个函数相加、减的情形.提示提示:令目录 上页 下页 返回 结束
2、 定理定理 2.若则有提示提示:利用极限与无穷小关系定理证明.说明说明:定理 2 可推广到有限个函数相乘的情形.推论推论 1.(C 为常数)推论推论 2.(n 为正整数)则有推论推论 3.若目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小定理定理 3.若且 B0,则有证证:因有其中设无穷小有界由极限与无穷小关系定理,得因此 为无穷小,目录 上页 下页 返回 结束 注意公式使用的条件！注意公式使用的条件！目录 上页 下页 返回 结束 定理定理4.若则有提示提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理 可由定理1,2,3 直接得出结论.目录 上页 下页 返回 结束 例例2.设 n 次多项式试证证证:直接求函数值
3、直接求函数值例例3.设有分式函数其中都是多项式,试证:证证:说明说明:若不能直接用商的运算法则.若目录 上页 下页 返回 结束 x=3 时分母为 0!例例4.分解因式，分解因式，约去零因子约去零因子为什么可以为什么可以约去约去x-3?目录 上页 下页 返回 结束 例例5.求解解:x=1 时,分母=0,分子0,但因将无穷大量转化为无穷小量研究。将无穷大量转化为无穷小量研究。目录 上页 下页 返回 结束 通分；通分；约去零因子约去零因子目录 上页 下页 返回 结束 有理化分子分母！有理化分子分母！目录 上页 下页 返回 结束 例例8.求解解:分子分母同除以则“抓大头抓大头”原式目录 上页 下页 返
4、回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数)无穷小分出法无穷小分出法:以分子分母中自变量的最高次幂以分子分母中自变量的最高次幂除分子除分子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 解例例目录 上页 下页 返回 结束 解例例问问 b 取何值时取何值时,存在存在,并求其值并求其值.若若 由函数的极限与其左、右极限的关系由函数的极限与其左、右极限的关系,得得 b=2,目录 上页 下页 返回 结束 故应当考虑左、右极限故应当考虑左、右极限.解解:(1)(1)例例目录 上页 下页 返回 结束 解：解：目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.是否存在?为什么?答答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.问目录 上页 下页 返回 结束 2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对不对!此处目录 上页 下页 返回 结束 3 设解解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故