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1、第第3 3章章 电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析l重点重点 熟练掌握电路方程的列写方法：熟练掌握电路方程的列写方法：支路电流法支路电流法 回路电流法回路电流法 节点电压法节点电压法下 页返 回l 线性电路的一般分析方法线性电路的一般分析方法 (1)普遍性：对任何线性电路都适用。普遍性：对任何线性电路都适用。复杂电路的一般分析法就是根据复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。可分为支路电流法、回路电流法和节点电压法。（2）元件
2、的电压、电流关系特性。元件的电压、电流关系特性。（1）电路的连接关系电路的连接关系KCL，KVL定律。定律。l 方法的基础方法的基础(2)系统性：计算方法有规律可循。系统性：计算方法有规律可循。下 页上 页返 回l 网络图论网络图论BDACDCBA哥尼斯堡七桥难题哥尼斯堡七桥难题 图论是拓扑学的一个分支，是富有图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。趣味和应用极为广泛的一门学科。下 页上 页返 回3.1 电路的图电路的图1.1.电路的图电路的图R4R1R3R2R5uS+_i抛开元抛开元件性质件性质一个元件作一个元件作为一条支路为一条支路元件的串联及并联元件的串联及并联组合作
3、为一条支路组合作为一条支路65432178543216有向图有向图下 页上 页返 回(1)(1)图的定义图的定义(Graph)G=支路，节点支路，节点 电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。路和结点与电路的支路和结点一一对应。a.a.图中的结点和支路各自是一个整体。图中的结点和支路各自是一个整体。b.b.移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。因此允许有孤立结点存在。c.c.如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。如把结点移去，则
4、应把与它联接的全部支路同时移去。下 页上 页返 回从图从图G G的一个节点出发沿着一些支路连续的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达另一节点所经过的支路构成路经。移动到达另一节点所经过的支路构成路经。(2)(2)路径路径 （3 3）连通图）连通图图图G G的任意两节点间至少有一条路经的任意两节点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。个分离部分。下 页上 页返 回(3)(3)子图子图 若图若图G1中所有支路和结点都是图中所有支路和结点都是图G中中的支路和结点，则称的支路和结点，则称G1是是G的子图。的子图。l 树树(Tree)T T是连通图的
5、一个子图满足下列条件：是连通图的一个子图满足下列条件：(1)(1)连通连通(2)(2)包含所有节点包含所有节点(3)(3)不含闭合路径不含闭合路径下 页上 页返 回树支：构成树的支路树支：构成树的支路连支：属于连支：属于G而不属于而不属于T的支路的支路2 2）树支的数目是一定的：）树支的数目是一定的：连支数：连支数：不不是是树树树树特点特点1）对应一个图有很多的树）对应一个图有很多的树下 页上 页返 回l 回路回路(Loop)L L是连通图的一个子图，构成一条闭合是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：路径，并满足：(1)(1)连通，连通，(2)(2)每个节点每个节点关联关联2 2条支路
6、条支路12345678253124578不是不是回路回路回路回路2 2）基本回路的数目是一定的，为连支数）基本回路的数目是一定的，为连支数特点特点1）对应一个图有很多的回路）对应一个图有很多的回路3 3）对于平面电路，网孔数为基本回路数）对于平面电路，网孔数为基本回路数下 页上 页返 回基本回路基本回路(单连支回路单连支回路)12345651231236支路数树枝数连支数支路数树枝数连支数结点数结点数1基本回路数基本回路数结论结论结点、支路和结点、支路和基本回路关系基本回路关系基本回路具有独占的一条连枝基本回路具有独占的一条连枝下 页上 页返 回例例87654321图示为电路的图，画出三种可能
7、的树及其对应的基图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。本回路。876586438243下 页上 页返 回l 割集割集Q(Cut set)Q是连通图是连通图G中支路的集合，具有下述性质：中支路的集合，具有下述性质：(1)(1)把把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。中全部支路移去，图分成二个分离部分。(2)(2)任意放回任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。中一条支路，仍构成连通图。876543219876543219割集：割集：（1 9 6）（）（2 8 9）（）（3 6 8）（）（4 6 7）（）（5 7 8）（3 6 5 8 7）（）（3 6 2 8）是割集吗？是割集吗？基
8、本割集基本割集只含有一个树枝的割集。割集数只含有一个树枝的割集。割集数n-1连支集合不能构成割集连支集合不能构成割集下 页上 页返 回3.2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数1.1.KCL的独立方程数的独立方程数654321432114324123 0 结论结论n个结点的电路个结点的电路,独立的独立的KCL方程为方程为n-1个。个。下 页上 页返 回2.2.KVL的独立方程数的独立方程数KVL的独立方程数的独立方程数=基本回路数基本回路数=b(n1)结结论论n个结点、个结点、b条支路的电路条支路的电路,独立的独立的KCL和和KVL方程数为：方程数为：下 页上 页返 回3.3 3.3 支
9、路电流法支路电流法 (branch current method)(branch current method)对于有对于有n n个节点、个节点、b b条支路的电路，要求解支路电条支路的电路，要求解支路电流流,未知量共有未知量共有b b个。只要列出个。只要列出b b个独立的电路方程，便个独立的电路方程，便可以求解这可以求解这b b个变量。个变量。以各支路电流为未知量列写电路方以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。程分析电路的方法。1 1.支路电流支路电流法法2 2.独立方程的列写独立方程的列写（1）从电路的）从电路的n个结点中任意选择个结点中任意选择n-1个结点列写个结点列写KCL方
10、程方程（2）选择基本回路列写）选择基本回路列写b-(n-1)个个KVL方程方程下 页上 页返 回R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234例例132有有6个支路电流，需列写个支路电流，需列写6个方程。个方程。KCL方程方程:取网孔为基本回路，沿顺时取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列针方向绕行列KVL写方程写方程:结合元件特性消去支路电压得：结合元件特性消去支路电压得：回路回路1回路回路2回路回路3123下 页上 页返 回支路电流法的一般步骤：支路电流法的一般步骤：(1)(1)标定各支路电流（电压）的参考方向；标定各支路电流（电压）的参考方向；(2)(2)选定选定(n n1
11、)1)个节点个节点，列写其列写其KCL方程；方程；(3)(3)选定选定b b(n n1)1)个独立回路，列写其个独立回路，列写其KVL方程；方程；(元件特性代入元件特性代入)(4)(4)求解上述方程，得到求解上述方程，得到b b个支路电流；个支路电流；(5)(5)进一步计算支路电压和进行其它分析。进一步计算支路电压和进行其它分析。支路电流法的特点：支路电流法的特点：支支路路法法列列写写的的是是 KCL和和KVL方方程程，所所以以方方程程列列写写方方便便、直直观观，但但方方程程数数较较多多，宜宜于于在在支支路路数数不不多多的的情况下使用。情况下使用。下 页上 页返 回例例1.节点节点a：I1I2
12、+I3=0(1)n1=1个个KCL方程：方程：求各支路电流及电压源各自发出的功率。求各支路电流及电压源各自发出的功率。解解(2)b(n1)=2个个KVL方程：方程：11I2+7I3=6 U=US7I111I2=70-6=641270V6V7 ba+I1I3I27 11 下 页上 页返 回例例2.节点节点a：I1I2+I3=0(1)n1=1个个KCL方程：方程：列写支路电流方程列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）电路中含有理想电流源）解解1.(2)b(n1)=2个个KVL方程：方程：11I2+7I3=U7I111I2=70-Ua1270V6A7 b+I1I3I27 11 增补方程：增补方程
13、：I2=6A+U_ _1解解2.70V6A7 b+I1I3I27 11 a由于由于I2已知，故只列写两个方程已知，故只列写两个方程节点节点a：I1+I3=6避开电流源支路取回路：避开电流源支路取回路：7I17I3=70下 页上 页返 回例例3.节点节点a：I1I2+I3=0列写支路电流方程列写支路电流方程.(电路中含有受控源）电路中含有受控源）解解11I2+7I3=5U7I111I2=70-5U增补方程：增补方程：U=7I3a1270V7 b+I1I3I27 11+5U_ _+U_有受控源的电路，方程列写分两步：有受控源的电路，方程列写分两步：(1)(1)先将受控源看作独立源列方程；先将受控源
14、看作独立源列方程；(2)(2)将将控控制制量量用用未未知知量量表表示示，并并代代入入(1)(1)中中所所列列的的方程，消去中间变量。方程，消去中间变量。下 页上 页返 回ab例例求求:Rab解解1连接等电位点连接等电位点对称线对称线ab解解2断开中点。断开中点。解解3确定电流分布。确定电流分布。ii/2i1i2下 页上 页返 回3.4 3.4 回路电流法回路电流法 (loop current method)(loop current method)l基本思想基本思想为为减减少少未未知知量量(方方程程)的的个个数数，假假想想每每个个回回路路中中有有一一个个回回路路电电流流。各各支支路路电电流流可
15、可用用回回路路电电流流的的线性组合表示。来求得电路的解。线性组合表示。来求得电路的解。1.1.回路电流法回路电流法以基本回路中的回路电流为未知量以基本回路中的回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。当列写电路方程分析电路的方法。当取网孔电流为未知量时，称网孔法取网孔电流为未知量时，称网孔法i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2独独立立回回路路为为2 2。选选图图示示的的两两个个独独立立回路，支路电流可表示为：回路，支路电流可表示为：下 页上 页返 回回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以次，
16、流出一次，所以KCL自动满足。因此回路电流法是对独立回自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写路列写KVL方程，方程数为：方程，方程数为：l列写的方程列写的方程与与支支路路电电流流法法相相比比，方程数减少方程数减少n-1个。个。回路回路1：R1 il1+R2(il1-il2)-uS1+uS2=0回回路路2：R2(il2-il1)+R3 il2-uS2=0整理得：整理得：(R1+R2)il1-R2il2=uS1-uS2-R2il1+(R2+R3)il2=uS2i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il22 2.方程的列方程的列写写下 页上 页返 回R11=R1+R2 回路回路1 1的自
17、电阻。等于回路的自电阻。等于回路1 1中所有电阻之和。中所有电阻之和。观察可以看出如下规律：观察可以看出如下规律：R22=R2+R3 回路回路2 2的自电阻。等于回路的自电阻。等于回路2 2中所有电阻之和。中所有电阻之和。自电阻总为正自电阻总为正。R12=R21=R2 回路回路1 1、回路、回路2 2之间的互电阻。之间的互电阻。当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。正号；否则为负号。ul1=uS1-uS2 回路回路1 1中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。ul2=uS2 回路回路2 2中所有电压源电压的代数
18、和。中所有电压源电压的代数和。当当电电压压源源电电压压方方向向与与该该回回路路方方向向一一致致时时，取取负负号号；反反之之取正号。取正号。下 页上 页返 回R11il1+R12il2=uSl1R12il1+R22il2=uSl2由此得标准形式的方程：由此得标准形式的方程：对于具有对于具有 l=b-(n-1)个回路的电路，有个回路的电路，有:其中其中:Rjk:互电阻互电阻+:流过互阻的两个回路电流方向相同流过互阻的两个回路电流方向相同-:流过互阻的两个回路电流方向相反流过互阻的两个回路电流方向相反0:无关无关R11il1+R12il1+R1l ill=uSl1 R21il1+R22il1+R2l
19、 ill=uSl2Rl1il1+Rl2il1+Rll ill=uSllRkk:自电阻自电阻(为正为正)下 页上 页返 回例例1.用回路电流法求解电流用回路电流法求解电流 i.解解1独立回路有三个，选网孔为独立回路：独立回路有三个，选网孔为独立回路：i1i3i2（1 1）不含受控源的线性网络）不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj,系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。（2 2）当网孔电流均取顺（或逆时）当网孔电流均取顺（或逆时 针方向时，针方向时，Rjk均为负。均为负。表明表明RSR5R4R3R1R2US+_i下 页上 页返 回RSR5R4R3R1R2US+_i解解2只让一个回路电流经过只让一个回
20、路电流经过R5支路支路i1i3i2特点特点（1）减少计算量）减少计算量（2）互有电阻的识别难度加）互有电阻的识别难度加大，易遗漏互有电阻大，易遗漏互有电阻下 页上 页返 回回路法的一般步骤：回路法的一般步骤：(1)(1)选定选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；个独立回路，并确定其绕行方向；(2)(2)对对l 个独立回路，以回路电流为未知量，列写其个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；方程；(3)(3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到l 个回路电流；个回路电流；(5)(5)其它分析。其它分析。(4)(4)求各支路电流求各支路电流(用回路电流表示用回路电流表示)；下
21、 页上 页返 回3.3.理想电流源支路的处理理想电流源支路的处理l 引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。例例RSR4R3R1R2US+_iSU_+i1i3i2电流源看作电电流源看作电压源列方程压源列方程增补方程：增补方程：下 页上 页返 回l 选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路选取独立回路，使理想电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即该回路电流即 I IS S。RSR4R3R1R2US+_iSi1i3i2例例为已知电流，实际减少了一方程为已知电流，实际减少了一方程下 页上 页返 回l 与电阻并联的电流源，可做电源
22、等效变换与电阻并联的电流源，可做电源等效变换IRIS转换转换+_RISIR4.4.受控电源支路的处理受控电源支路的处理 对对含含有有受受控控电电源源支支路路的的电电路路，可可先先把把受受控控源源看看作作独独立立电电源源按按上上述述方方法法列列方方程程，再再将将控控制制量量用用回回路路电流表示。电流表示。下 页上 页返 回例例RSR4R3R1R2US+_5U_+_+Ui1i3i2受控电压源看受控电压源看作独立电压源作独立电压源列方程列方程增补方程：增补方程：下 页上 页返 回例例列回路电流方程列回路电流方程解解1选网孔为独立回路选网孔为独立回路1432_+_+U2U3增补方程：增补方程：R1R4
23、R5gU1R3R2 U1_+_U1iS下 页上 页返 回解解2回路回路2 2选大回路选大回路增补方程：增补方程：R1R4R5gU1R3R2 U1_+_U1iS1432下 页上 页返 回例例求电路中电压求电路中电压U，电流，电流I和电压源产生的功率。和电压源产生的功率。4V3A2+IU3 1 2A2Ai1i4i2i3解解下 页上 页返 回3.5 3.5 结点电压法结点电压法 (node voltage method)(node voltage method)选选结结点点电电压压为为未未知知量量，则则KVLKVL自自动动满满足足，就就无无需需列列写写KVL 方方程程。各各支支路路电电流流、电电压压
24、可可视视为为结结点点电电压压的的线线性性组组合合，求求出出结结点点电电压压后后，便可方便地得到各支路电压、电流。便可方便地得到各支路电压、电流。l基本思想：基本思想：以结点电压为未知量列写电路方程分析以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。电路的方法。适用于结点较少的电路。1.1.结点电压法结点电压法l列写的方程列写的方程结点电压法列写的是结点上的结点电压法列写的是结点上的KCL方方程，独立方程数为：程，独立方程数为：与与支支路路电电流流法法相相比比，方程数减少方程数减少b-(n-1)个。个。下 页上 页返 回任任意意选选择择参参考考点点：其其它它结结点点与与参参考
25、考点点的的电电压压差差即即是结点电压是结点电压(位位)，方向为从独立结点指向参考结点。，方向为从独立结点指向参考结点。(uA-uB)+uB-uA=0KVL自动满足自动满足说明说明uA-uBuAuB2 2.方程的列方程的列写写iS1uSiS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_(1)(1)选选定定参参考考结结点点，标标明明其其余余n-1个个独独立结点的电压立结点的电压132下 页上 页返 回iS1uSiS2R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4+_132 (2)(2)列列KCL方程：方程：iR出出=iS入入i1+i2=iS1+iS2-i2+i4+i3=0把支路电流用结点电压表示：把支路
26、电流用结点电压表示：-i3+i5=iS2下 页上 页返 回整理，得：整理，得：令令 Gk=1/Rk，k=1,2,3,4,5上式简记为：上式简记为：G11un1+G12un2 G13un3=iSn1G21un1+G22un2 G23un3=iSn2G31un1+G32un2 G33un3=iSn3标准形式的结点标准形式的结点电压方程电压方程等效电等效电流源流源下 页上 页返 回其其中中G11=G1+G2 结结点点1 1的自电导，的自电导，等于接在结等于接在结点点1 1上所上所有有 支路的电导之和。支路的电导之和。G22=G2+G3+G4 结结点点2 2的自电导，等于接在的自电导，等于接在结结点点
27、2 2上所有上所有 支路的电导之和。支路的电导之和。G12=G21=-G2 结结点点1 1与与结结点点2 2之间的互电导，等于接在之间的互电导，等于接在 结结点点1 1与与结结点点2 2之间的所有支路的电导之之间的所有支路的电导之 和，和，为负值为负值。自电导总为正，互电导总为负。自电导总为正，互电导总为负。G33=G3+G5 结结点点3 3的的自自电电导导，等等于于接接在在结结点点3 3上上所所有有支支路路的电导之和。的电导之和。G23=G32=-G3 结结点点2 2与与结结点点3 3之间的互电导，等于接在之间的互电导，等于接在结结 点点1 1与与结结点点2 2之间的所有支路的电导之和，之间
28、的所有支路的电导之和，为负值为负值。下 页上 页返 回iSn2=-iS2uS/R5 流入流入结结点点2 2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。iSn1=iS1+iS2 流入结点流入结点1 1的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。流入结点取正号，流出取负号。流入结点取正号，流出取负号。由由结结点点电电压压方方程程求求得得各各结结点点电电压压后后即即可可求求得得各各支支路路电电压，各支路电流可用结点电压表示：压，各支路电流可用结点电压表示：下 页上 页返 回一一般般情情况况G11un1+G12un2+G1,n-1un,n-1=iSn1G21un1+G22un2+G2,n-1un,n-
29、1=iSn2 Gn-1,1un1+Gn-1,2un2+Gn-1,nun,n-1=iSn,n-1其中其中Gii 自自电电导导，等等于于接接在在结结点点i上上所所有有支支路路的的电电导导之之和和(包括电压源与电阻串联支路包括电压源与电阻串联支路)。总为正。总为正。当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。当电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。iSni 流流入入结结点点i i的的所所有有电电流流源源电电流流的的代代数数和和(包包括括由由电压源与电阻串联支路等效的电流源电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij=Gji互互电电导导，等等于于接接在在结结点点i与与结结点点j之之间间的的所所支路的电导之和，支
30、路的电导之和，总为总为负。负。下 页上 页返 回结点法的一般步骤：结点法的一般步骤：(1)(1)选定参考结点，标定选定参考结点，标定n-1 1个独立结点；个独立结点；(2)(2)对对n-1-1个个独独立立结结点点，以以结结点点电电压压为为未未知知量量，列写其列写其KCL方程；方程；(3)(3)求解上述方程，得到求解上述方程，得到n-1-1个结点电压；个结点电压；(5)(5)其它分析。其它分析。(4)(4)求各支路电流求各支路电流(用用结点电压结点电压表示表示)；下 页上 页返 回试列写电路的节点电压方程。试列写电路的节点电压方程。(G1+G2+GS)U1-G1U2GsU3=USGS-G1U1+
31、(G1+G3+G4)U2-G4U3=0GSU1-G4U2+(G4+G5+GS)U3=USGS例例3 3.无伴电压源支路的处无伴电压源支路的处理理（1 1）以电压源电流为变量，增）以电压源电流为变量，增补结点电压与电压源间的关系补结点电压与电压源间的关系UsG3G1G4G5G2+_GS312UsG3G1G4G5G2+_312下 页上 页返 回I(G1+G2)U1-G1U2=I-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0-G4U2+(G4+G5)U3=IU1-U3=US看看成成电电流流源源增补方程增补方程（2 2）选择合适的参考点选择合适的参考点U1=US-G1U1+(G1+G3+G4)U2
32、-G3U3=0-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0UsG3G1G4G5G2+_312UsG3G1G4G5G2+_312下 页上 页返 回4.4.受控电源支路的处理受控电源支路的处理 对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立对含有受控电源支路的电路，可先把受控源看作独立电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。电源按上述方法列方程，再将控制量用结点电压表示。(1)(1)先先把受控源当作独立把受控源当作独立(2)(2)源列方程；源列方程；(2)(2)用结点电压表示控制量。用结点电压表示控制量。列写电路的结点电压方程。列写电路的结点电压方程。例例iS1R1R3R2gmuR2
33、+uR2_21下 页上 页返 回(1)(1)设参考点，设参考点，把受把受控源当作独立源控源当作独立源列方程；列方程；(2)(2)用结点电压表示控制量。用结点电压表示控制量。列写电路的结点电压方程。列写电路的结点电压方程。例例213iS1R1R4R3gu3+u3_R2+r iiR5+uS_解解下 页上 页返 回例例列写电路的结点电压方程。列写电路的结点电压方程。1V2 3 2 1 5 3 4VU4U3A312注：注：与电流源串接的与电流源串接的 电阻不参与列方程电阻不参与列方程增补方程：增补方程：U=Un3下 页上 页返 回例例求求U和和I 。90V2 1 2 1 100V20A110VUI解解1应用结点法。应用结点法。312解得：解得：下 页上 页返 回90V2 1 2 1 100V20A110VUI解解2应用回路法。应用回路法。123解得：解得：上 页返 回