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1、3.63.6算符与力学量关系算符与力学量关系 我们我们已讲过已讲过，当体系，当体系处处算符算符的本征态的本征态时时,算符算符表示的表示的力学量力学量有确定的值有确定的值,这个值就是这个值就是算符在算符在中中 的本征的本征值值。如果体系不处在体系不处在算符算符的本征态的本征态时时,这时候这时候算符算符和它所和它所表示的表示的力学量之间的关系如何力学量之间的关系如何?力学量算符本征函数组成完备系力学量算符本征函数组成完备系有一组函数n(x)(n=1,2,.),如果任意函数(x)可以按这组函数展开:则称这组函数n(x)是完备的。为求系数求系数(3.6.1）以乘上式两边,并积分所以所以(3.6.2）则
2、上式变为利用(3.6.3）则有利用如果波函数(x)归一化(3.6.1）称为几率振幅。称为几率振幅。力学量平均值就是指多次测量的平均结果，如测量长度 x，测了 10 次，其中 4 次得 x1，6 次得 x2，则 10 次测量的平均值为：力学量的平均值力学量的平均值 对于任意的微观态 ，知道了力学量的全部可能取值 及概率 后，该状态下力学量的平均值由以下公式给出 该方法常被称为概率平均法(3.6-4）考虑到厄米算符本征态的完备性考虑到厄米算符本征态的完备性 及正交归一性可得及正交归一性可得该方法又被称为状态平均法，只要已知算符该方法又被称为状态平均法，只要已知算符 ，不，不必通过必通过 的本征态及
3、本征值，可直接在任意态的本征态及本征值，可直接在任意态 下求出平均值。下求出平均值。(3.6-5）量子力学基本假定量子力学基本假定任何力学量算符F的本征函数n(x)组成正交归一完备系,在任意已归一态(x)中测量力学量F得到本征值n 的几率等于(x)按n(x)展开式中对应本征函数n(x)前的系数cn的绝对值平方。(3.6-4）(3.6-5）如果波函数不归一,则(3.6-6）任意态在连续谱 情况下的展开 在此情况下，求和应变为积分例题一例题一 设粒子处于范围在设粒子处于范围在 的一维无限深势阱中，的一维无限深势阱中，状态用波函数状态用波函数 描述，求粒子能量的可能值及相应概率。描述，求粒子能量的可
4、能值及相应概率。解：无限深势阱中，粒子能量的本征态及本征值为解：无限深势阱中，粒子能量的本征态及本征值为 求解该问题，首先必须弄清任意态求解该问题，首先必须弄清任意态 究竟包含了能量究竟包含了能量本征态中的那几个。本征态中的那几个。解法解法1 利用利用 求求 （能量分布函数）（能量分布函数）利用三角函数公式及正交性，得利用三角函数公式及正交性，得 仅有仅有 所以能量的可能值及概率为所以能量的可能值及概率为 概率概率 概率概率解法解法2 直接将直接将 展开展开 所以能量的可能值及概率为所以能量的可能值及概率为 概率概率 概率概率 能量的平均值为能量的平均值为求解此类问题的技巧：对于任意态求解此类
5、问题的技巧：对于任意态 ，有时利用，有时利用 直接积分既麻烦又易错；若能将直接积分既麻烦又易错；若能将 直接直接改写成力学量本征态的叠加，可使问题一目了然。改写成力学量本征态的叠加，可使问题一目了然。例如例如 对于对于 针对动量针对动量 应展开为应展开为 针对一维无限深势阱，应展开为针对一维无限深势阱，应展开为例例1 1：已知空间转子处于如下状态：已知空间转子处于如下状态试问（1）是否是 L2 的本征态？（2）是否是 Lz 的本征态？（3）求 L2 的平均值；（4）在 态中分别测量 L2 和 Lz 时得到的可能值及其相应的几率。解：没有确定的L2 的本征值，故不是 L2 的本征态。是 Lz 的
6、本征态，本征值为。（3 3）求）求 L L2 2 的平均值的平均值方法方法 I I验证归一化：验证归一化：归一化波函数方法 II（4 4）例例2 2：设t=0 时，粒子的状态为(x)=A sin2kx+(1/2)coskx 求粒子的平均动量和平均动能。解：解：可写成单色平面波的叠加可写成单色平面波的叠加可写成单色平面波的叠加比较二式，因单色平面波动量有确定值：或从而得：归一化后。|c(pi)|2 表示粒子具有动量为 pi 的几率，于是就可以计算动量和动能的平均值了。（1）动量平均值（2）动能平均值-分立谱分立谱 连续谱连续谱展开式：展开式：=n n C Cn nn n =C=Cdd系数：系数：
7、n n=n n*d d =*dd正交归一：正交归一：n n*m md=d=nmnm *d=d=（）完备性：完备性：n n n n（r r）n n(r)=(r(r)=(r-r)-r)（r r）(r)d=(r(r)d=(r-r)-r)平均值：平均值：ffn nn n *(r)F(r)d(r)F(r)ddd*(r)F(r)d(r)F(r)d n nn n=1 =1 dd dd：表示测得本征值为：表示测得本征值为dd的几率。的几率。-例题一例题一 任意态任意态 求求 态中态中 的可能值、概率及的可能值、概率及 。解法一解法一 可以看出可以看出 是是 的共同本征函数所组成，的共同本征函数所组成，列表对应求解：列表对应求解：解法二解法二 由由 得得 由由 正交归一性得正交归一性得 例题例题2 粒子状态处于一维谐振子的基态粒子状态处于一维谐振子的基态 试求：试求：（1）平均值）平均值 ；（；（2）平均值）平均值 ；（3）动量的概率分布。）动量的概率分布。解：（解：（1）（2）（3）动量本征函数动量本征函数 则则 为为 的函数！的函数！