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1、关于量子力学第三章算符与力学量的关系现在学习的是第1页，共21页一、厄米算符的本征函数的完全性一、厄米算符的本征函数的完全性1.1.复习复习3.13.1的两个假定的两个假定假定假定1 1：量子力学中的每个力学量用一个线性厄米算：量子力学中的每个力学量用一个线性厄米算 符表示。符表示。假定假定2 2：算符：算符 的本征值集合即是测量体系力学量的本征值集合即是测量体系力学量 可能得到的所有量值；体系处在可能得到的所有量值；体系处在 的属于本的属于本 征值征值 的本征态的本征态 时，测力学量时，测力学量 ，得到，得到 确定值确定值 。FFnnFFn现在学习的是第2页，共21页 但是在任意态但是在任意
2、态 中（非中（非 的本征态），此时的本征态），此时 与与代表的力学量的代表的力学量的 关系如何？这需引进新的假设，适合关系如何？这需引进新的假设，适合于一般情况，且不能与于一般情况，且不能与假定假定2相抵触相抵触，应包含它。，应包含它。FFF现在学习的是第3页，共21页2.完全性：完全性：若若 是满足一定条件是满足一定条件 的厄米算符，的厄米算符，且它的正交归一的本征函数系且它的正交归一的本征函数系 、对应的本征值为对应的本征值为 、，则任一函数，则任一函数 可以可以按按 展为级数：展为级数：F级数收敛的平方可积的nnF)2(F)1()x(1)x(2)x(n12n)x()x(n式中式中 是与是
3、与x无关的展开系数。我们称本征函数无关的展开系数。我们称本征函数 的的这种性质为完全性，或者说这种性质为完全性，或者说 组成完全系。组成完全系。nC)x(n)x(n)x(C)x(nnn（1）现在学习的是第4页，共21页说明：说明：展开系数展开系数 dx)x(Cnn以以 左乘左乘 ，且对，且对x的的整个区域积整个区域积分有分有)x(m)x(C)x(nnn即：即：dx)x(Cnn（2）()()mxx dxnmnnC(x)(x)dxnmnCmCmnnnC(x)dx现在学习的是第5页，共21页表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足完全性表示力学量的算符是厄米算符，不管它是否满足完全性关系要求的条件
4、，都可以直接将数学上证明过的定理拿来关系要求的条件，都可以直接将数学上证明过的定理拿来就用，即就用，即假定力学量算符本征函数的正交归一系具有假定力学量算符本征函数的正交归一系具有完全性。完全性。现在学习的是第6页，共21页)x(C)x(nnn3.展开系数展开系数 的物理含义：的物理含义：2nC 设设 为归一化的波函数，则根据为归一化的波函数，则根据 是正交是正交归一化的完全函数系，有：归一化的完全函数系，有：)x()x(n因左边是总几率，所以因左边是总几率，所以 有几率的意义。有几率的意义。2nC即：即：1C2nnmnmnm,nC Cdxmnm,nm,nC C2nnC1(x)(x)dxmmnn
5、mnCCdx现在学习的是第7页，共21页3.1的假定的假定2 例：若例：若 是算符是算符 的一个本征态，例如的一个本征态，例如)x(F)x()x(i按假设按假设2，在该态中测得，在该态中测得 的几率是的几率是 ，其，其中中 也可由（也可由（2）式求得。）式求得。Fi1C2inC由此特例同样可以看出由此特例同样可以看出 具有几率的意义，即具有几率的意义，即 表表示了在示了在 态中测量力学量态中测量力学量 得到的结果是得到的结果是 的本征的本征值值 的几率，于是称的几率，于是称 为几率振幅。为几率振幅。2nC2nC)x(FFnnC则：则：)x(nnnCi(x)现在学习的是第8页，共21页二、基本假
6、设（力学量与算符的关系）二、基本假设（力学量与算符的关系）)x(C)x(nnnnFFn2nCdxCnn假设假设3：在：在 （是是 的本征函数）描的本征函数）描写的态中，测量体系的力学量写的态中，测量体系的力学量 得到得到 的几率是的几率是 ，其中，其中 。综合假设综合假设1-3，可得一个基本假定（基本原理），即，可得一个基本假定（基本原理），即量子量子力学中关于力学量与算符关系的基本假设力学中关于力学量与算符关系的基本假设：现在学习的是第9页，共21页基本假设的正确性同薛定谔方程一基本假设的正确性同薛定谔方程一样，由整个理论与实验结果符合而样，由整个理论与实验结果符合而得到验证。得到验证。完全
7、性关系完全性关系现在学习的是第10页，共21页解释：解释：dxxx)()(dxdxxC)()(dCdx)x()x(dC)(CCdx)x()x(即：即：(同理可得二、三维的结果同理可得二、三维的结果)现在学习的是第11页，共21页)x(C)x(nnn三、平均值公式三、平均值公式)x(F)x(在在 所描写的状态中，所描写的状态中，在在 态的统计平均态的统计平均值（由几率求平均值）为值（由几率求平均值）为 证明：证明：n2nnCnnnmmCCdxnmnnnmmCCn,mnnmmCCdxFnm本征方程nmnmCCdxnnmdx)x(F)x(代入完全性dxCFCnnnmmm2nnnCFdx)x(F)x(
8、1dx(假定假定 )正交归一现在学习的是第12页，共21页本征值方程CCdxddFF说明说明：a.a.当当 的本征值构成连续谱时，的本征值构成连续谱时，为：（假为：（假定定 已归一）已归一）证明：证明：现在学习的是第13页，共21页)x(b.以上证明中假定以上证明中假定 已正交归一化，对没有正交已正交归一化，对没有正交归一化的波函数：归一化的波函数：现在学习的是第14页，共21页四、推广四、推广F 若若 的本征值的组成中既有分立谱又有连续谱，的本征值的组成中既有分立谱又有连续谱，则以上结果可表示为：则以上结果可表示为：完全性关系：完全性关系：2nC)x(nF 为在为在 态中测态中测 得得 的几
9、率；的几率；dxCnndxCn2nC1dC2其中：其中：；dC2)x(Fd 为在为在 态中测态中测 得得 在范围内的几在范围内的几率；率；现在学习的是第15页，共21页0Cn0C 0Cn0C 说明：当说明：当 时为连续谱情况；时为连续谱情况；时为分立时为分立谱的情况；谱的情况；，时为一般情况。时为一般情况。2nnnCFdC2平均值公式：平均值公式：；现在学习的是第16页，共21页解：体系处于解：体系处于)r(100态，将态，将)r(100按动量算符的本征函数按动量算符的本征函数p（动量算符的本征值组成连续谱）展开，即：（动量算符的本征值组成连续谱）展开，即：)r(100pC)r(ppd几几率率
10、振振幅幅：pC)r(p)r(100d而而)r(1000ar03ea1；prpi2/3e)2(1则则：pC 00202/3)2(1rpie0ar03ea1ddsindrr2现在学习的是第17页，共21页 2/30)a2(2 0ar1120erprxiedrdx 2/30)a2(2drer0ar20dree/ipr1pripri 2/30)a2(pi 2dree r0priarpriar00现在学习的是第18页，共21页 2/30)a2(pi 2 drre0r)pia1(0drre0r)pia1(0 2/30)a2(pi 2 20)pia1(120)pia1(1 2/30)a2(pi 2222200)pa1(pia14222024302/30)ap(a)a2(8现在学习的是第19页，共21页 222022/3030)ap(1)a2()a2(=222022/30)ap()a2(此式仅与此式仅与p的大小有关，而与的大小有关，而与p的方向无关的方向无关于于是是动动量量的的几几率率密密度度分分布布为为：2pC)p(242202530)ap(a8所所以以氢氢原原子子处处于于基基态态时时，电电子子动动量量的的绝绝对对值值在在dppp范范围围内内的的几几率率为为：现在学习的是第20页，共21页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第21页，共21页