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1、第 十二 章第二节排列与组合(理)第 十二 章点 击 考 纲1.理解排列、组合的概念2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3.能解决简单的实际问题.第 十二 章关 注 热 点1.以实际问题为背景考查排列、组合，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力2.以选择题、填空题的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查.第 十二 章1排列第 十二 章第 十二 章2组合第 十二 章如何区分某一问题是排列问题还是组合问题？提示：区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题第 十二 章1从1,2,3,4,5,
2、6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有()A9个B24个C36个 D54个解析：这样的三位数共有：C31C32A3333654(个)答案：D第 十二 章2从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85 B56C49 D28解析：分两类计算，C22C71C21C7249.答案：C第 十二 章3数列an共有六项，其中四项为1，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列an共有()A30个 B31个C60个 D61个解析：在数列的六项中，只要考虑两个非1的项的位置，即得不同数列，共有A6230个不同的
3、数列答案：A第 十二 章4C3n38nC21n3n的值为_答案：466第 十二 章5电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有_种不同的播放方式(结果用数值表示)解析：采用特殊位置位置法先让两个不同的公益广告排在首尾两个位置，再让4个商业广告排在剩下的4个位置，据分步计数原理可知共有2A4448种播放方式答案：48第 十二 章有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；第 十二 章(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在
4、一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人第 十二 章【思路导引】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式计算即可，但要看清是全排列还是选排列；有限制条件的排列问题，一般常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应的方法求解第 十二 章【解析】(1)从7个人中选5个人来排，是选排列有A75765432 520(种)(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A73种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A73A445 040(种)事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件(3)优先法法一：甲为特殊元素，先排甲，有5种方法；其余6
5、人有A66种方法，故共有5A663 600(种)第 十二 章法二：排头与排尾为特殊位置，排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有A62种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有A55种方法，共有A62A553 600(种)(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44A44576(种)第 十二 章(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A53种方法，故共有A44A531 440(种)(6)把甲、乙及中间3人看作
6、一个整体，第一步先排甲乙两人，有A22种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲乙中间，有A53种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有A33种方法故共有A22A53A33720(种)第 十二 章【方法探究】涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊位置上元素的选法，再考虑其他位置上的其他元素(这种方法称为特殊元素或特殊位置法)；或者，先求出不加限制条件的排列数，再减去不符合条件的排列数(也叫做间接法或排除法)，这是解排列题的基本策略所谓“捆绑法”与“插空法”，实际上都是特殊元素(位置)特殊考虑的结果本题中要求相邻的女生是特殊元素，先把她们捆绑处理(第(4)小题)，但不同的是要求不相邻的男生也是
7、特殊元素，特殊考虑的结果却是排列时置后插空处理(第(5)小题)第 十二 章1(1)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6个人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A300种B240种C144种 D96种第 十二 章(2)安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数是_(用数字作答)解析：(1)A41A53240.(2)A552A44A3378.答案：(1)B(2)78第 十二 章(2010全国)某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门若要求两类课
8、程中各至少选一门，则不同的选法共有()A30种 B35种C42种 D48种【思路导引】审清题意，寻找限制条件，选择解题方法第 十二 章【解析】分两类：选A类选修课2门，B类选修课1门，有C32C4112(种)；选A类选修课1门，B类选修课2门，有C31C423618(种)【答案】A第 十二 章【方法探究】组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直
9、接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理第 十二 章2从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选三个，能组成多少个无重复数字的五位数？解析：从5个奇数中选出2个，再从2、4、6、8四个偶数中选出3个，排成五位数，有C52C43A551041204 800(个)第 十二 章从5个奇数中选出2个，再从2,4,6,8四个偶数中选出2个，将选出的4个数再选一个做万位数，余下的3个数加上0排在后4个数位上，有C52C42C41A441064245 760(个)由分类加法计数原理可知这样的五位数共有C52C43A55C52C42C41A4410
10、560(个).第 十二 章3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A360 B288C216 D96第 十二 章【思路导引】用排除法求解：先排女生，再从中排除甲站两端的情况；也可直接求解【解析】法一(排除法)：先不考虑甲的情况，3位女生有且只有两位女生相邻的排法有C32A22A33A42种，甲站两端，3位女生有且只有两位女生相邻的排法有C32A22C21A22A32种，故符合条件的排法共有C32A22A33A42C32A22C21A22A32288(种)第 十二 章法二：(直接法)先安排男生，若甲在中间有A22种排法，若甲在
11、两端有C21A22种排法，再把女生分组有C32A22种分法，最后把两组女生插空，共有C32A22A22A42C32A22C21A22C21C31288种排法【答案】B第 十二 章【方法探究】解排列组合的应用题要注意以下几点：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步(2)深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决第 十二 章(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，
12、因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复第 十二 章3有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有_种(用数字作答)第 十二 章解析：取出的4张卡片所标的数字之和等于10，共有三种情况：1 144,2 233,1 234；所取卡片是1 144的共有A44种排法所取卡片是2 233的共有A44种排法所取卡片是1 234，则其中卡片
13、颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法A44C41A44C42A44C43A44A4416A44(种)，共有排法18A44184321432(种)答案：432第 十二 章按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；第 十二 章(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本【思路导引】这是一个分配问
14、题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏第 十二 章【解析】(1)无序不均匀分组问题先选1本，有C61种选法；再从余下的5本中选2本，有C52种选法；最后余下3本全选，有C33种选法故共有C51C52C3360(种)(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C61C52C33A33360(种)第 十二 章第 十二 章第 十二 章第 十二 章【方法探究】均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶
15、乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数，此题中第(3)问为均匀无序分组，第(4)问为均匀有序分组第 十二 章(2010大庆模拟，12分)男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人选派5人外出比赛在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员第 十二 章【解析】(1)第一步：选3名男运动员，有C63种选法第二步：选2名女运动员，有C42种选法共有C63C42120种选法(3分)(2)法一：至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3
16、女2男，4女1男由分类加法计数原理可得总选法数为C41C64C42C63C 34C62C44C61246(种)(6分)第 十二 章法二：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解从10人中任选5人有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种所以“至少有1名女运动员”的选法为C105C65246(种)(6分)第 十二 章(3)法一：可分类求解：“只有男队长”的选法为C84；“只有女队长”的选法为C84；“男、女队长都入选”的选法为 C83；所以共有2C84C83196种选法(9分)第 十二 章法二：间接法：从10人中任选5人有C105种选法其中不选队长的方法有C85种所以“
17、至少1名队长”的选法为C105C85196(种)(9分)第 十二 章(4)当有女队长时，其他人选任意，共有C94种选法不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法其中不含女运动员的选法有C54种，所以不选女队长时的选法共有C84C54种选法所以既有队长又有女运动员的选法共有C94C84C54191种(12分)第 十二 章【评价探究】解排列组合的应用题要注意以下几点：(1)仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步(2)深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑(3)对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，
18、设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决第 十二 章(4)由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复第 十二 章【考向分析】从近两年的高考试题来看，排列、组合及排列与组合的综合应用是高考的热点，题型以选择题、填空题为主，中等难度，在解答题中，排列、组合常与概率、分布列的有关知识结合在一起考查预测2012年高考，排列、组合及排列与组合的综合应用仍是高考的重点，同时应注意排列、组合与概
19、率、分布列等知识的结合，重点考查运算能力与逻辑推理能力第 十二 章1在数字1,2,3与符号“”，“”五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列的个数是 ()A6 B12C18 D24解析：先排列1,2,3，有A336种排法，再把“”，“”两个符号插入，有A222种方法，共有6212种方法答案：B第 十二 章2(2009广东高考)2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有()A36种 B12种C18种 D48种第 十二 章解
20、析：若四人中包含小张和小赵两人，则不同的选派方案有A22A3212(种)；若四人中恰含有小张和小赵中一人，则不同的选派方案有：C21A21A3324(种)，由分类计数原理不同的选派方案共有36种答案：A第 十二 章3(2011深圳模拟)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A18 B24C30 D36第 十二 章解析：由四名学生分到三个班，每个班至少分到一名学生可知，有一个班有2个人，另外两个班各1人，故共有C42A33不同分法，其中甲、乙两名学生分到同一个班有A33种不同分法，所以满足题意的不同分法为C42A
21、33A3330(种)答案：C第 十二 章4若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有_种解析：由于有两个o，只要在4个位置选2个安排即可，余下两个字母全排列，故所有的数目为C42A2212，写对的只有1种，故共有11种错误的可能答案：11第 十二 章5已知Ax|1log2x3，xN，Bx|x6|3，xN从集合A中取1个元素，从B中取3个元素，可以组成无重复数字且比4 000大的自然数的个数为_第 十二 章解析：由题意得A3,4,5,6,7，B4,5,6,7,8，若A中取3，则先从B中任意取3个并排好，故有A5360种排法，第二步将A中的3以插空的形式插入，有C31种方法，故有C31A53180个若A中不取3，A中的元素4,5,6,7集合B中全部含有，故只需从B中任意取4个并排好即可，故有A54120个，共有C31A53A54300(个)答案：300第 十二 章学习至此，请做课时作业