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1、- 1 -20192019 学年度第一学段高二年级模块考试试卷学年度第一学段高二年级模块考试试卷数学选修数学选修 2 21 1（理科）（理科）一、选择题（共一、选择题（共 1414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 5656 分每小题给出的四个选项中有且只有一个选分每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的）项是正确的）1抛物线的焦点坐标为（） 216yxABCD(8,0)(4,0)(0,8)(0,4)【答案】B【解析】解：由，得，则，216yx216P 8P 42P所以抛物线的焦点坐标是216yx(4,0)故选B2设，是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：mn；mmm
2、 mmnmn其中正确的命题是（） ABCD【答案】B【解析】解：由面面平行的性质可知，则，故正确；若，则或与相交，故错误；mmm若，则存在，且，又，得，mmmmmm所以，故正确；若，则或，故错误mnnmm故选B3若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（） 22 14xy mmymABCD2m 02m24m2m 【答案】B【解析】解：若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解22 14xy mmy0 40 4m m mm - 2 -得02m故选B4如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（） ABCD10713 37 3主 主 主主 主()主 主主 主()主 主2223【答案
3、】C【解析】解：由几何体的三视图可得，该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，圆柱的底面半径是 ，高是 ，上面是一个球，球的半径是 ，131所以该几何体的体积234413 13 13333V 故选C5椭圆的长轴长、短轴长和焦点坐标一次为（） 22:416CxyA ，B ，84( 2 3,0)84(0, 2 3)C，D，42( 2 3,0)42(0, 2 3)【答案】C【解析】解：椭圆化为标准方程为：，可得，22:416Cxy22 1164yx4a 2b ，2 3c 所以椭圆的长轴长，短轴长和焦点坐标分别为： ，22416xy84(0, 2 3)故选B6若一个圆锥的轴截面是正三角形，则此圆锥侧面展
4、开图扇形的圆心角大小为（） ABCD6090120180- 3 -【答案】D【解析】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，由该圆锥的轴截面是正三角形，得rR，2rR，解得22180nrr180n 故选D7抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为（） 26yx11( ,)M x y9 2MABCD33 3273 2【答案】B【解析】解：抛物线上一点到其焦点的距离为，26yx11( ,)M x y9 2，解得，2 111639 22yxx13x 13 2y 点到坐标原点的距离为M22(30)( 3 20)3 3 故选B8如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（） AB
5、CD6362 31834182 3主 主 主主 主 主主 主 主2222 135【答案】D【解析】解：由三视图知，此组合体上部是一个半径为的球体，故其表面积为，下部为1 2- 4 -一直三棱柱，其高为 ，底面为一边长为的正三角形，且由三视图知此三角形的高为，323故三棱柱的侧面积为，因为不考虑接触点，故只求上底面的面积即可，上底3 (222)18面的面积为：，故组合体的表面积为12332 182 3故选D9双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的实轴长为（） 22 12xy mm(3,0)ABCD32 32 66【答案】C【解析】解：双曲线的一个焦点坐标为，22 12xy mm(3,0)，得，29m
6、m3m 双曲线的实轴长为2 22 6m 故选C10已知椭圆的对称轴与两条坐标轴重合，且长轴长的短轴长的倍，抛物线的C228yx 焦点与椭圆的一个顶点重合，则椭圆的标准方程为（） CCAB2 214xy22 1416xyC或D或22 1164xy2 214yx2 214xy22 1416xy【答案】D【解析】解：由于椭圆长轴长是短轴长的倍，即有，又抛物线的焦点22ab28yx 与椭圆的一个顶点重合，得椭圆经过点，( 2,0)C( 2,0)若焦点在轴上，则，椭圆方程为，x2a 1b 2 214xy若焦点在轴上，则，椭圆方程为，y2b 4a 22 1164yx椭圆的标准方程为或C2 214xy22
7、1416xy故选D11点到双曲线渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率等于(2,0)M2222:1(0,0)xyCabab1（） - 5 -ABCD24 32 3 34【答案】C【解析】解：点到双曲线的渐近线的距离为 ，(2,0)M2222:1(0,0)xyCabab0bxay1， 22|2 |21bb cab ，2cb3ab双曲线的离心率22 3 33cbeab故选C12对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得与都垂直于；存在平面，使得与都平行于；存在直线，直线，使得lmlm其中，可以判定与平行的条件有（） A 个B个C 个D个1234【答案】A【解析】解：项、存在平面，使得，都垂直
8、于，则，不一定平行，利如正方体相邻的三个面，故错误；项、若，则由面面平行的性质可得，故正确；项、若直线，与可能相交，故错误lmlm故选A13一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图） ，则这个四棱锥中最最长棱的长度是（） ABCD2 642 32 2- 6 -主 主 主()22 主 主 主()主 主 主()42【答案】A【解析】解：CBAPD根据三视图作出该四棱锥的直观图，如图所示，其中底面是直角梯形，且，2ADAB，4BC 平面，且，PAABCD2PA，22222 2PB 22222 2PD 2 2CD ，224202 6PCPAAC这个四棱锥中最长棱的长度是2 6
9、故选A14已知椭圆和圆，当实数在闭区间内从小到大连22 :143xyE22:()1Cxmym 3,3续变化时，椭圆和圆公共点个数的变化规律是（） ECA ， ， ，B， ， ，121012121012C ，D ， ， ，1202112342024321【答案】A【解析】解：椭圆的顶点坐标为，圆22 :143xyE( 2,0)(2,0)(0, 3)(0,3)，表示以为圆心， 为半径的圆，22:()1Cxmy( ,0)m1- 7 -当时，椭圆与圆只有一个焦点，3m EC( 2,0)当时，圆向右平移，与椭圆有两个交点，31m CE当时，圆与椭圆只有 个交点，1m CE1当时，圆椭圆在内部，此时椭圆与
10、圆无公共点，11m CEEC当在闭区间从小到大连续变化时，椭圆和圆公共点个数的变化规律是 ，m 3,3EC1， ， ， 210121故选A二、填空题（共二、填空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分）15双曲线的对称轴和坐标轴重合，中心在原点，交点坐标为和，且经过点( 2,0)(2,0)，则双曲线的标准方程是_( 2,3)P 【答案】2 213yx 【解析】解：由题意，2c 2222|2( 22)(03)(22)(03) | 2a ，1a 3b 2c 故双曲线的标准方程是2 213yx 16如图在正三角形中，分别为各边的中点，分别为ABCDEFGHIJ
11、、的中点，将沿、折成三棱锥以后，与所AFADBEDEABCDEEFDFGHIJ成角的大小为_JIFECBAHGD【答案】60【解析】解：- 8 -IJDGHEFM将沿，折成三棱锥以后，点，重合为点，得到三棱锥ABCDEEFDFABCM，MDEF，分别为，的中点，IJBEDE侧棱，IJMD与所成的角即是与所成的角，MDGHGHIJ，60AHG与所成角的大小为GHIJ6017从正方体的 个顶点中任意选择 个点，记这 个点确定的平面为，1111ABCDABC D833则垂直于直线的平面的个数为_1AC【答案】2【解析】解：DABCA1D1 B1C1与直线垂直的平面有平面和平面，故与直线垂直的平面的个
12、数为1AC1ABD11CB D1AC218已知椭圆的左右焦点为，离心率为，若为椭圆上222:1(40)16xyCbb1F2F3 2PC一点，且，则的面积等于_1290FPF12FPF【答案】4- 9 -【解析】解：由题意，得，4a 3 2cea4a 2b 2 3c 为椭圆上一点，且，PC1290FPF，12| 28PFPFa222 12|448PFPFc，即，得，2 122(|)2| | 48PFPFPFPF12642| | 48PFPF12| | 8PFPF故的面积12FPF1211| |8422SPFPF 19抛物线上两个不同的点，满足，则直线一定过定点，此定点24yxABOAOBAB坐标
13、为_【答案】(4,0)【解析】解：设直线 的方程为代入抛物线，消去得,lxtyb24yxx2440ytyb设，则，11( ,)A x y22(,)B xy124yyt124y yb 1212()()OA OBtyb tyby y 22 121212()t y ybt yyby y222444btbtbb 24bb，=0（舍去）或,0b 4b 故直线 过定点l(4,0)20如图，正方体中，为面（包括边界）内一动点，当点与1111ABCDABC DN1111ABC DN重合时，异面直线与所成的角的大小为_；当点在运动过程中始终保1BAN1BCN持平面，则点的轨迹是_AN1BDCND ABCND1C
14、1B1A1【答案】；线段6011B D- 10 -【解析】解：当点与重合时，即,N1BAN1AB,11ABDC即直线与所成的角，1DC BAN1BC，1BDDCBC是等边三角形，1BDC，160DC B故异面直线与所成的夹角是，AN1BC60平面平面，平面，且在平面内，11AB D 1BDCAN1BDCN1111ABC D点在平面与平面的交线上，N11AB D1111ABC D11B D故点的轨迹是线段N11B D三、解答题（共三、解答题（共 5 5 小题，满分小题，满分 6464 分解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）分解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤）21 （本题分）12如图
15、，四棱锥的底面为菱形，分别为和的中点PABCDABCDPBPDEFABPD（ ）求证：平面1EFPBC（）求证：平面2BDPACFE CBAPD【答案】见解析【解析】解：DPABCEFGO- 11 -（ ）证明：取中点为，1PCG在中，是中点，是中点，PCDFPDGPC，且，FGCD1 2FGCD又底面是菱形，ABCD，ABCD是中点，EAB，且，BECD1 2BECD，且，BEFGBEFG四边形是平行四边形，BEFG，EFBG又平面，平面，EF PBCBG PBC平面EFPBC（）证明：设，则是中点，2ACBDOOBD底面是菱形，ABCD，BDAC又，是中点，PBPDOBD，BDPO又，AC
16、POO平面BDPAC22 （本小题分）13如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且PABCDABCDMPAPDABCD，4PDCD2AD （ ）求与平面所成角的正弦1APCMB（）求二面角的余弦值2MCBP- 12 -DPABCM【答案】见解析【解析】解：MCBAPDxyz（ ）是矩形，1ABCD，ADCD又平面，PDABCD，即，两两垂直，PDADPDCDPDADCD以为原点，分别为轴，轴，轴建立如图空间直角坐标系，DDADCDPxyz由，得，4PDCD2AD (2,0,0)A(2,4,0)B(0,4,0)C(0,0,0)D(0,0,4)P，(1,0,2)M则，( 2,0,4)AP
17、( 2,0,0)BC (1,4, 2)MB 设平面的一个法向量为，CMB1111( ,)nx y z则，即，令，得，1100BC nMB n 111120420xxyz 11y 10x 12z ，1(0,1,2)n ，1 1 184cos,5| |2 55AP nAP nAPn 故与平面所成角的正弦值为APCMB4 5- 13 -（）由（ ）可得，21(0,4, 4)PC 设平面的一个法向量为，PBC2222(,)nxy z 则，即，令，得，2200BC nPC n 22220440xyz 21y 20x 21z ，2(0,1,1)n ，1233 10cos,1052n n 故二面角的余弦值为
18、MCBP3 10 1023 （本题分）13已知抛物线过点，且点到其准线的距离为22(0)ypx p0(2,)AyA4（ ）求抛物线的方程1（）直线与抛物线交于两个不同的点，若，求实数的值2: l yxmPQOPOQm【答案】见解析【解析】解：（ ）已知抛物线过点，且点到准线的距离为，122(0)ypx p0(2,)AyA4则，242p，4p 故抛物线的方程为：28yx（）由得，228yxmyx 22(28)0xmxm设，则，11( ,)P x y22(,)Q xy1282xym2 12x xm，121228yyxxm2 12121212()()()8y yxm xmx xm xxmm，OPOQ
19、，2 121280x xy ymm或，0m 8m 经检验，当时，直线与抛物线交点中有一点与原点重合，不符合题意，0m O当时，符合题意，8m 2=244 640 综上，实数的值为m824 （本题分）13- 14 -已知点，椭圆的离心率，是椭圆的右焦点，直线(0,2)A2222:=1(0)xyEabab3 2FE的斜率为，为坐标原点AF2 3 3O（ ）求椭圆的方程1E（）设过点的动直线 与相交于，两点，当的面积最大时，求直线 的方2AlEPQOPQl程【答案】见解析【解析】解：（ ）设，1( ,0)F c由直线的斜率为得，解得，AF2 3 322 3 3c 3c 又离心率，得，3 2cea2a
20、 ，221bac故椭圆的方程为E2 214xy（）当直线轴时，不符合题意，2lx当直线 斜率存在时，设直线，l:2l ykx11( ,)P x y22(,)Q xy联立，得，2 2214ykxxy22(41)16120kxkx由，得，即或，2=16 43)0k（23 4k 3 2k 3 2k ，12216 41kxxk12212 41x xk22 1212|(1)()4PQkxxx x2 2 221612=1)44141kkkk（，2224 143 41kk k又点到直线的距离，DPQ 221d k 的面积，OPQ2214 43|241kSPQ dk设，则，243kt0t - 15 -，当且仅
21、当，即时，等号成立，且，24441414tSttt2t 7 2k 0 直线 的方程为：或l722yx722yx 25 （本题分）13对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之12,(*,3)nA a aannN(1,2, )ia in后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集” A（ ）判断集合是否是“和谐集” （不必写过程） 11,2,3,4,5（）请写出一个只含有个元素的“和谐集” ，并证明此集合为“和谐集” 27（ ）当时，集合，求证：集合不是“和谐集” 35n 12345,A a a a a aA【答案】见解析【解析】解
22、：（ ）集合不是“和谐集” 11,2,3,4,5（）集合，21,3,5,7,9,11,13证明：，357911 13，19135711，91313711 ，135 11713，191135 13，37915 13 ，1359711集合是“和谐集” 1,3,5,7,9,11,13（ ）证明：不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，312345aaaaa1345,a a a a且两个子集元素之和相等，则有，或者，1534aaaa5134aaaa将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，2345,a a a a则有，或者，2534aaaa5234aaaa由得，矛盾，由得，矛盾，由得矛盾，由得12aa12aa 12aa 矛盾，12aa故当时，集合一定不是“和谐集” =5nA