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1、- 1 -20192019 学年高二数学上学期期中试题学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）理（含解析）一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 5 分，共分，共 5050 分）分）1甲、乙、丙 人投篮，投进的概率分别为，现 人各投篮 次，是否投进互不31 32 51 231影响，则 人都投进的概率为（） 3ABCD1 152 151 51 10【答案】A【解析】人都投进的概率，故选31211 35215P A2抛掷颗骰子，所得的颗点数相同的概率为（） 22ABCD1 41 61 81 12【答案】B【解析】抛掷颗骰子所出现的不同结果数是，事件“投掷两颗骰子，所得的点数26 636相同”所包
2、含的基本事件有，共六种，故事件“掷(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)颗骰子，所得点数相同的概率是 ”261 366P 3袋中有个大小完全相同的球，其中个黑球， 三个白球不放回地连续取次，则一5232直在第 次取到黑球的条件下，第次取到白球的概率是（） 12ABCD1 43 43 103 5【答案】B【解析】记事件为“第一次取得黑球” ，事件为“第二次白球”：则，AB2( )5P A ，11 23 11 54C C3()C C10P AB 所以，3 ()310(/)2( )4 5P ABP B AP A即第 次取到黑球的条件下，1第次取到白球的概率是23 4故选B- 2
3、 -4在支铅笔中，又 支正品和支次品，从中任取支，则恰好取到 支正品 支次品的1082211概率是（） ABCD2 916 4517 452 5【答案】B【解析】从支铅笔中取支铅笔，共有种可能，其中 支正品 支次品包含1022 10C4511种可能，所以事件“恰好取到 件正品 支次品”的概率是，故选11 82C C161116 45P B5四棱锥的底面为菱形，侧棱与底面垂直，则侧棱与菱形对角线的关PABCDPCPABD系是（） A平行B相交不垂直 C异面垂直D相交垂直【答案】C【解析】CBAPD底面，平面，PCABCDBD ABCD，PCBD又底面为菱形，ABCD，BDAC平面，BDPAC，B
4、DPA又，异面，所以侧棱与的关系是异面垂直，故选PABDPABDC6某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（） A圆柱B圆锥C三棱锥D三棱柱【答案】A【解析】圆柱的正视图可能是矩形，可能是圆，不可能是三角形，故选A- 3 -7若空间中四条直线、，满足、，则下列结论一定正确的1l2l3l4l12ll23ll34ll是（） AB14ll14llC、既不平行也不垂直D、位置关系不确1l4l1l4l【答案】D【解析】，12ll23ll34ll，13ll34ll与相交、平行、异面都有可能，1l4l即、的位置关系不确定，故选1l4lD8一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积等于（） 12
5、68俯 俯 俯俯 俯 俯俯 俯 俯ABCD288312336384【答案】C【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是直三棱柱，底面是直角边分别为， 的直角68三角形，三棱柱的高为，所以此几何体的表面积1216 8 26 128 1210 123362S 故选C9正方体，为别是，的中点，则正方体过，1111ABCDABC DPQRABAD11BCP，三点的截面图形是（） QR A三角形B四边形C五边形D六边形【答案】D- 4 -【解析】MNQPSR A1B1C1D1CBAD如图，过，的截面是六边形，故选PQRD10设四棱锥中，底面是边长为 的正方形，且平面过直线PABCDABCD1PAABCD且
6、垂直于直线的平面交于点，如果三棱锥的体积取得最大值，则此时BDPCPCEEBCD四棱锥的高为（） PABCDECBAPDABCD不确定132【答案】C【解析】- 5 -xyzDPABCE以为坐标原点，、所在直线为，轴建立如图所示坐标系，设，AABADAPxyzPAh因为在上，所以设，代入有，EPCPEPC ( . ,)Ehh 因为平面，PCBDE，PCBE则，代入得0PC BE 221 2h h所以，21111 23626E BCDBCDEhVSZhhh所以当体积取到最大值时，故选2PAhC二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分）11棱长为的正方体的内切球
7、表面积为_2【答案】4【解析】正方体的棱长等于其内切球的直径，所以其内切球半径，故表面积1R 244SR12盒子中装有编号为 ， ，的个球，从中任意取出个，则这个球的编123456622号之和为偶数的概率是_【答案】2 5【解析】从个球中任意取出个，共有种可能，若个球的编号之和为偶数，则取622 6C152出个球的编号都是奇数或都是偶数，共有种可能，故个球编号之和为偶数的222 33CC62- 6 -概率是62 155P 13随机变量的分布列如下表，则此随机变量的数学期望是_XXX1235P1 61 31 31 6【答案】8 3【解析】11118()123563363E X 14一个病人服用某
8、种新药后被治愈的概率为，服用这种新药的 个人中恰有 人被治愈0.931的概率为_（用数字作答） 【答案】0.027【解析】恰有 人被治愈的概率112 3C0.9 (0.1)0.027P 15直三棱柱的体积为，分别是侧棱，的点，且，111ABCABCVPQ1AA1CC1APC Q则四棱锥的体积为_BAPQC【答案】1 3v【解析】PQA1 B1C1CBA，1APC Q， 1 11 2APQCACC ASS， 1 11 2B APQCB ACC AVV- 7 -又， 1 11 1 11 1 112 33B ACC AABC A B CB A B CVVVVVV故1 3B APQCVV16将 个半径
9、 的球切割打磨成四个同样大小的小球，则小球半径的最大值为_11【答案】62【解析】由题意，四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大，以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为，该正四面体的中心（外接球球心）就是大球的2r球心，该正四面体的高为，222 32 6433rrr设正四面体的外接球半径为，则，x2222 62 3 33xrxr解得：，6 2xr，612rr66236r 故本题答案为：62三、解答题（共三、解答题（共 8080 分）分）17袋中装有大小相同的 个红球和 和个白球33（）从中任意取出个球，求这个球都是红球的概率22（）从中任意取出 个球，求恰有 个是红球的概
10、率31【答案】见解析【解析】 （）任取个球总的基本事件个数：，22 6C15个球都是红球包含的基本事件个数为：，22 3C3故从中任取个球，这个球都是红球的概率222 3 2 6C31 C155P （）任取 个球，总的基本事件个数是：，33 6C20恰有 个红球包含的基本事件个数是：，112 33C C9故从中任取 个球，恰好有 个红球的概率3112 33 3 6C C9 C20P 18如图，四棱锥满足面，SABCDSAABCD- 8 -，90DABABC SAABBCa2ADa（）求证：面面SAB SAD（）求证：面CD SACSCBAD【答案】见解析【解析】DABCSE（ ）证明：平面，平
11、面，1SAABCDAB ABCD，ABSA又，90BAD，ABAD，SAADA平面，ABSAD又平面，AB SAB平面平面SABSAD（）证明：取中点为，ADE，是中点，90DABABC 2ADaBCaEAD是矩形，ABCECEABaDEa，2CDa在中，ACD2ACa2CDa2ADa，222ACCDAD即，CDAC- 9 -又平面，平面，SAABCDCD ABCD，CDSA平面CDPAC19某商场经销某商品，顾客可以采用一次性付款或分期付款购买，根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销 件该产品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润0.61元；若顾客采用分期付款，商场获得利润元200
12、250（）求 位购买商品的顾客中至少有 位采用一次性付款的概率31（）若 位顾客每人购买 件该商品，求商场获得利润不超过元的概率31650（）若 位顾客每人购买 件该商品，设商场获得的利润为随机变量，求的分布列和31XX数学期望【答案】见解析【解析】解：（）记表示事件：“ 位顾客中至少有 位采用一次性付款”则事件的A31A对立事件是“ 位顾客中没有人采用一次性付款” ，则：33( )1(10.6)10.0640.936P A （）记商场获得利润不超过元为事件，事件包含 位顾客中 人均一次性付款和650BB33位顾客中只有人一次性付款32322 3( )0.6C0.6(10.6)0.2163 0
13、.36 0.40.648P B （）可取，X600650700750，3(600)0.60.216P X ，22 3(650)C0.6(10.6)0.432P X ，12 3(700)C0.6 (10.6)0.288P X 3(750)(10.6)0.064P X 所以的分布列为XX600650700750P0.2160.4320.2880.064数学期望()600 0.216650 0.432700 0.288750 0.064660E X 20四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，且与底面垂直，底面是PABCDPDC2ABCD面积为的菱形，为锐角，为的中点2 3ADCMPB（）求证：面PDAC
14、M（）求证：PACD（）求三棱锥的体积PABCD- 10 -MCBAPD【答案】见解析【解析】EO DPABCM（）证明：连结交于，则是中点，ACBDOOBD在中，是的中点，是的中点，PBDOBDMPB，PDMO又平面，平面，PD ACMMO ACM平面PDACM（）证明：作，则为中点，连结，PECDECDAE底面是菱形，边长为，面积为，ABCD22 3，11sin222sin22 322SADDCADCADC ，3sin2ADC60ADC是等边三角形，ACD，CDAE又，CDPE平面，CDPAECDPA（）112 33233P ABCDABCDVSPE- 11 -21某项“过关游戏”规则规定
15、：在地关要抛掷 颗骰子次，如果这次抛掷所出现的点n1nn数和大于，则算过关2n（）此游戏最多能过_关（）连续通过第 关、第关的概率是_12（）若直接挑战第 关，则通关的概率是_3（）若直接挑战第关，则通关的概率是_4【答案】见解析【解析】解：（），26nn06n故此游戏最多能过关5（）第一关，抛掷一颗骰子，出现点数大于 的概率：15 6P 第二关，抛掷次骰子，如果出现的点数和大于，就过关，24分析可得，共种情况，点数小于等于的有：，364(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(3,1)共种，则出现点数大于的有种，故通过第二关的概率为6430305 366连续通过第 关，第关的概率是
16、125525 6636P （）若挑战第 关，则掷 次骰子，总的可能数为种，不能过关的基本事件为方程3336216，其中， ，的正整数解的总数，共有xyza3a 456789种，不能过关的概率为2222 34781CCCC381813 2168故通关的概率为5 8（）若挑战第关，则投掷次骰子，总的可能数为种，不能通关的基本事件为44461296方程，其中，的正整数解的总数，xyzma4a 5616当，共有种，4a 593333 45681CCCC1410203556126 当时，种，当时，种，10a 3 9C48448011a 3112 10443CCC C1204 12104当时，种，12a
17、311212 1144344CCC CC C1654 1224125当时，种13a 31121212 124434445CCC CC CC C2204 122440140当时，种14a 3112121212 13443444546CCC CC CC CC C2864 12244060146当时，15a 种311212121212 1444344454647CCC CC CC CC CC C3644 1224406084140当时，16a 311212121212122 1544344454647484CCC CC CC CC CC CC( C3)C - 12 -种4554 1224406084 1006125所以不能过关的概率为80126104125 140146140125986 12961296能通关的概率为968310112961296