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1、作图作图【例1】作出下列函数的图象(1)y|x2|(x1)；(2)y|log2x1|；(3)y2|x1|.作函数的图象，首先要对函数表达式进行化简，再根据自变量的范围描画函数的图象；也可以应用函数图象的变换规律描述函数的图象要熟练掌握基本初等函数的图象【变式练习1】作出下列函数的图象(1)y|lgx|和ylg|x|；(2)ya|logax|(a0，且a1)【解析】(1)第一个函数的图象只需将ylgx在x轴下方部分的图象沿x轴翻折上去，并去掉x轴下方的图象，如下图(1)；第二个函数的图象只需将ylgx的图象沿y轴翻折过去，同时保留y轴右边的图象，如下图(2)函数图象的变换过程函数图象的变换过程(
2、3)分如下三个步骤求解：第一步，将函数yf(x1)的图象沿x轴的负方向(或向左)平移一个单位长度，得到函数yf(x)的图象；第二步，将函数yf(x)的图象以y轴为对称轴翻折180，得到函数yf(x)的图象；第三步，将函数yf(x)的图象沿x轴的正方向平移2个单位长度，得到yf(x2)f(x2)的图象 图象变换有三种：平移变换、对称变换、伸缩变换，要掌握三种变换的基本规律本题(1)小题是伸缩变换(联系三角函数中的周期变换和振幅变换)；(2)小题是对称变换，也可以理解为翻折变换，对称变换有轴对称变换和中心对称变换；(3)小题是平移变换，对自变量作平移必须注意，如将x向右平移1个单位长度，即(x1)
3、，而不是x1.(2)分两步完成：第一步：将函数yf(2x1)的图象沿y轴翻折180，得到函数yf(2x1)的图象；第二步：将函数yf(12x)的图象沿x轴的正方向平移2个单位长度，得到函数yf(32x)的图象 识图识图【例3】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，如右图是函数f(x)的图象令g(x)af(x)b，证明：当a1，2b0时，方程g(x)0有大于2的根【解析】将f(x)的图象以x轴为对称轴翻折得到f(x)的图象，又2b0，所以g(x)的图象由f(x)的图象向下平移|b|个单位长度得到，所以g(x)在(2，)上是增函数，且g(2)b2时，f(x)0，所以a0，又因为f(x)ax33ax
4、22axax3bx2cxd，所以b3a0，即实数b的取值范围是(，0)用图用图 将不等式(含参数)转化为函数的关系，借助于函数图象来研究，是数学思想灵活运用的体现本题直接解不等式是困难的本题也可以作另外的解释，即【变式练习4】已知关于x的方程x24|x|5m有四个不相等的实根，求实数m的取值范围【解析】设y1x24|x|5，y2m，作函数y1x24|x|5，y2m的图象如右图，由图可知要使方程x24|x|5m有四个不相等实根，只需两图象有四个不同的交点，即1m5.2.函数f(x)(xa)(xb)2(ab)，、()是方程f(x)0的两个实数根，则、a、b的 大 小 关 系 是 _ab0)平移a个
5、单位长度，就得到函数yf(xa)的图象；把函数yf(x)的图象沿x轴方向向右(a0)平移a个单位长度，就得到函数yf(xa)的图象；上下平移：把函数yf(x)的图象沿y轴方向向上(a0)平移a个单位长度，就得到函数yf(x)a的图象；把函数yf(x)的图象沿y轴方向向下(a0)平移a个单位长度，就得到函数yf(x)a的图象(2)对称变换 轴对称：设函数yf(x)的图象的对称轴是直线xa，则f(ax)f(ax)或f(2ax)f(x)；当a0时，函数f(x)是偶函数；中心对称：设函数yf(x)的图象的对称中心为(a,0)，则f(ax)f(ax)或f(2ax)f(x)；当a0时，函数f(x)是奇函数
6、；设对称中心是(a，b)，则f(ax)2bf(ax)或f(x)2bf(2ax)图象的对称变换中，要注意两个函数图象的对称性问题：如函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于原点对称；函数yf(x)与函数yf 1(x)的图象关于直线yx对称等 图象对称变换中的翻折问题：如把函数yf(x)在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，在x轴上方的保持不变，就得到函数y|f(x)|的图象；把函数yf(x)在y轴右边的图象沿y轴翻折到y轴左边，保留y轴右边的图象，就得到函数yf(|x|)的图象 2应用图象可以直观地解决很多问题，如解决与方程的解的个数有关的问题、解不等式等，应用图象解决问题的前提是正确地画出图象，而画图的步骤：求定义域；化简解析式；确定基本函数及图象变换的顺序；作出图象