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1、第第9 9讲讲增函数 2.已知函数y=f(x)在定义域R上是单调减函数，且f(a+1)f(2a)，则a的取值范围是_.解析：f(a+1)f(2a)，又y=f(x)在定义域R上是单调减函数，所以a+11.3.设函数f(x)是R上的单调减函数，且f(m2)f(-m)，则实数m的取值范围为_.解析：依题意得m2-m，解得-1m0.a1(-1,0)4.函数f(x)=4x2-mx+5在区间-2，+)上是增函数，在区间(-，-2上是减函数，则f(1)=_.解析：由题意得，对称轴为x=-2，所以=-2，即m=-16.f(x)=4x2+16x+5，f(1)=4+16+5=25.25(0,1 函数单调性的判断函
2、数单调性的判断与证明与证明 研究函数的单调性一般有两种方法，即定义法和导数法定义法是基础，掌握定义法的关键是作差(f(x2)f(x1)，运算的结果可以判断正、负本题判断正、负的依据是代数式“x1x2a”，处理这个代数式的符号是一个难点，要有一定的数学功底作基础把x1、x2看成自变量，则转化为判断“x2a”的符号，【变式练习1】求证：函数f(x)x3x在R上是增函数 求函数的单调区间求函数的单调区间【变式练习2】求函数f(x)loga(32xx2)(0a0，则x(3,1)由于函数u的图象的对称轴为直线x1，所以函数u在1,1)上是单调减函数，在(3，1上是单调增函数又因为函数ylogau(0a1
3、)是单调减函数，所以函数f(x)loga(32xx2)(0a0 (2)保证常见函数的单调区间与题目给出的单调区间的同一性本题中，a/2，)是单调增区间，与2，)一致；(3)注意防止扩大参数的取值范围，本题中，u(2)0.【变式练习3】是否存在实数a，使函数f(x)loga(ax2x)在区间2,4上是单调增函数？证明你的结论 抽象函数的单调性抽象函数的单调性 抽象函数单调性问题的特点是：(1)给出定义域；(2)给出满足函数意义的表达式(本题是f(xy)f(x)f(y)；(3)讨论函数的单调性和不等式求解等问题 处理方法：(1)在定义域内任意取值，找出某些具体的函数值，如f(1)等；(2)抓住关系
4、式，如f(xy)f(x)f(y)，进行适当的赋值和配凑，如本题中找出f(x)f(1/x)；(3)从函数值的大小关系中，根据单调性，脱掉函数符号，转化为自变量间的大小关系，但要注意自变量的取值必须在定义域内，最后通过解不等式(组)来完成【变式练习4】定义在R上的函数yf(x)，f(0)0.当x0时，f(x)1，且对任意的x，yR都有f(xy)f(x)f(y)(1)证明：对任意的xR，f(x)0；(2)证明：f(x)是R上的单调增函数；(3)若f(x)f(x2x)1，求x的取值范围(2)证明：设x10，所以f(x2x1)1，且f(x1)0，所以f(x2)f(x1)0，故函数f(x)在R上是单调增函
5、数(3)由f(x)f(x2x)f(x22x)1f(0)，得x22x0，解得2x0(0)，则函数f(x)在D上是单调增函数(单调减函数)2求函数的单调区间的方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法；步骤：先求定义域，再选择合适的方法求单调区间；注意点：结论只能写成区间的形式；多个单调区间中间用“，”隔开，不能“并”；3复合函数的单调性 函数yfu(x)称为复合函数，其中u(x)称为“内层函数”，yf(u)称为“外层函数”“内、外层函数”的单调性相同时，函数yfu(x)是单调增函数，相反时，函数yfu(x)是单调减函数简称为“同增异减”在讨论复合函数的单调性时，定义域是不能忽视的，要注意内层函数的值域是外层函数的定义域 在复合函数单调性问题中，对参数的讨论是一个难点，因为参数所具有的性质与单调区间有直接关系，因此要注意两点：一是确保单调区间上函数有意义；二是根据单调性，转化为不等式(组)问题求解 4已知函数在某个区间上的单调性，求字母的取值，可以利用定义法、图象法或导数法，要注意端点处能否取得 5单调性的常用结论：奇函数在对称区间上有相同的单调性，偶函数在对称区间上有相反的单调性