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1、高二数学 第 1 页 共 6 页 苏州市 20222023 学年第一学期学业质量阳光指标调研卷 高 二 数 学 2023.01 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本卷共 6 页，包含单项选择题（第 1 题第 8 题）、多项选择题（第 9 题第 12 题）、填空题（第 13题第 16 题）、解答题（第 17 题第 22 题）本卷满分 150 分，答题时间为 120 分钟答题结束后，请将答题卡交回2 答题前，请务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分每小题给
2、出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1记正项数列na的前 n 项和为nS,且nS是等比数列，且11a=，32a=，则5a=A16 B4 C8D182直线403xy+=的倾斜角是A3B6C23D 3设数列na各项非零，且平面 的法向量为32(,0)aa=n，直线 l 的方向向量为67(,)na a a=m，则“数列na为等比数列”是“平面 平行于直线 l”的 A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4记椭圆22221(0)xyabab+=的左焦点和右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A.过 F1且倾斜角为 30的直线l
3、与椭圆的一个交点为 B，且 B 在 x 轴上的投影为 F2.连接 AB，AB 的方向向量)3(3,=v，则椭圆的离心率为 A12B32C35D635如图，正方形1111ABC D的边长为 14 cm，A2，B2，C2，D2依次将 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1分为 3:4 的两部分，得到正方形2222A B C D，依照相同的规律，得到正方形3333A B C D、4444A B C D、nnnnA B C D.一只蚂蚁从 A1出发，沿着路径 A1A2A3An爬行，设其爬行的长度为 x，K 为正整数，且 x 与 K 恒满足不等式xK，则 K 的最小值是（第 5 题图）A19 B20 C
4、21 D22 高二数学 第 2 页 共 6 页 6已知数列na，且12a=，记其前 n 项和为 Sn.若nnSa是公差为12的等差数列，则 S100 A200 B20200 C10500 D10100 7 如图 1 所示是素描中的由圆锥和圆柱简单组合体，抽象成如图 2 的图像.已知圆柱 O1O2的轴线在 Oyz 平面内且平行于 x 轴，圆锥与圆柱的高相同.AB 为圆锥底面圆的直径，2AB=，且2ABOS=.若 O1到圆O 所在平面距离为 2.若 AO1BO2，则 SO1与 SO2夹角的余弦值为 （图 1）（图 2）（第 6 题图）A8 6565 B6513 C6565 D18 8在写生课上，离
5、身高 1.5 m 的絮语同学不远的地面 上水平放置着一个半径为 0.5 m 的正圆 C，其圆心C 与絮语同学所站位置 A 距离 2 m.若絮语同学的视平面，AC，且ACD=，1CD=m，则絮语同学视平面上的图形的离心率为 A56 B115 C116 D35 二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得 5 分，选对但不全的得 2 分，选错或不答的得 0 分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.9已知直线1:230lkxyk+=，2:340lxkyk+=，设两直线分别过定点 A、B，直线1l和直线2l的交点为 P
6、，则下列结论正确的是 A直线1l过定点(2,3)A，直线2l过定点(4,3)B B0PPBA=CPAB 面积的最大值为 5 D若(1,0)C，(1,0)D，则 P 恒满足|2|PDPC=10设平面直角坐标系中，双曲线 :2231xy=的左焦点为 F1，且与抛物线 C:28yx=有公共的焦点 F2.若P 是 C 上的一点，下列说法正确的是 A 和 C 不存在交点 B若(2,4)P，则直线 F1P 与 C 相切 C若F1PF2是等腰三角形，P 的坐标是(4,4)D若F2PF190，则 P 的横坐标为22 65+高二数学 第 3 页 共 6 页 11Farey 数列是百余年前的发现，在近代数论中有广
7、泛的应用。Farey 数列是把0,1中的分母不大于 n 的分子与分母互质的分数从小到大排成一列，该数列称为 n 阶 Farey 数列，记为nF，并记其所有项之和为nF.Farey 数列还有一个神奇的性质.若设nF的相邻两项分别为,a cb d，则1bcad=.下列关于Farey 数列说法正确的是 AnFn=B数列7F中共有 18 项 C当 n2 时，nF的最中间一项一定是12 D若nF中的相邻三项分别为,a ceb df，则caedbf=+12如图 1，瀑布是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”（图 2）.在棱长为 2 的正方体ABCDA B C
8、D 中建立如图 3 所示的空间直角坐标系（原点 O为该正方体的中心，x，y，z 轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着 x 轴，y 轴，z 轴旋转 45，得到的三个正方体nnnnnnnnA B C DA B C D ，1,2,3n=结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图 7）.在图 7 所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是 A设点nB的坐标为(,)nnnxy z，1,2,3n=，则2223nnnxyz+=B设2233B CA BE=，则323B E=C点1A到平面223B C B的距离为2 63 D若 G 为线段22B C上的动点，则直线2A G与直线11AB所成角最小
9、为6 高二数学 第 4 页 共 6 页 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，若两个空，第一个空 2 分，第二个空 3 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上 13已知(1,)3,2=a，(,5,2)mm=b，且ab，则m=.14 若数列na和数列 nb同时满足11a=，10b=，1434nnnaab+=+，1434nnnbba+=，则na=，nb=.15若21,1A，且 P 在22143xy+=上，Q 在圆224(1)1xy+=上，则1|2PAPQ+的最小值为 .16已知圆 O 的直径 AD 上有两点 B，C，且有|2ABBCCD=，MN 为圆 O 的一条弦，则BM CN
10、的范围是 .四、解答题：本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本小题满分 10 分)平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，关于基础的音乐理论的著作浩如烟海，是学习音乐的必修课程.我们平常所说的乐理，一般是指音乐理论中的基础部分，解决有关声音的性质、律制、记谱法、音乐的基本要素、音与音之间结合的基本规律等等，而记谱（和读谱）的方法是其中很重要的一个部分。音乐是人类共同的语言.音乐中，我们常用音阶描述音符音调高低的关系，即 1(do)，2(re)，3(mi)，4(fa)，5(sol)，6(la)，7(ti)，1(do).
11、如图，在钢琴上，一个八度内白键、黑键共有 13 个（不计入图中最右侧的半个黑键），相邻琴键对应的音符频率比相等且 1 的频率与的1频率比为 2.（1）若两音 xn与 yn的音程关系为一度，求两音的频率比；（2）利用“五度相生”可以构造出被称为“宫商角徵羽”的五声音阶.设 1 的频率为 f，在 1 的基础上不断升高五度，生成新的音符，并为方便辨认新的音符，将生成的频率大于 2f 的音降一个八度.请你利用五度相生的理论推断出“宫商角徵羽”可能对应的音符（无需一一对应）.参考数据：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 122n 1.05 1.12 1.18 1.25 1.33 1
12、.41 1.49 1.58 1.68 1.78 1.89 2 18(本小题满分 12 分)已知抛物线2:2C ypx=，记其焦点为 F.设直线 m:4x=到在直线m 左侧的抛物线上的一点 P 的距离为 d，且|5dPF+=.（1）求 C 的方程；（2）如图，过焦点 F 作两条相互垂直的直线 l1、l2，且 l1的斜率恒大于 0.若 l2分别交 l:1x=于 A 两点，l1交抛物线于 C、D 两点，证明：ACDADC 为定值.（第 18 题图）高二数学 第 5 页 共 6 页 19(本小题满分 12 分)如图，三棱锥 PABC 中，5PAPB=，且平面 PAB平面 ABC，2ABBC=，设 E
13、为平面 PBC 的重心，F 为平面 PAC 的重心.（1）棱 AB 可能垂直于平面 PBC 吗？若可能，求二面角APBC的正弦值，若不可能，说明理由；（2）求 EF 与 PC 夹角余弦值的最大值.（第 19 题图）20(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，存在两定点(1,0)M,(1,0)N与一动点 A.已知直线 MA 与直线 MB 的斜率之积为 3.（1）求 A 的轨迹；（2）记 的左、右焦点分别为 F1、F2.过定点(0,1)的直线 l 交 于 P、Q 两点.若 P、Q 两点满足22116()()21PFPFQFQF+=+，求 l 的方程.21(本小题满分 12 分)（1）
14、如图 1，一个半径为 a 的圆在一条直线上无滑动地滚动，与 x 轴的切点为 A，设,CP CA=，圆上一点 P.设平行于 x 轴的单位向量为 i，平行于 y 轴的单位向量为 j，用i,j表示OC；在的条件下，用题中所给字母表示OP，并以()()xxyy=的形式写出 P 运动轨迹的方程.（2）如图 2，设点 Q 在空间直角坐标系 Oxyz 内从(,0,0)A a开始，以 的角速度绕着 z 轴作圆周运动，同时沿着平行于 z 轴向上作线速度为 b 的匀速直线运动.用题中所给字母表示 Q 的运动轨迹的方程.（第 21 题图 1）（第 21 题图 2）高二数学 第 6 页 共 6 页 22(本小题满分
15、12 分)已知平面直角坐标系内一椭圆 C2221:xya+=，记两焦点分别为12,F F，且123|2FF=.（1）求 C 的方程；（2）设 C 上有三点 Q、R、S，直线 QR、QS 分别过12,F F，连接 RS.若(0,1)Q，求QRS 的面积；证明：当QRS 面积最大时，QRS 必定经过 C 的某个顶点.高二数学 第 1 页 共 5 页 苏州市 20222023 学年第一学期学业质量阳光指标调研卷 高二数学参考答案2023.01 一、单项选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C C D C D 二、多项选择题：题号 9 10 11 12 答案 AB BD CD
16、 ACD 三、填空题：13.114.11 1122 22nnnn+；15.116.17216,四、解答题：17.(本小题满分 10 分)解：（1）由题，若两个音距离一个八度，则频率比为 2，所以若两个音的音程为一度，半个音（即相邻琴键）之间的频率比为1122，2 分 所以两个成一度之间的音符频率比为162.4 分（2）通过五声调式，可以先构成一组“五声调式”：3245,3,3333,22222ffffff6 分 将其中大于 2f 的降一个八度，即除以 2n：3345467233333,22222,ffffff9 分 根据参考数据可以估计得到，五个音分别为 1，5，2，6，3.因此“宫商角徵羽”
17、对应的音高为 1，2，3，5，6.10 分 18.(本小题满分 12 分)解：（1）设抛物线准线的方程为2:lxp=，则可知452p+=，解得2p=，2 分 所以 C 的方程为24yx=.3 分 高二数学 第 2 页 共 5 页（2）作 CHl 于 H，DIl 于 I.由抛物线定义，,HCFC FDDI=，5 分 又因为90,90,AIDAFDAHCAFC=所以,AHCAFCAIDAFD，8 分 由此，,IADFADCAHCAF=，所以22180,90CADFADCADFADCAD+=+=，10 分 所以1809090ACDADC+=，为定值.12 分 （第 18 题答图）19.(本小题满分
18、12 分)解：（1）设 AB 中点为 O，连接 PO，由于PAPB=，因此 POAB，又因为平面 PAB平面 BAC，所以 PO平面 ABC.以 B 为原点作空间直角坐标系Bxyz，则(2,0,0),(0,0,0),(1,0,2)ABP 设CBA=，则),2s(2cnosi,0C.2 分 所以(2,0,0)BA=,(1,0,2),(),22cossin,0BPBC=.设平面 PBC 的法向量为(,)x y z=n，则有s202 c s2ino0 xzxy+=+=，所以取cos2siinnsxzy=，则),cos,2si(nsin=n.因为棱 AB 可能垂直于平面 PBC，所以BAn，则icno
19、s02s0=，无解，所以不可能.4 分（2）由重心的性质，1211()3332PPBPCEPBPC+=+，同理，1133PPAPFC=+所以11111112,0,033333333EPPAPECPBPCPAPBBAFPF=+=7 分 1(2cos),2sin,2PC=，所以2c3os4cos2cos13294cos94cos3,EF PC=8 分 高二数学 第 3 页 共 5 页 设2cos194 o()c sf=，令94cos 5,13t=，则29221cos2t=，10 分 2721()22712ttf ttt=.令1212 5,13tt t t，则1 221121122121(7)()7
20、7()()222122t tttftttttfttt+=，因为1 2210,0t ttt，所以12()()0f tf t，即12()()f tf t，又因为12tt，所以()f t在 5,13上是减函数.11 分 因此max55()5()f tf=，因此，求 EF 与 PC 夹角余弦值的的最大值为55.12 分 20.(本小题满分 12 分)解：（1）设(,)A x y，由题意311yyxx+=，化简可得2213xy=所以 A 的轨迹为221(1)3xyx=.3 分（不去点扣 1 分）（2）由向量积的几何意义，作 OHDE，垂足为 H.所以 LHS2|2|2|2|DHEHDEDEDE=+=，因
21、此，36DE=.5 分 设:2l ykx=+，联立：22331xyykx=+，可得二次方程22(3)240kxkx=判别式有2248 1604kk+=，解得(2,2)k 6 分 由方程可得121222,2433kxxxxkk+=，7分 由弦长公式222122224316|(1631|3)kDEkxkxkk=+=9 分 解得12345555,22551414,kkkk=11分 因此 l 的方程为1412yx=+或1555yx=+.12 分（注：每少一个解扣 1 分）21.(本小题满分 12 分)解：高二数学 第 4 页 共 5 页（1）OCOAACaa=+=+ij.2 分 由题，OPOCCP=+
22、.CP可以分解为coscos2CPaa=+ji.4 分 所以sin)(1co(s)aOPa+=+ij，5 分 因此 P 的运动轨迹可以表示为()(1cosins)xaya=.6 分（2）设该坐标系的基底为,i j k.7 分 设 Q 在平面 Oxy 内的投影为 R，所以由物理学知识，,tOR=i，RQtb=k 8 分 由题设，可以将OQ记作csinostOQORtatRQba=+=+ijk 10 分 因此类似（1）中可以表示 Q 的轨迹为sincosxtyatzab t=.将ztb=分别代入cosxta=和sinyta=，11 分 可得：sincosxbzbaazy=，消去 z、b，可得222
23、xya+=.12 分 22.(本小题满分 12 分)解：（1）可知3,322cc=,所以222134abc=+=+=,因此2a=.1 分 所以 C 的方程为2214xy+=.2 分（2）可知直线 QR 的方程为313yx=+，直线 QS 的方程为331yx=+.联立可解得(),()8 318 31,7777RS，3 分 因此16864791318 33(1)27774QRSS=+.4 分 高二数学 第 5 页 共 5 页 设直线 QR 和直线 QS 的方程为3,3xmyxny=+，设001122(,),(,),(,)Q xyR x yS xy，联立 QR 和椭圆：220(3421)mmyy+=
24、，可得01201232144yymymym+=+=+，同理：0202222 3144yynynyn+=+=+.5 分 又因为0000,xmyc xnyc=+，所以01001032 32 3yyxymyy=+，01016,2 3yyyx=+即00172 3yyx=；同理22000032 32 3yynxy yy=+=，20202 36,yyxy+=即001273yxy=；7 分 设00y，于是1 201021200|=|QRSFPFSyyyyPQPRSPFPFyy=9 分 因此121200000011111121|3237327QRSySyyFFyyyyy=+000002002016333334
25、9331228 2827 27xxxxyyxx+=+=又因为22004(1)xy=，所以：000022200222000161333333148144()491441248QRSyyySyyyyyy=+=+，设0202000()133,(0,11()48yf yyyy+=+10 分 下面证明()f x961)44(3f=：23221131338()4644818xxxxxx=+64 349，化简：3234813xxx+4 349，即证明320143192 334749xxx，20(513)()494927xxx+，而2495409327xx+=的判别式小于等于 0，高二数学 第 6 页 共 5 页 12 分 因此原题得证.