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1、13.1.43.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业A 组 基础巩固1下列说法中正确的是( )A任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底B空间的基底有且只有一个C两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D基底a，b，c中的基向量与基底e，f，g的基向量对应相等解析：只有不共面的三个非零向量才能作空间向量的基底，基底不唯一，因此 A，B，D 均不正确，C 正确，故选 C. 答案：C2O，A，B，C为空间四个点，又， ，为空间的一个基底，则( )OAOBOCAO，A，B，C四点不共线BO，A，B，C四点共面，但不共线CO，A，B，C四点中任意三点不共
2、线DO，A，B，C四点不共面解析：由于， ，为空间的一个基底，OAOBOC所以， ，不共面，OAOBOC因此，O，A，B，C四点一定不共面，故选 D.答案：D3.如图所示，空间四边形OABC中，a，b，c，点M在上，且OAOBOCOA2，N为BC的中点，xaybzc，则x，y，z分别为( )OMMAMNA. ， ， B ，1 22 31 22 31 21 2C. ， D. ，1 21 22 32 32 31 2解析：MNMAABBN()1 3OAOBOA1 2BC() ()1 3OAOBOA1 2OCOB2，2 3OA1 2OB1 2OCx ，y ，z ，2 31 21 2故选 B.答案：B4
3、在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )A向量的坐标与点B的坐标相同ABB向量的坐标与点A的坐标相同ABC向量与向量的坐标相同ABOBD向量与向量的坐标相同ABOBOA解析：因为A点不一定为坐标原点，所以 A 不正确；B，C 都不正确；由于，ABOBOA所以 D 正确，故选 D.答案：D5如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1EA1B1，则等于( )1 4BEA.(0，1 4，1)B.(1 4，0，1)C.(0，1 4，1)D.(1 4，0，1)解析：B(1,1,0)，E(1，1)，3 4(1，1)(1,1,0)BE3 4(0， ，1)1 4答案：
4、C6已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m与n共线，则3x_，y_.解析：因为m与n共线，所以存在实数，使mn，即abcxaybc，于是有Error!解得Error!答案：1 17正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中点，若0(R)，则_.EFA1D解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上易知EF綊A1D，1 2，EF1 2A1D即0，EF1 2A1D .1 2答案：1 28已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为 0 的实数，m，n，使mn0，那么mn的值为_OAOBOC解析：A，B，C三点共线，
5、存在实数k，使k，即k()，ABBCOBOAOCOB即(k1)k0，1(k1)k0，OAOBOC故mn0.答案：09若a，b，c是空间的一个基底，判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底解析：假设ab，bc，ca共面，则存在实数，使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底，a，b，c不共面，Error!此方程组无解ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间一个基底10棱长为 1 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以4， ，为基底，求下列向量的坐标：ABADAA1(1)， ， ；AEAGAF(2)， ，.EFEGDG解
6、析：(1)AEADDEAD1 2DD1，AD1 2AA1(0，1，1 2)，AGABBGAB1 2AD(1，1 2，0).AFAA1A1D1D1FAA1AD1 2AB(1 2，1，1)(2)().EFAFAEAA1AD1 2AB(AD12AA1)1 2AA11 2AB(1 2，0，1 2)EGAGAE(AB12AD) (AD12AA1)，AB1 2AD1 2AA1(1，1 2，1 2)DGAGADAB1 2ADAD.AB1 2AD(1，1 2，0)B 组 能力提升1已知i，j，k为空间的一个单位正交基底，且a2i2j2k，bi4j6k，cxi8j8k，若向量a，b，c共面，则向量c的坐标为(
7、)A(8，8,8) B(8,8,8)C(8，8，8) D(8,8，8)解析：a，b，c共面，可设cab，故xi8j8k(2i2j2k)(i4j6k)，由此可得Error!解得x8.故向量c的坐标为(8，8,8)答案：A2.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若a，b，c，则( )ABADAA1B1MA.abc1 21 25Babc1 21 2C.abc1 21 2Dabc1 21 2解析：B1MAMAB1 ()()1 2ABADABAA11 2AB1 2ADAA1abc.1 21 2答案：B3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，用，作为基向量，则ACAB
8、1AD1_.AC1解析：2222AC1AA1ADAB()()()AA1ADAA1ABADAB，AD1AB1AC ()AC11 2AD1AB1AC答案： ()1 2AD1AB1AC4在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若x2y3z，则xyz_.AC1ABBCC1C解析：，AC1ABBCCC1又x2y3z，AC1ABBCC1Cx1,2y1,3z1，即x1，y ，z ，1 21 3故xyz1 .1 21 311 6答案：11 665在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中ABADAA1点(1)用向量a，b，c表示， ；D1BEF(2)若xaybzc，求
9、实数x，y，z的值D1F解析：(1)如图，abc，D1BD1DDBAA1ABAD () () (ac)EFEAAF1 2D1A1 2AC1 2AA1AD1 2ABAD1 2(2) ()D1F1 2D1DD1B ()1 2AA1ABAD1 ()1 2AA1ABADDD1 (acbc)1 2abc，1 21 2x ，y ，z1.1 21 26已知正四面体ABCD棱长为a，试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标解析：过点A作AG垂直于平面BCD，由于ABACAD，所以点G为BCD的中心，过点G作GFCD，E为CD的中点，以G为原点， ， ，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立GFGEGA如图所示的空间直角坐标系因为BCD的边长为a，则BEa，GEa，3236又 ，所以GF aa，GF CE2 32 31 21 3又BGa，所以AGa，33a2a2363所以 A，B，C，D.(0，0，63a)(0，33a，0)(a2，36a，0)(a2，36a，0)1