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1、12017-20182017-2018 学年高三数学上学期期末复习备考之精准复习模拟题学年高三数学上学期期末复习备考之精准复习模拟题 理（理（B B 卷）卷）考试时间：120 分钟；总分：150 分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上一、单选题（每小题一、单选题（每小题 5 5 分，共分，共 6060 分）分）1若i为虚数单位，则复数1 3 2izi 的虚部为（ ）A. 7 6B. 7 6 C. 7 5D. 7 5【答案】D【解析】复数1 31 3 22iizii 1 321 7225iiiii ,虚部为7 5,故选 D.2若集合0 1A ， y|y
2、2x,xAB ，则RC AB（ ）A. 0 B. 2 C. 2,4 D. 0,1,2【答案】B【解析】 由题意得 |2 ,0,2By yx xA，所以 2RC AB，故选 B.3 “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现，数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数，具体数列为：1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，已知数列 na为“斐波那契”数列， nS为数列 na的前n项和，若2017am，则2015S ( )A. 2m B. 21 2mC. 1m D. 1m【答案】D【解析】211121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa 1232.
3、nnnnnaaaaa 12321+.1=1nnnnnaaaaaaS,2015201711Sam ，故选 D.4已知一个棱长为 2 的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）2A. 9 2B. 4 C. 3 D. 3 10 2【答案】A则截面为 FEB1D1.，为等腰梯形，上底 FE=2，下底 B1D1=2 2,腰为1E145B .得梯形的高为223 2522.则面积为： 3 222 292 22 .故选 A.5已知M， N是不等式组1 1 10 6x y xy xy ，所表示的平面区域内的两个不同的点，则MN 的最大值是（ ）3A. 34 2B. 17 C. 3
4、 2 D. 17 2【答案】BM、N 是区域内的两个不同的点运动点 M、N，可得当 M、N 分别与对角线 BD 的两个端点重合时，距离最远因此|MN|的最大值是|BD|=225 11 2=17故选：B点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.6在高校自主招生中，某学校获得 5 个推荐名额，其中清华大学 2 名，北京大学 2 名，浙江大学 1 名，并且清
5、华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象，则不同的推荐方法共有（ ）A. 36 种 B. 24 种 C. 22 种 D. 20 种【答案】B【解析】根据题意，分 2 种情况讨论：4、第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，共有32 32A A=12 种推荐方法；、将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余 2 个女生从剩下的 2 个大学中选，共有222 322C A A=12 种推荐方法；故共有 12+12=24 种推荐方法，故选：B7某校高三(1)班每周都会选出两位“进步之星” ，期中考试之后一周“进步之星
6、”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生” ，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋” ，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是进步之星” ，小谭说：“小赵说的对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“进步之星”是（ ）A. 小赵、小谭 B. 小马、小宋 C. 小马、小谭 D. 小赵、小宋【答案】A8执行如图所示的程序框图，如果输入3,2ab，那么输出a的值为A. 16 B. 256 C. 3log 626 D. 6561【答案】D【解析】当32ab， 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， 9a ，当9a 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， 81a
7、 ，当81a 时，不满足退出循环的条件，执行循环体后， 6561a ，当6561a 时，满足退出循环的条件，故输出的a 值为 6561，5故选 D9过双曲线： 22221(0,0)xyabab的右焦点F作x轴的垂线，与在第一象限的交点为M，且直线AM的斜率大于 2，其中A为的左顶点，则的离心率的取值范围为（ ）A. 1,3 B. 3, C. 1,2 3 D. 2 3,【答案】B点睛：求双曲线的离心率（或范围）时，将题目中所给的双曲线的几何关系转化为关于基本量, ,a b c的方程或不等式，利用222bca和e=c a转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式可求得离心率的值或取值范围10如
8、图，长方体1111ABCDABC D的底面是边长为1的正方形，高为2,MN、分别是四边形11BBC C和正方形1111ABC D的中心，则直线BM与DN的夹角的余弦值是（ ）A. 3 10 10B. 7 10 30C. 5 34 34D. 10 6【答案】B【解析】以1,AB AD AA为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，则：1211 17 102,0,1 ,2 ,cos,.22 23011114444BMDNBM DN 本题选择 B 选项.6点睛：异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角.11
9、函数 ln24x aa xf xxxee，其中e为自然对数的底数，若存在实数0x使 03f x成立，则实数a的值为（ ）A. ln2 B. ln2 1 C. ln2 D. ln2 1【答案】D而44x aa xee（当且仅当4x aa xee，即ln2xa时等号成立） ，故 3f x （当且仅当等号同时成立时，等号成立） ，故ln21xa ，所以1 ln2a ，故选 D.点睛：本题考查了导数在函数中的综合应用和基本不等式的应用，解答中利用导数求解函数的最值，再根据基本不等式求得最值，分析题意得出只有两个等号同时成时取得是解答的关键，着重考查了方程根与函数的零点之间的应用，试题有一定的综合性，属
10、于中档试题.12已知I为ABC的内心， 7cos8A ，若AIxAByAC ，则xy的最大值为（ ）A. 3 4B. 1 2C. 5 6D. 4 5【答案】D【解析】点 O 是平面 ABC 上任意一点，点 I 是ABC 内心的充要条件是：aOAbOBcOCOIabc 其中 BC=a、AC=b、AB=c，将 O 点取作 A 点带入得到cAIABACabc ，故11bcaxyabcxybc 7由余弦定理得到222 22277cos284bcaAbcbcabc ， 2222715 44122bcbca bcbcbcbc cb 又因为2bc cb ，最终求得1514a xybc ，故4 5xy 故答案
11、选 D.点睛：这道题目考查了三角形内心的性质，及判断内心的充要条件， aOAbOBcOCOIabc ，通过这个结论得到bcxyabc，求这个式子的最值时，取倒，结合余弦定理得到二元式子，最终化为均值不等式求解，计算量较大.二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分）13已知随机变量的分布列为：若 1 3E，则ab_， D_【答案】 1 211 914已知函数 2sin(0)6f xx的图象向右平移2 3个单位后与原图象关于x轴对称，则的最小值是_【答案】3 28【解析】函数 f x的图象向右平移2 3个单位后, 所得图象对应的函数解析式为222sin2sin3
12、663yxx, 再根据所得图象与原图象关于x轴对称,可得22,3kkz,即33,2kkz ,则的最小值为3 2.15已知nS为数列 na的前n项和，且2log11nSn，则数列 na的通项公式为_.【答案】3122nnnan16已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线C的两条切线，切点分别为,A B，若3,4PAPB，则PF _【答案】12 5【解析】设1122,02pA x yB xyPtt，则11:AP yyk xx,将22yxp代入可得: 2 11222pypykypkx,即22 11220kypypyky,由题意直线AP与抛物线相切,则其判别式22
13、 114420pkpyky,即222 11 120APppkpyk yky，所以切线的方程为11 1:pAP yyxxy,即2 111:AP y yyp xx.同理可得: 2PBpky.所以22 2:pBP yyxxy，即2 222:BP y yyp xx.又两切线都经过点,2pPt可得92 2 1122 221 22 1 2py tyy typ ,则12,y y是方程2220ytyp的两根,故2 1212,2y ypyyt ,所以2121APPBpkkAPBPy y ,因3,45APBPAB又因为111 222 11121212222AFypypypkpypyy yyyx,同理可得21222
14、2BFypkpyyx,即,AFBFkkA F B共线,而1212122,22ABPFyyppttkkppxxyytp ,则1ABPFkk ,即PFAB,故在Rt APB中,高12 5APBPPFAB,应填答案12 5。点睛:解答本题的思路是先确定两切线,AP BP的位置关系是互相垂直，进而确定三点,A F B共线，最后再证明PF是Rt APB斜边上的高，然后借助三角形的面积相等巧妙地求出斜边上的高12 5APBPPFAB,应。3 3、解答题（共解答题（共 7070 分分. .第第 17-2117-21 题为必考题，每个试题考生必须作答题为必考题，每个试题考生必须作答. .第第 2222、232
15、3 题为选考题，考生根据要题为选考题，考生根据要求作答求作答. .）（一）必考题（共（一）必考题（共 6060 分）分）17在ABCA中，角A， B， C的对边分别为a， b， c，且ac，已知2BA BC， 1cos3B ， 3b ，求：（1）a和c的值；（2）cos BC的值.【答案】 （1）3a ， 2c .（2）23 27【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得 cos2caB ，即得6ac .再根据余弦定理得2213ac.解方程组得a和c的值；（2）由正弦定理得sinC，再由平方关系以及两角差余弦公式得cos BC的值.10试题解析：（1）由2BA BC，得 cos2caB ，又1
16、cos3B ，所以6ac .由余弦定理，得2222cosacbacB，又3b ，所以2292 213ac .解226 13ac ac 得2a ， 3c 或3a ， 2c .因ac，所以3a ， 2c .18某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物A（下简称A 作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了 500 处 A作物种植点，其生长状况如表：其中生长指数的含义是：2 代表“生长良好” ，1 代表“生长基本良好” ，0 代表“不良好，但仍有收成” ，1 代表“不良好，绝收” （1）估计该市空气质量差的A作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例；（2）能否有 99%的把握认
17、为“该市A作物的种植点是否绝收与所在地域有关”？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市A作物的种植点中，绝收种植点的比例？请说明理由.11 22n adbcKabcdacbd【答案】(1) 11 12(2) 有 99%的把握认为“该市 A 作物的种植点是否绝收与所在地域有关,(3) 采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好试题分析：（1）调查的 500 处种植点中共有 120 处空气质量差，其中不绝收的共有 110 处，空气质量差的 A 作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例11011 12012 （2）列联表如下：收绝收合计南区16040200北区27030300合计43070
18、500K2=25004 27030 160200 300 70 4309.9679.9676.635，有 99%的把握认为“该市 A 作物的种植点是否绝收与所在地域有关（3）由（2）的结论可知该市 A 作物的种植点是否绝收与所在地域有关，因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好19如图，三棱台111ABCABC中， 侧面11AB BA与侧面11AC CA是全等的梯形，若1111,A AAB A AAC,且11124ABABA A.12（）若12CDDA ， 2AEEB ，证明： DE平面11BCC B；（）若二面角11CAAB为3，求平面1
19、1AB BA与平面11C B BC所成的锐二面角的余弦值.【答案】()见解析；() 1 4.试题解析：（）证明：连接11,AC BC，梯形11AC CA， 112ACAC,易知： 111,2ACACD ADDC ；又2AEEB ，则DE1BC；1BC 平面11BCC B， DE 平面11BCC B，可得： DE平面11BCC B；（）侧面11AC CA是梯形， 111A AAC，131AAAC, 1A AAB,则BAC为二面角11CAAB的平面角， BAC 3；111,ABCABC 均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA ，则11112,ABA
20、C4ACAC,故点10,0,1A， 0,4,0 ,C 12 3,2,0 ,3,1,1BB；20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为6 3，且过点0, 2.14（1）求C的方程；（2）若动点P在直线:2 2l x 上，过P作直线交椭圆C于,M N两点，使得PMPN，再过P作直线lMN ，证明：直线l恒过定点，并求出该定点的坐标.【答案】 （1）22 1124xy（2）4 2,03试题解析：（1）由题意知2b ，又椭圆的离心率为6 3，所以22222262 33cab aa，所以212a ，所以椭圆C的方程为22 1124xy.（2）因为直线l的方程为2 2
21、x ，设002 3 2 32 2,33Pyy ，当00y 时，设1122,M x yN xy，显然12xx，由22 1122 221124 1124xyxy可得2222 21210124xxyy，即121212121 3yyxx xxyy ,又PMPN，所以P为线段MN的中点，15故直线MN的斜率为0012 22 2 33yy，点睛：圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意21已知函数 1lnxf xx
22、（1）若0a 且函数 f x在区间1,2a a上存在极值，求实数a的取值范围；（2）如果当1x 时，不等式 1kf xx恒成立，求实数k的取值范围.【答案】 （1）112a（2）k2【解析】试题分析： 1求导数，确定函数 f x在x1处取得极大值，根据函数在区间1,2a a上存在极值，可得出实数a的取值范围； 2不等式 1kf xx，即1 1kxlnxx，令 1 1gxlnxxx，利用导数研究其单调性极16值与最值即可得出实数k的取值范围。解析：（1）因为， x 0，则， 当时，；当时，.所以 f x在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值. 因为函数在区间（其中）上存在极
23、值，所以 解得. （二）选考题（共（二）选考题（共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答题中任选一题作答. .如果多做，则按所做的第一题计分）如果多做，则按所做的第一题计分）22已知在平面直角坐标系xoy中， O为坐标原点，曲线C： 3 3xcossinysincos（为参数） ，在以平面直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴，有相同单位长度的极坐标系中，直线l： sin16.()求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；()求与直线l平行且与曲线C相切的直线的直角坐标方程。【答案】 （1）曲线C的普通方程：x2y24，直线l的直角坐标方程x3y
24、20；（2）340xy.【解析】试题分析：()曲线 C： 3 3xcossinysincos，对, x y分别平方后相加即可：曲线C的普通方17程 ；由 xcos ysin 直线l的直角坐标方程()设所求直线方程为： 30xym 由圆心C到直线l的距离即可求出m试题解析：()曲线 C： 3 3xcossinysincos，平方可得： 2222223cos2 3sin 3sin2 3cosxcos sinycos sin：曲线C的普通方程：x2y24. 直线l： sin16， 31sincos122，由 xcos ysin 得直线l的直角坐标方程： x3y20. 23已知 223f xxaxa
25、.（1）证明： 2f x ；（2）若332f，求实数a的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 1,0.【解析】试题分析：(1)利用基本不等式求出 f x的最小值为223aa，再利用二次函数配方法可证得结论；（2）分两种情况讨论，分别解关于a的不等式组，结合一元二次不等式的解法求解不等式组，然后求并集即可得结果.18试题解析：（1）证明：因为 222323f xxaxaxaxa 而2222323122xaxaaaa ，所以 2f x .（2）因为222323,33342 32222 ,4aaa faa aa a ，所以23 4 233aaa 或23 4 23aaa ，解得10a ，所以a的取值范围是1,0.