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1、1.1.图乘法原理图乘法原理建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况下不方便。下不方便。梁、梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式：称莫尔积分称莫尔积分 图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图图形积分形积分变为变为图形相乘图形相乘。4-4 4-4 图乘法图乘法2 2、图乘法的适用条件：、图乘法的适用条件：（1 1）杆件轴线是直线；）杆件轴线是直线；（2 2）杆段的弯曲刚度）杆段的弯曲刚度EIEI为常数；为常数；（3 3）图）图 图图 中至少有一个是直线中至少有一个是直线图形。图形。3 3、
2、图乘法公式、图乘法公式杆轴为直线杆段EI为常数图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。xcxycxyCABMpdx4 4、注意事项注意事项（1 1）必须符合图乘法的适用条件；）必须符合图乘法的适用条件；（3 3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；）同侧弯矩图相乘为正，反之为负；必须取自直线图形；必须取自直线图形；（2）还记得还记得吗？吗？（4 4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解；分的方式求解；（5 5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置位置。b
3、几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形三角形CClh顶点顶点二次抛物线二次抛物线lh顶点顶点cN 次抛物线次抛物线lh顶点顶点c二次抛物线二次抛物线3 3l l/4/4l l/4/43.图形相乘的几种情况图形相乘的几种情况（1）常见图形面积和形心：）常见图形面积和形心：矩矩 形形三角形三角形标准二次标准二次抛物线抛物线（2）梯形相乘梯形相乘ABCDabcd图图图图b c取负值取负值（3）一般形式的二次抛物线图形相乘一般形式的二次抛物线图形相乘（4）曲线图形与折线图形相乘曲线图形与折线图
4、形相乘（5）阶形杆件图形相乘阶形杆件图形相乘M(x)xlxxcC对于等直杆有对于等直杆有对于等直杆有对于等直杆有即即即即 积分可用积分可用积分可用积分可用MM(x x)图的面积图的面积图的面积图的面积 和与和与和与和与MM(x x)图形心图形心图形心图形心C C对应的对应的对应的对应的 的乘积来代替的乘积来代替的乘积来代替的乘积来代替MMc c当当当当MM图为正弯矩时，图为正弯矩时，图为正弯矩时，图为正弯矩时，应代以正号应代以正号应代以正号应代以正号.当当当当MM图为负弯矩时，图为负弯矩时，图为负弯矩时，图为负弯矩时，应代以负号应代以负号应代以负号应代以负号.也应按弯矩符号给以正负号也应按弯矩
5、符号给以正负号也应按弯矩符号给以正负号也应按弯矩符号给以正负号.MMc cb几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式alh三角形三角形CClh顶点顶点二次抛物线二次抛物线lh顶点顶点cN 次抛物线次抛物线lh顶点顶点c二次抛物线二次抛物线3 3l l/4/4l l/4/4注意注意注意注意折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时有时有时有时
6、MM(x x)图为连续光滑曲线，而图为连续光滑曲线，而图为连续光滑曲线，而图为连续光滑曲线，而为折线，则应以为折线，则应以为折线，则应以为折线，则应以MM(x x)然后求其和然后求其和然后求其和然后求其和.例1 求 ,EI等于常数。解：作 图 图，如右图所示。分段：，分为AC、CB两段。分块：图的AC段分为两块。ACB2m2m2kN/m16A4CBA1CB21MP2y2y1 如果将AC段的 图如下图那样分块，就比较麻烦。16A4C84图例2 求 ,EI等于常数。作 图 图，如下页图所示。4kN5kN2kN/m12kN.m4kN.m7kN4m4mACB解：4kN.m4kN2kN/m2mAC1/2
7、1y12y381244MP图13y2图1ACBBAC（kN.m)例3 求 ,EI等于常数。解：作 图及 图，如右所示。分段：，分为AB、BC两段。分块：图的BC段分为两块。6kN/m7kN6kN.m17kN2m4mABC1/61/62/31/312y3y1图图1412613（kN.m)1/61/62/31/312y3y1图图1412613（kN.m)例5-5 求CH，EI等于常数。解：ABC2kN/mEIEI2kN/m4m2m作MP图和 图见下页图。分块：MP图的AB段分为两块。42y3=4121MP图(kN.m)2m2y22y1图13ABC4作业作业：4-3(a)4-3(a)；(c)(c)4
8、-5 4-5 互等定理互等定理 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的是小变形，且杆件材料服从虎克定律。一、功的互等定理功的互等本质上是虚功互等。下图给出状态I和状态II。状态IIAB12abAB12ab状态I令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到：状态IIAB12abAB12ab状态I 同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：所以即 在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。二、位移互等定理 在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的与荷载FP2相应的位移影响系数21等于由荷载FP2引
9、起的与荷载FP1相应的位移影响系数12。即 12=21由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移ij与力FPj的比值是一个常数，记作ij，即：或状态II12状态I121212说明：1）ij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。I 产生位移的方位；j 产生位移的原因。2）FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的12和21就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值和量纲 上仍然保持相等。例1 验证位移互等定理。解：a/2a/21EIFP1=F212a/2a/21EIFP2=M122FFa/4M11a/4
10、1/2M/2例2 验证位移互等定理。4m1m1EIFP1=5kN.m2124m1m1EIFP2=3kN212解：153111三、反力互等定理三、反力互等定理 反力互等定理只适用于超静定结构，因为静定结构在支座移动时只产生刚体位移，其内力和支座反力均等于零。12C1FR21FR11状态I12C2FR22FR12状态II根据功的互等定理有：在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一常数，记作rij，即或所以得说明：rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的力。其量纲为 。i 产生支座反力的方位；j 产生支座移动的支座。例6-3 验证反力互等定理。可见：r12=r21在任一线性变形体系中，
11、位移C1引起的与位移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引起的与位移C1相应的反力影响系数r12。12EI lC2=112EI lC1=1r21r12r21=3EI/l23EI/l3EI/l3r12=3EI/l2四、位移反力互等定理根据功的互等定理有：令状态I1FP12FR21状态II1122C2 上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、支座反力应与支座种类相应。位移反力互等定理在混合法中得到应用。上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。符号相反表明：虚功方程中必有一项，其力和位移方向相反。系数 、的量纲都是 。在任一线性变形体系中，由位移C2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数 在绝对值上等于由荷载FP1引起的与位移C2相应的反力影响系数 ，但二者符号相反。例4 验证位移反力互等定理。FP1C2a/2a/21221