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1、第四讲第四讲 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影 两点确定一条直线，将两点的同名投两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的投影。影用直线连接，就得到直线的投影。abXoabZYHbaYWbbbaaaoXZYHWVAB：直线与直线与H面的倾角面的倾角：直线与直线与V面的倾角面的倾角：直线与直线与W面的倾角面的倾角1.投影面平行线投影面平行线 只平行于某一投影面而只平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜2.投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于侧平线（平行于 面）面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正
2、垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于侧垂线（垂直于 面）面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）3.一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线 垂直于某一投垂直于某一投 影面影面直线的分类直线的分类 三类七种线三类七种线投影面平行线投影面平行线水平线水平线正平线正平线侧平线侧平线水平线的投影水平线的投影b a aba b b aa b ba 水平线水平线侧平线侧平线正平线正平线 实长实长实长实长实长实长ba aa b b 与与H面的夹角面的夹角:与与V面的夹角面的夹角:与与W面的夹角面的夹角:=0=0=0投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性1.1.在其平行的那个
3、投影面上的在其平行的那个投影面上的投影投影反映实长反映实长，并反映直线与，并反映直线与另两个投影面倾角的另两个投影面倾角的实大实大。2.2.另两个投影面上的投影平行另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，并且投影长于相应的投影轴，并且投影长度缩短。度缩短。投影面垂直线投影面垂直线铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线铅垂线的投影铅垂线的投影c(d)cdd c a b a(b)a b e f efe(f)铅垂线铅垂线 正垂线正垂线 侧垂线侧垂线 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性1.在所垂直的投影面上的投影在所垂直的投影面上的投影积聚成一点积聚成一点；2.另外两个投影分别垂直于相另外两个
4、投影分别垂直于相应的投影轴，且应的投影轴，且反映实长反映实长。一般位置直线一般位置直线 VWYABbabaabH投影特性：投影特性：投影特性：投影特性：（1 1）三个投影与投影轴都倾斜，且都是缩短的直线；）三个投影与投影轴都倾斜，且都是缩短的直线；）三个投影与投影轴都倾斜，且都是缩短的直线；）三个投影与投影轴都倾斜，且都是缩短的直线；（2 2）三个投影与投影轴的夹角，均不能反映）三个投影与投影轴的夹角，均不能反映）三个投影与投影轴的夹角，均不能反映）三个投影与投影轴的夹角，均不能反映、和和和和 的实际大小。的实际大小。的实际大小。的实际大小。ababab|zA-zB|ABABbbaaCXO一般
5、位置直线求实长及其对投影面的倾角一般位置直线求实长及其对投影面的倾角一般位置直线求实长及其对投影面的倾角一般位置直线求实长及其对投影面的倾角直角三角形法直角三角形法直角三角形法直角三角形法|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|zA-zB|ABXaabb|zA-zB|ABXaabb|zA-zB|ABXaabbABbbaaCXO求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角角角|YA-YB|aXabbABab|YA-YB|AB|YA-YB|XZYO求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影
6、面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角角角角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|直角三角形法总结直角三角形法总结（1 1）求线段实长，可以从任何一个投影作图；）求线段实长，可以从任何一个投影作图；（2 2）求）求角，则用角，则用水平投影水平投影和和z z坐标差坐标差为直角边作图；为直角边作图；（3 3）求）求角，则用角，则用正面投影正面投影和和Y Y坐标差坐标差为直角边作图；为直角边作图；（4 4）求）求角，则用角，则用侧面投影侧面投影和和X X坐标差坐标差为直角边作图。为直角边作图。例：判断图中各直线的空间位置例：判断图中
7、各直线的空间位置习习 题题AB是是 正平线正平线 ；CD是是 侧平线侧平线 ；EF是是 铅垂线铅垂线 ；GH是是 水平线水平线 ；KL是是 正垂线正垂线 ；MN是是 侧垂线侧垂线 ；ST是是 一般位置线一般位置线 。直线上的点直线上的点 若若点点在在直直线线上上，则则点点的的各各个个投投影影必必在在该该直直线线的的同面投影上。同面投影上。反反之之，若若点点的的各各个个投投影影从从属属于于直直线线的的同同面面投投影影，则则该点必定从属于此直线。该点必定从属于此直线。从从属属于于直直线线的的点点分分割割线线段段的的长长度度之之比比等等于于其其投投影影分割线段投影长度之比。即直线上点的定比性。分割线
8、段投影长度之比。即直线上点的定比性。即即 ac:cb=ac:cb=ac:cb=k判别方法判别方法：ABCVHbcc b a a（1 1）点的投影在直线的同名投影上）点的投影在直线的同名投影上）点的投影在直线的同名投影上）点的投影在直线的同名投影上（2 2）点将线段分割成定比点将线段分割成定比点将线段分割成定比点将线段分割成定比定比定理定比定理定比定理定比定理 ac/cb=ac/cb=AC/CBac/cb=ac/cb=AC/CB 例题：判断点例题：判断点K K是否在线段是否在线段ABAB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上，故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理ab
9、ka b k 另一判断法另一判断法?例题例题 已知点已知点C C 在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C 的正面投影的正面投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHV两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置有三种情况空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉平行、相交、交叉空间两直线平行，则它空间两直线平行，则它们的同面投影必相互平们的同面投影必相互平行。反之亦然行。反之亦然。1.1.两直线平行两直线平行abcdc a b d 例例1 1：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。对于对于一般位置直线一般位置直线，只要，只要有两个同面投影互相平行，有
10、两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。空间两直线就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置直线特殊位置直线，只有两个，只有两个同名投影互相平行，空间直线同名投影互相平行，空间直线不一定平行。不一定平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：AB与与CD不平行。不平行。例例2 2：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何如何 判判 断？断？HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 两直线相交两直线相交 判别方法：判别方法：若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且则其同名
11、投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点cabb a c d k kd例：过例：过C C点作水平线点作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影d b a abcdc1(2 )3(4)两直线交叉两直线交叉投影特性投影特性：同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空间一个不符合空间一个点的投影规律。点的投影规律。“交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。助判断两直线的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点
12、，、是是H面的重影点。面的重影点。为什么？为什么？123 4 两直线相交吗？两直线相交吗？例题：判断两直线的相对位置例题：判断两直线的相对位置baacddcbX11d1c1交叉交叉直线在直线在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直 即即 abc为直角为直角设设 直角边直角边BC/H面面因为因为 BCAB,同时同时BCBb所以所以 BCABba平面平面 因此因此 bcab 故故 bc ABba平面平面ABCabcHa c b abc.4.4.两直线垂直（相交或交叉）两直线垂直（相交或交叉）直角投影定理：若直角有一边平行于某一投直角投影定理：若直角有一边平行于某一投影面，则它在该投影面上的投影仍为
13、直角。影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。又因为又因为 BCbcd abca b c d例：过例：过C C点作直线与点作直线与ABAB垂直相交。垂直相交。.ABAB为正平线为正平线,正面正面投影反映直角。投影反映直角。eeeecc例例 已知直线已知直线ABAB的两面投影和的两面投影和C C点的水平投影点的水平投影,试过试过C C点作点作一条直线一条直线CECE垂直于垂直于AB,AB,求直线求直线CECE的两面投影。的两面投影。cbabaOX两直线交叉两直线交叉f例题：过点例题：过点E E 作线段作线段ABAB、CD CD 的公垂线的公垂线EFEF。fOcbaabXcddee例：求点例：求点A
14、 A到正平线到正平线BCBC的距离的距离ADAD及其投影及其投影小小 结结 点与直线的投影特性，尤其是点与直线的投影特性，尤其是特殊位置特殊位置 直线的投影特性直线的投影特性。点与直线及两直线的相对位置的判断方点与直线及两直线的相对位置的判断方 法及投影特性。法及投影特性。定比定理。定比定理。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点重点 掌握：掌握：一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性 一般位置直线一般位置直线 三个投影与各投影轴都倾斜。三个投影与各投影轴都倾斜。投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上
15、的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。应的投影轴。投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。二、直线上的二、直线上的 点点 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。点分线段成定比，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比成定比定比定理。定比定理。三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置 平行平行 相交相交 交叉（异面）交叉（异面）同名投影互相平行
16、。同名投影互相平行。同名投影相交，交点是两直线的共有点，同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律。且符合空间一个点的投影规律。同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律。间一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上一是两直线上一对重影点的投影。对重影点的投影。四、相互垂直的两直线的投影四、相互垂直的两直线的投影 特性特性 两直线同时平行于某一投影面时，在该两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。投影面上的投影反映直角。两直线中有一条平行于某一投影面时，两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。在该投影面上的投影反映直角。两直线均为一般位置直线时，两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不在三个投影面上的投影都不 反映直角。反映直角。直角定理直角定理