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1、3 湍流流动模型围绕湍流输运通量（）的湍流流动模化的方法:l一类是引入湍流输运系数的概念 如何给出该输运系数。l一类是直接寻找该通量的代数表达式或其封闭的输运方程。一、一、湍流粘性系数模型湍流粘性系数模型1.湍流粘性概念湍流粘性概念 针对二维边界层问题，Boussinesq在1877年首先引入了湍流粘性的概念。对非边界层类型的流动，可采用如下形式的模拟表达式来表示雷诺应力：（35）式中k称为湍流功能，t称为湍流粘性系数。按照类似的方法 可用下式表示:（36）式中 称为热量或质量的湍流扩散系数。与 的关系是：式中 称为湍流普朗特数Pr或施密特数Sc，其值由实验确定，一般取常数(37)l引入湍流粘
2、性系数 后，决定其数值成为求解湍流运动的关键;l最简单的方法是 看作常数，其值由实验确定或经验公式得出;l另一方面，湍流粘性体现的是湍流涡团对平均流的输运作用，因此应该把湍流粘性系数与那些对湍流输运过程有重要影响的量关联起来;l分子输运过程中，起主要影响的是分子热运动的均方根速度和平均自由程;类比湍流输运过程，起关键作用的是否为湍流涡团脉动动能k和湍流的长度尺度l？这正是目前湍流粘性系数模型的基本观点;l根据量纲分析，湍流粘性系数的最简单的形式如下:（38）式中 为比例常数；为流体密度，kg/m3；k的单位为m2/s2；l的单位为m。l为了确定 ，需要求解k及l ;l根据需要求解的微分方程的个
3、数把湍流粘性系数模型又分为零方程模型、单方程模型和双方程模型l应用广泛的是零方程模型中的混合长度模型、单方程模型中的k方程模型和双方程模型中的 模型。2.混合长度模型混合长度模型 混合长度模型由Prandtl在1925年针对湍流边界层问题首先提出。其模型通过湍流扩散过程和分子扩散过程的比较，应用了类似于气体分子动力论中分子自由程的概念，引入了一个新参数lm，称为混合长度。其物理意义是，脉动微团这段在经历距离内保持不变的脉动速度。也就是说，混合长度是度量湍流微团大小的尺度。（39）雷诺应力则可表示为:(40)式中u表示均流主流方向（x向）的速度，y是与主流方向垂直的空间坐标。通常lm由假设、简单
4、的分析和归纳实验数据得到。一些常用的lm值(圆管内流动、平板边界层流动、自由湍流射流)的计算方法见参考文献。l混合长度模型在边界层和射流一类的二维抛物型流动中获得很大成功;l模型有较大的局限性:(1)认为湍流粘性系数仅是流场当地性质的函数，湍流脉动速度与当地均流速度梯度成正比 (2)实际上，体现湍流脉动的湍流粘性系数是流动状态的函数，而流动状态要受到对流和扩散过程的影响，均流速度为零的点可能不产生湍流脉动，但绝不意味着该点的湍流脉动速度为零，因为还有对流和扩散的影响 (3)在许多流动中给出混合长度的计算公式相当困难 (4)针对混合长度模型的局限性，为首先解决湍流粘性系数随均流速度梯度而趋于零的
5、问题，Kolmogrov、Prandtl提出了单方程模型3.单方程模型单方程模型 与零方程模型不同的是，k是由其微分方程确定，但湍流长度尺度l仍然依照混合长度公式，由代数式给出，故而称为单方程模型。对不可压缩各向同性湍流的湍流动能k满足的方程为：（41）对二维不可压缩边界层类型的流动，上式可进一步简化为 （42）以上两式中，表示湍流脉动动能扩散的有效普朗特数，在边界层中常取k=0.91.0。在近壁面处，对流和扩散的湍流动能k互相平衡。上式变为 （43）代入湍流应力表达式，有 根据上面这些关系式得到不包含湍流动能k的雷诺应力表达式：（44）从上式可知，单方程模型与混合长度理论是等价的，后者是前者
6、的一个特例。这里lm为:（45）l在混合长度模型中，忽略了对流和扩散作用对湍流量的影响;l单方程模型抛开了前述近壁处对流和扩散的湍动动能相互平衡的假设，故而前进了一步。但是模型中仍需用代数式给出湍流长度尺度l，这与混合长度模型无异。所以单方程模型的应用范围仍然与混合长度模型相同;l克服这一局限性的途径就是设法直接或间接地建立求解l的微分方程，这就是湍流粘性系数的双方程模型;4.双方程模型双方程模型 双方程模型中，应用最广泛的是k （湍流动能耗散率）模型。（46）式中 的定义为:m2/s2 (47)的物理概念是粘性项所引起的湍动能的耗散速率。k和 的输运方程可通过瞬态量的N-S方程推导而得。经过
7、雷诺分解与平均及模化后的各向同性不可压缩湍流的k和输运方程为：（48）（49）式中C1和C2是两个常数；是脉动动能耗散率 的普朗特数。表表2 k 方程中各常数的值方程中各常数的值双方程模型特点：l形式简单、计算量不太大；l能较好地反映大多数工程实际的湍流运动；l基于Boussinesq的湍流应力公式以及认为湍流输运可以用湍流动能和长度尺度这两个标量来表征，无法体现出湍流输运的各相异性；l直接建立以雷诺应力为因变量的微分方程并通过模化使之封闭 雷诺应力方程模型；符号 CD C1 C2 数值0.09 1.0 1.44 1.92 1.0 1.3 二、雷诺应力方程模型二、雷诺应力方程模型l雷诺应力模型
8、（Reynolds Stress Model，RSM）直接推导的输运方程，通过求解该输运方程来封闭湍流运动微分方程组。l雷诺应力的方程可以是微分方程（DSM:Differential Stress Model）,或者是其简化形式 代数方程。（ASM：Algebraic Stress Model）l雷诺应力模型通过建立和模拟雷诺应力 二阶关联量的方程求得均流问题的封闭，故又称为二阶矩封闭模型。（Second Moment Closure）1.雷诺应力的微分方程模型（雷诺应力的微分方程模型（DSM）忽略分子输运，封闭形式的雷诺应力（通量）输运方程为：（50）（51）(52)式中 在上述方程组中，k
9、方程不是一个独立方程，因为k是三个正应力分量之和除以2。表表3 Reynolds 应力输运方程模型中的经验常数应力输运方程模型中的经验常数l在一般的三维流动中，均流的控制方程仅有四个。lk-模型，增加k和的两个控制方程。l按照RSM，增加了七个更为复杂的方程，且模型中常数更多。l在需考虑旋流效应、浮力效应、曲率效应、近壁效应等的情况下能给出优于k-模型的结果，但该模型在工程实际中仍未得到广泛应用。l模型中的k和 方程，特别是二方程中的源项的模拟，采用和k-模型中同样的方法得到，故该模型的精度并不总是高于其它模型。0.24 2.2 0.55 0.55 1.44 1.92 0.8 2.雷诺应力的代
10、数方程模型（雷诺应力的代数方程模型（ASM）lk-方程及DSM模型的一个折衰方案；l包含应力和通量的代数表达式及带有各向异性扩散项的k方程和方程；l主要思路：将应力或通量的输运方程简化为代数表达式，同时仍保留各向异性湍流的基本特征；模化后的ASM模型方程组为：（53）（54）（55）lASM反映了与浮力及旋流效应有关的多向异性端流的基本特征，同时与DSM模型相比大大削减了方程数目，也无需分别给出各应力及通量分量的入口及边界条件，因此该模型拓宽了k-模型的适用范围；l仅适用于不很偏离局部平衡条件的流动过程；无法计算出反梯度扩散效应，同时在三维计算中的收敛性方面常常有相当大的困难；三、湍流的其他模型三、湍流的其他模型l湍流的直接模化（DNS）：在Kolmogrov尺度的网格中求解瞬态N-S方程而不使用任何湍流模型，这是湍流研究的根本方法。l大涡模拟（LES）：在大涡尺度的网格系内求解N-S方程，对小尺度湍流仍需模拟。l两者都需要相当大的计算机容量和CPU时间，距实际应用还有较大距离。l研究和改进湍流模拟的直接目标是提高湍流过程的计算准确性。l求解方程的数值方法和定解条件同样是影响计算准确性的重要因素。