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1、November,20043.4(2)曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点Concavity and Points of InflectionNovember,2004一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点观察：曲线的弯曲方式观察：曲线的弯曲方式曲线弧：上凹曲线弧：上凹曲线弧：上凸曲线弧：上凸弦弦在在弧弧上方上方弦弦在在弧弧下方下方November,2004凹弧的定义：凹弧的定义：November,2004凸弧的定义：凸弧的定义：November,2004如何判断曲线的凹凸？如何判断曲线的凹凸？设曲线弧设曲线弧上凹上凹单增单增Concave upward下凸下凸November,2004
2、设曲线弧设曲线弧上凸上凸单减单减Concave downward下凹下凹November,2004反之，能否由二阶导数的符号来判断曲线反之，能否由二阶导数的符号来判断曲线的凹凸？的凹凸？答案是肯定的答案是肯定的定理定理 2(曲线凹凸性的判定定理曲线凹凸性的判定定理）设函数设函数 f(x)在在 a,b 上连续，在上连续，在(a,b)内二阶内二阶可导，那么可导，那么(1)若在若在(a,b)内内 f(x)0，则曲线则曲线 y=f(x)在在a,b上是上是凹的凹的(2)若在若在(a,b)内内 f(x)0，则曲线则曲线 y=f(x)在在a,b上是上是凸的凸的November,2004证证November,
3、2004设设将函数在将函数在(a,b)内展开为一阶内展开为一阶 Taylor 公式：公式：November,2004November,2004正的正的不等式成立不等式成立November,2004推论：推论：可以推广到可以推广到 n 个数的情形个数的情形November,2004拐点拐点inflection point拐点拐点(x0,f(x0):f(x0)在点在点 x0 两侧异号两侧异号November,2004拐点拐点inflection point可能出现拐点的点可能出现拐点的点 x0:f(x0)=0 或或 f(x0)不存在不存在November,2004求曲线凹凸区间及拐点的步骤：求曲线
4、凹凸区间及拐点的步骤：p.149November,2004例例 9 求下列曲线的凹凸区间和拐点求下列曲线的凹凸区间和拐点解解November,2004求下列曲线的凹凸区间和拐点求下列曲线的凹凸区间和拐点凸区间：凸区间：凹区间：凹区间：拐点：拐点：November,2004with(plots):A:=plot(2*x3+3*x2-12*x+14,x=-4.3):display(A,scaling=unconstrained,thickness=3);证明：三次曲线恰有一个拐点证明：三次曲线恰有一个拐点且三次曲线关于其拐点对称且三次曲线关于其拐点对称November,2004例例 10 求下列曲线的凹凸区间和拐点求下列曲线的凹凸区间和拐点解解November,2004求下列曲线的凹凸区间和拐点求下列曲线的凹凸区间和拐点拐点：拐点：November,2004with(plots):A:=plot(3*x4-4*x3+1,x=-0.5.1.3):display(A,scaling=unconstrained,thickness=3);