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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、一、曲线的凹凸性与拐点曲线的凹凸性与拐点机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线曲线的凹凸性与拐点 第三三章 函数作图三、函数作图三、函数作图机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题问题:如何研究曲线的弯曲方向?一、曲线的凹凸性与拐点一、曲线的凹凸性与拐点如图所示曲线弧,在区间(a,b)内虽然一直上升,但却有不同的弯曲状况.弧是向上凹的,曲线在切线的上方,弧是向上凸的,曲线在切线的下方,而B是弯曲状况的分界点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 在区间(a,b)内,连续曲线如果曲线弧位于其任意一点切线的上方,
2、则称曲线弧在(a,b)内是凹的凹的(或凹弧凹弧),此区间(a,b)称为凹区间凹区间;如果曲线弧位于其任意一点切线的下方,则称曲线弧此区间(a,b)称为凸区间凸区间;在(a,b)内是凸的凸的(或凸弧凸弧),定义定义2y=f(x)上凹弧与凸弧的分界点,称为曲线y=f(x)的拐点拐点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2.(曲线凹凸性的判定定理)(1)若在(a,b)内则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的;(2)若在(a,b)内设函数在区间(a,b)内有二阶导数,那么一阶导数判单调二阶导数定凸凹若定理定理 设函数则 在(a,b)内单调递增(递减).在开区间(a,b)内可导,回顾前面所学回顾
3、前面所学即即则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.判定曲线的凹凸性.解解:故曲线在内是凸的.例例2.判定曲线在(0,2)内的凹凸性.解解:令得当时，曲线是凸的；当时，曲线是凹的.点是曲线的一个拐点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.判断曲线的凹凸性.解解:故曲线在上是向上凹的.说明说明:1)若在某点二阶导数为 0,2)根据拐点的定义及上述定理,可得求拐点的步骤如下:则曲线的凹凸性不变.在其两侧二阶导数不变号,机动 目录 上页 下页 返回 结束 求拐点的步骤如下:(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求出使的点和不存在的点;(3)对于(
4、2)中求出的每个点x0,考察在点x0左、右两侧邻近的符号,如果两侧的符号相反,则点是拐点;如果两侧的符号相同,则点不是拐点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求曲线的凹、凸区间与拐点.解解 定义域：不存在因此,曲线的拐点：凹区间:凹凸令得x=3,不存在的点为x=2,2凸304凹区间:凸区间:列表机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.可导函数单调性判别在 I 上单调递增在 I 上单调递减2.曲线凹凸与拐点的判别+拐点 连续曲线上的凹凸分界点机动 目录 上页 下页 返回 结束 .1.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:及及作业作业P128：第一题 ;思考与练习思考与练
5、习机动 目录 上页 下页 返回 结束 无渐近线.点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0,二、曲线的渐近线曲线的渐近线定义定义3 若曲线 y=f(x)上的动点M 沿着曲线无限远离坐标原点时,则称直线 L 为曲线y=f(x)的渐近线渐近线.例如,双曲线有渐近线但抛物线渐近线分为水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线三种.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义4(1)若则称直线y=b为曲线y=f(x)的一条水平渐近线水平渐近线.(2)若则称直线 x=x0为曲线y=f(x)的一条铅直渐近线铅直渐近线.(3)若则称直线 y=ax+b为曲线y=f(x)的一条斜渐近线斜渐近线.并由此可推得机动 目录 上页
6、下页 返回 结束 例例5.求曲线的渐近线.解解:为水平渐近线;为铅直渐近线.该曲线无斜渐近线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.求曲线的渐近线.解解:所以该曲线有铅直渐近线又因为曲线的斜渐近线.所以该曲线没有水平渐近线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 一阶导数判单调二阶导数定凸凹三、函数作图三、函数作图步骤步骤:1.确定函数的定义域,期性等特性;2.求并求出及3.列表判别单调及凹凸区间,求出极值和拐点;4.求渐近线;5.补充函数图形上的若干特殊点为 0 和不存在的点;并考察其奇偶性、周找出f(x)的间断点,6.综合上述分析,描绘出函数的图形.(如与坐标轴的交点等);机动 目录 上
7、页 下页 返回 结束 例例7.作函数的图形.解解:1)定义域为函数无周期性,2)3)列表(拐点）(极小)4)曲线无渐近线为奇函数,故只需作出区间0,+)上的图形.得得它的图形关于原点对称,所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 6)作图5)特殊点:曲线与坐标轴的交点为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8.作函数的图形.解解:1)定义域为2)又x=3为f(x)的间断点.定义域内无不存在的点和不存在的点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 3)判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)无无定定义义机动 目录 上页 下页 返回 结束 5)求特殊点:为铅直渐近线为水平渐近线无斜渐近线4)求渐近线曲线与
8、坐标轴的交点为机动 目录 上页 下页 返回 结束 6）作图机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.作函数的图形.解解:1)定义域为图形对称于 y 轴.2)求关键点3)判别曲线形态(极大极大)(拐点拐点)机动 目录 上页 下页 返回 结束(极大极大)(拐点拐点)为水平渐近线5)作图4)求渐近线机动 目录 上页 下页 返回 结束 水平渐近线;铅直渐近线;内容小结内容小结1.曲线渐近线的求法斜渐近线按作图步骤进行.2.函数作图机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 1.曲线(A)没有渐近线；(B)仅有水平渐近线；(C)仅有铅直渐近线；(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线.提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 拐点为 ,凸区间是 ,2.曲线的凹区间是 ,提示提示:及渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 P128：第3题作业作业