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1、13-1 引言引言 宏观物体具有微观结构，是由大量的微观粒宏观物体具有微观结构，是由大量的微观粒子（分子、原子等）所组成的。而这些微观粒子在子（分子、原子等）所组成的。而这些微观粒子在不停地作无规则的运动不停地作无规则的运动-热运动热运动热运动热运动。宏观物体的物理特征正是建立在微观粒子热运宏观物体的物理特征正是建立在微观粒子热运动的基础上的。动的基础上的。第十三章第十三章统计物理的基本概念统计物理的基本概念缺点：缺点：由于热力学理论由于热力学理论不涉及物质的微观结构不涉及物质的微观结构不涉及物质的微观结构不涉及物质的微观结构和粒和粒子的子的运动运动运动运动，把物质看成是连续的，因此不能解释，
2、把物质看成是连续的，因此不能解释宏宏观性质的涨落观性质的涨落。热力学热力学是研究物质热运动的是研究物质热运动的宏观理论宏观理论，它以热力，它以热力学实验定律为基础，应用数学方法，通过逻辑推理和学实验定律为基础，应用数学方法，通过逻辑推理和演绎，得出有关物质各种宏观性质之间的关系，以及演绎，得出有关物质各种宏观性质之间的关系，以及宏观物理过程进行的方向和限度等方面的结论。宏观物理过程进行的方向和限度等方面的结论。优点：优点：具有很高的具有很高的可靠性和普遍性可靠性和普遍性；缺点：缺点：由于对物质微观结构所做的往往只是简化的由于对物质微观结构所做的往往只是简化的模型模型假设假设假设假设，因而所得到
3、的理论，因而所得到的理论结果往往只是近似的结果往往只是近似的。统计物理学统计物理学是研究物质热运动的是研究物质热运动的微观理论微观理论，它从，它从“宏观物质系统是由大量微观粒子组成的宏观物质系统是由大量微观粒子组成的”这一基本这一基本事实出发。认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动事实出发。认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动的集体表现，根据微观粒子的行为来解释物质的宏观的集体表现，根据微观粒子的行为来解释物质的宏观性质，认为宏观量是微观量的统计平均值。性质，认为宏观量是微观量的统计平均值。优点：优点：它可以把热力学的几个基本定律归结于一个它可以把热力学的几个基本定律归结于一个基本的统计原理，阐
4、明了基本的统计原理，阐明了热力学定律的统计意义热力学定律的统计意义；p 热力学对热现象给出热力学对热现象给出普遍而可靠普遍而可靠的结果，可以用的结果，可以用来来验证微观理论的正确性验证微观理论的正确性；p 统计物理学则可以深入统计物理学则可以深入热现象的本质热现象的本质，使热力学，使热力学的理论的理论获得更深刻的意义获得更深刻的意义，二者相辅相成。，二者相辅相成。二者的联系：二者的联系：13-2 相空间相空间粒子粒子是指组成物质系统的基本单元。是指组成物质系统的基本单元。粒子的运动状态粒子的运动状态是指它的力学运动状态。是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运如果粒子遵从
5、经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为动状态的描述称为经典描述。经典描述。如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为动状态的描述称为量子描述量子描述，称为量子态。，称为量子态。自由度为自由度为r 的一个微观粒子的微观运动状态由的一个微观粒子的微观运动状态由2r 个广义坐标和广义动量确定。个广义坐标和广义动量确定。广义坐标广义坐标:广义动量：广义动量：一、一、粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述 空间中任何一空间中任何一点点点点代表力学体系中一个粒子的代表力学体系中一个粒子的一个运动状态一个运动状态一个运动状态一个运动状态，这个
6、点称为，这个点称为代表点代表点代表点代表点。当粒子运动状。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在态随时间改变时，代表点相应地在空间中移动，空间中移动，描画出一条轨迹。描画出一条轨迹。由此由此2r 个直角坐标构成的个直角坐标构成的2 2r r 维空间维空间维空间维空间称为称为空间。空间。空间：空间：微观粒子具有波粒二象性微观粒子具有波粒二象性 根据不确定关系，微观粒子根据不确定关系，微观粒子不可能同时有确不可能同时有确定的动量和坐标定的动量和坐标，说明微观粒子的运动不是轨道，说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的运动状态运动。微观粒子的运动状态不是用坐标和动量不是用坐标和动量来来描述的。
7、描述的。二、二、粒子运动状态的量子典描述粒子运动状态的量子典描述 根据不确定关系，微观粒子在某一方向上位根据不确定关系，微观粒子在某一方向上位置的不确定度与动量不确定度的乘积在数量级上置的不确定度与动量不确定度的乘积在数量级上最小等于普朗克常量最小等于普朗克常量。因此，一个自由度为因此，一个自由度为3的微观粒子在相空间的位的微观粒子在相空间的位置置只能确定在大小为只能确定在大小为h3的空间内的空间内，称为一个，称为一个相格相格相格相格。每一个相格对应微观粒子的每一个相格对应微观粒子的一个量子态一个量子态一个量子态一个量子态。自由度为自由度为3的微观粒子需要的微观粒子需要6维相空间描述。维相空间
8、描述。相空间体积元相空间体积元相空间体积元中的相空间体积元中的状态数状态数状态数状态数（相格数相格数）为）为相空间体积元中的能量认为是相同的，故体积元相空间体积元中的能量认为是相同的，故体积元中中g个状态具有相同的能量，因此又可以说是简并个状态具有相同的能量，因此又可以说是简并的，的，g即为即为简并度简并度。13-3 宏观态与微观态宏观态与微观态宏观状态和微观状态的区别宏观状态和微观状态的区别宏观状态：宏观状态：平衡状态下由一组参量表示平衡状态下由一组参量表示 如如N、E、V（热力学）（热力学）微观状态：微观状态：每个微观粒子的运动状态（统计物理）每个微观粒子的运动状态（统计物理）1）全同粒子
9、）全同粒子2）近独立粒子）近独立粒子 具有完全相同内禀属性具有完全相同内禀属性(如质量、电荷和自旋如质量、电荷和自旋)的的同类同类同类同类微观粒子。微观粒子。忽略粒子间的相互作用忽略粒子间的相互作用(没有势能只有动能没有势能只有动能)，系统能量为单个粒子能量之和。系统能量为单个粒子能量之和。一、一、系统微观运动状态的经典描述系统微观运动状态的经典描述 经典认为经典认为全同粒子是可以分辨的全同粒子是可以分辨的(因为经典粒因为经典粒子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的子的运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的)。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子
10、的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运动状态是不同的。动状态是不同的。这这 个变量来确定。个变量来确定。单个粒子的单个粒子的经典运动状态经典运动状态，由，由r个广义坐标和个广义坐标和 个广义动量来描述，当组成系统的个广义动量来描述，当组成系统的N个粒子在某一个粒子在某一r时刻的运动状态都确定时，也就确定了整个系统时刻的运动状态都确定时，也就确定了整个系统的在该时刻的运动状态。因此确定系统的微观运的在该时刻的运动状态。因此确定系统的微观运动状态需要动状态需要描述方式描述方式 一个粒子在某时刻的力学运动状态可以用一个粒子在某时刻的力学运动状态可以用空空
11、间中一个点来表示，由间中一个点来表示，由N个全同粒子个全同粒子组成的系统在组成的系统在某时刻的微观运动状态可以用某时刻的微观运动状态可以用空间中的空间中的N N个点个点个点个点表表示，那么如果交换两个代表点在示，那么如果交换两个代表点在空间的空间的位置位置，相，相应的系统的微观状态是不同的。应的系统的微观状态是不同的。微观粒子全同性原理：微观粒子全同性原理：全同粒子是不可分辨的。全同粒子是不可分辨的。在在含有多个全同粒子的系统中，将任意两个全同粒子含有多个全同粒子的系统中，将任意两个全同粒子加以交换，不改变整个系统的微观状态。加以交换，不改变整个系统的微观状态。对于不可分辨的全同粒子，确定由全
12、同近独立粒子对于不可分辨的全同粒子，确定由全同近独立粒子组成的系统的组成的系统的微观状态微观状态微观状态微观状态归结为确定每一个量子态上归结为确定每一个量子态上的粒子数的粒子数。二、二、系统微观运动状态的量子描述系统微观运动状态的量子描述1)玻色子与费米子玻色子与费米子b)玻色子：玻色子：自旋量子数为自旋量子数为整数整数的基本粒子或的基本粒子或 复合粒子。复合粒子。如：光子、如：光子、介子等。介子等。a)费米子：费米子：自旋量子数为自旋量子数为半整数半整数的基本粒子或复的基本粒子或复 合粒子。如：电子、质子、中子等。合粒子。如：电子、质子、中子等。微观粒子的分类微观粒子的分类c)复合粒子的分类
13、复合粒子的分类：凡是由：凡是由玻色子构成玻色子构成的复合粒子的复合粒子是玻色子；由是玻色子；由偶数个费米子构成偶数个费米子构成的复合粒子是玻色的复合粒子是玻色子，由子，由奇数个费米子构成奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。的复合粒子是费米子。玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统玻耳兹曼系统：由由可分辨可分辨的全同近独立粒子组成，且的全同近独立粒子组成，且处在一个个体处在一个个体量子态上的粒子数不受限制量子态上的粒子数不受限制的系统。的系统。玻色系统玻色系统玻色系统玻色系统：由由不可分辨不可分辨的全同近独立的全同近独立玻色粒子玻色粒
14、子组成，组成，不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的态上的粒子数不受限制粒子数不受限制的系统。的系统。费米系统费米系统费米系统费米系统：由由不可分辨不可分辨的全同近独立的全同近独立费米粒子费米粒子组成，组成，受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的上的粒子数最多只能为粒子数最多只能为1个粒子个粒子的系统。的系统。例：例：设系统由设系统由两个粒子两个粒子组成，粒子的个体组成，粒子的个体量子态量子态有有3个个，如果这两个粒子分属玻耳兹曼系统、玻，如果这两个粒子分属玻耳兹曼系统、玻色系
15、统、费米系统时，试分别讨论系统各有哪些色系统、费米系统时，试分别讨论系统各有哪些可能的可能的微观状态微观状态？量子态量子态1量子态量子态2量子态量子态 31AB2AB3AB4AB5BA6AB7BA8AB9BA对于玻尔兹曼系统对于玻尔兹曼系统可有可有9种不同的微观状态种不同的微观状态量子态量子态1量子态量子态2量子态量子态31AA2AA3AA4AA5AA6AA对于玻色系统对于玻色系统可以有可以有6种不同的微观状态种不同的微观状态量子态量子态1量子态量子态2量子态量子态31AA2AA3AA对于费米系统对于费米系统可以有可以有3个不同的微观状态个不同的微观状态 在确定在确定N、E、V的宏观状态下，系
16、统可能的微的宏观状态下，系统可能的微观状态是观状态是大量大量的。为了研究系统的宏观性质，没必的。为了研究系统的宏观性质，没必要也不可能追究微观状态的复杂变化，只要知道要也不可能追究微观状态的复杂变化，只要知道一一个宏观状态对应的微观状态数个宏观状态对应的微观状态数以及以及各个微观状态出各个微观状态出现的概率现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均，就可以用统计方法求微观量的统计平均值获得相应的宏观性质。值获得相应的宏观性质。因此，因此，确定一个宏观状态对应的微观状态数以确定一个宏观状态对应的微观状态数以及各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。及各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。
17、13-4 等概率原理等概率原理 热力学概率热力学概率 对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。的微观状态出现的概率是相等的。因为大量的微观状态都可以满足具有同一确定因为大量的微观状态都可以满足具有同一确定N、E、V 的宏观条件，的宏观条件，没有理由认为没有理由认为哪一个状态出现的哪一个状态出现的概率更大一些。这些微观状态应当是概率更大一些。这些微观状态应当是平权平权的。的。一、一、等概率原理等概率原理 等概率原理是统计物理学中的一个等概率原理是统计物理学中的一个合理的基本合理的基本假设假设。该原理不能从更基本的原理推出，也不
18、能直。该原理不能从更基本的原理推出，也不能直接从实验上验证。它的正确性在于从它推出的各种接从实验上验证。它的正确性在于从它推出的各种结论与客观实际相符而得到肯定。结论与客观实际相符而得到肯定。热力学概率热力学概率是指是指一种宏观态对应的微观状态数一种宏观态对应的微观状态数。在确定在确定N、E、V的宏观状态下，系统可能的微的宏观状态下，系统可能的微观状态是大量的。观状态是大量的。根据等概率原理，一种宏观状态对应的微观状根据等概率原理，一种宏观状态对应的微观状态态越多越多，则，则这种宏观状态出现的概率就越大这种宏观状态出现的概率就越大。二、二、热力学概率热力学概率对于对于确定的宏观状态确定的宏观状
19、态确定的宏观状态确定的宏观状态下，下，粒子数按能级的排列粒子数按能级的排列方式方式 为为 上的粒子数，用符号上的粒子数，用符号 表示数列表示数列 ，称为一个，称为一个分布分布。能级：能级：简并度：简并度：粒子数：粒子数：三、三、分布分布 Ni 显然，对于具有显然，对于具有确定的确定的N，E，V的的宏观状态宏观状态满足：满足：给定了一个给定了一个分布分布，只能只能只能只能确定处在每一个能级上确定处在每一个能级上的粒子数，它与系统的的粒子数，它与系统的微观状态微观状态(具体安排哪些粒具体安排哪些粒子处于哪个状态子处于哪个状态)是两个性质不同的概念。是两个性质不同的概念。粒子可以分辨，若对粒子加以编
20、号，对粒子可以分辨，若对粒子加以编号，对任一任一能级能级 ，个编了号的粒子占据能级上的个编了号的粒子占据能级上的 个量子态时共个量子态时共有有 个占据方式。个占据方式。同一个分布同一个分布对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统给出的米系统给出的微观状态数显然是不同的微观状态数显然是不同的，先讨论，先讨论玻玻耳兹曼系统耳兹曼系统。四、玻耳兹曼系统的微观状态数四、玻耳兹曼系统的微观状态数个编了号的粒子分别占据能级个编了号的粒子分别占据能级上的量子态共有上的量子态共有 种方式种方式 玻耳兹曼系统的粒子可以分辨，交换粒子将给出玻耳兹曼系统的粒子可以分辨，交换粒子将给出系统不
21、同的状态，将系统不同的状态，将N个粒子交换，交换数是个粒子交换，交换数是 。因为前面已考虑了同一能级上因为前面已考虑了同一能级上 个粒子的交换，个粒子的交换，所以交换数应除以所以交换数应除以所以，对于所以，对于玻尔兹曼系统玻尔兹曼系统玻尔兹曼系统玻尔兹曼系统分布相应的分布相应的微观状态数微观状态数为：为：我们得到了与一个分布相对应的系统的微观状态我们得到了与一个分布相对应的系统的微观状态数。对于一个孤立系统的约束条件数。对于一个孤立系统的约束条件N、E、V不变的条不变的条件下，不同的分布，系统的微观状态数是不同的。件下，不同的分布，系统的微观状态数是不同的。可可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多最多最多最多。13-5 最概然分布最概然分布 根据等概率原理，对处于平衡态的孤立系统，每根据等概率原理，对处于平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态出现的概率是相等的。因此，微一个可能的微观状态出现的概率是相等的。因此，微观状态数最多的分布，出现的宏观状态观状态数最多的分布，出现的宏观状态概率概率最大最大最大最大，称，称为为最可几分布最可几分布(最概然分布最概然分布)。