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1、 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/一八三。鱼。二。王七百犷一一个线性系统辨识的计算机辅助程序熊光楞清 华大学周蔚吾大连海运 学院提要本文介 绍一套 用于线性 系统传 递函数辨 识的 程序块一块,它是 控制系统计算机辅助设计软件包中的一 个重要组成部分,本程序块可 以处理现场记录的三 种不 同数据由频 率特性测试仪或其它频 谱分析 仪所 获 得 的频率特性 数据由相关分析 仪获得的脉冲响 应 数据由记 录仪获得 的输入输出信号 随时间变化的数据,因此适用
2、范 围较广,不仅可用于离 线辨识,而且 可用于在线辨识。另外,为满 足辅助 设 计 软件包后续程序块一仿真程序块等设 计程序块的 需要,块可以提供两 种 形式的模型传递函数 或脉冲传递函数。本文对 程序块中的四个 主要子程序一数 字积分程 序、曲线拟 合程序、最小 二乘程序及双线性 变换程序作了介绍,并给出了应 用 该程序块对一个 电液伺服 系统进行 辨识 的实例。引言通过对系统的辨识,建立系统的数学模 型,这是进行系统仿真,系统设计的前提。由于控制系统的设计、分析日益计算机化,七十年代在系统仿真技术基础上逐渐发展起来的控制系统计算机辅助分析与设计技术技术,为控制领域的技术人 员提供 了方便的
3、手段。它不仅使控 制系统的设计周期大大缩短,并且可以利用计算机仿真技术进行各种 方案 的比较,进行优化设计,从而大大提高设计的水平。我们介绍的系统辨识程序块程序块就是软件包的一个重要组成部分。从七十年代开始,系统辨识技术在国际上得到迅速发展,已形成许多方法一“,但是仍没有一种统一的适合于各种情况的方法,正如有人 称其为“一口袋解题技巧”,因此目前国外现有的辨识程序包一般也是给出多种方法以供 使用者根据 自己的情况进行选择。程序块有如下几个特点通过辨识建立的模型符合工程技术的精度要求,在有噪声情况下估计的参数 满、足无偏性辨识的模型形式 即可以是 系统的连 续模型传递函数,也可以是离散模型脉冲传
4、递函数,同时两者又可互相转换、数据来源应可靠、准确,根据 我国目前的情况本程序块的数据来源可以是以下四种之一,由时间记录 仪记录 的输入输出序列,由相关分析仪测得的系统权函数序列犷由频率特性测试仪一或频谱分析仪测得的频率特性。程序简单,处理迅速,占用内存少,适于小型及微型计算机。二程序块的框图与功能程序块的框图如图第一步是求得系统的权函数所示,其基本思想是将用 两步法来辨识模型。幼之采样值 伙,或者是系统的权序 列。这一 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/
5、一个 线性 系统辨识的计算机辅助程序抢抢入输出出序序列梦纂纂权权函教教最最,乘乘乘广广义最小二乘估估计抽助变璧法法传传递函函数数拟合合传传传传传传传传传传递函数数脉脉冲传递函数数数仍图程序块框图步可以由记录仪记录的输入输 出序列通过最小二乘估计实现为使 估计是无偏的,要求输入信号为白噪声,一般是采用最大二位式序列,它具有近似 的 白噪声特征,或者 由相关分析仪对系统进行动态测试直接求得。第二步是由两条途径分别求取及,并且通过双线性变换又可互相转换,其中作为中间步骤的频率特性了帅 除掉由约通过付氏积分得到外,也可直接由谱分析仪或者频率特性测试仪如一获得。对于每条途径,我们又提供多种方法为使用者服
6、务,其中数值积 分 三 种矩 形法,梯形法,抛物线法。频率特性哟 拟合传递函数二种法,山下法。由系统的权序列伙确定二种”。另外,由输入输出序列也可直接辨识之 系数,我们巳编制好了辅助变量法及广义最小二乘法二种程序,因尚未用实验数据验证故暂不放入。本程序块用语言编制,约条语句,已在一机及一机上调试通过,有关该程序块的详细框图请 参看附录。由于权序列或权函数采样值的辨识已有不少文章作了介绍”,本文就不再叙述了,本文将着重介绍及的辨识以及它们的互相转换。由求。已知“连续系统传递函数的拟合一”。,。二丁一,一,丁。一,。其中。为稳定时间。可见,若已知约,利用可得声叻,为了保证数值积分的精度,采样间隔应
7、满足香农定理,即采样间隔应满足二加。而采样个数艺右妻。云兀其中为系统的最大角频率。如果我们已获得的权函数之 采样值执在范围内的个数。小于应保证的个数,则应采取增加采样点的措施,一般可以采用扦值法,本程序块安排 了拉格朗日内插法程序,详见 附 图。已知伙后,两个采样点之间的约可以用矩形法,梯形法或抛物线法加以近似,显然用式可求出。,具体公式如下。1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/信息与控制年第期工、矩形法簇才,。亡习。艺一万。么亡习艺。才尺。派。“万。亡。二
8、艺习才。云。梯形法艺,一才斗一亡蕊一亡二艺古亡艺一。艺一一忿一艺割一一。广。则、恤一砂瓦习。尤十,一。一。加习云应,一抛 物线法艺。一艺一“其中。,忿以艺,一才一艺、“亡一才、,。加。习以、一。、,。十一艺十,。亡一加一云十才、,一。一。加习、一、又二。右、一七、加八、一亡,亡十,一。云我们对以上三种方法用种典型模型为例在一弧度秒的频率范围内,进行了验算,发现梯形法一 般最为理 想,运算量居 中,误差较小抛 物线法有时 精度很高,但有时在低频部误差较大,运算量大矩形法误差比梯形法大,但在整个频率范围内比较均匀,运算量最少。考虑到使用者对精度、速度有不同要求,程序块中同时提供了三种方法,以供选择
9、。系统采样频宽对以后的传递函数拟合有很大影响,一个系统的特征,主要 由系统工作频率范围的中频段所决定,因此采样频宽应 保证中频段居中,一 般可在。的范围内采样。笠,为系统的剪切频率,根据传递函数拟合的要求,希望低中频采样密,高频采样疏。本程序块 自动按十倍频程为段,等差采样,如。,一,一,。,一实际证明这种方法是较好的,1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/一个线性 系统辨识的计算机辅助程 序由拟合用声。拟合的方法最早是由在年提 出的。这种方法是基于在频域范围
10、 内,假设需要求解的频率特性函数劝 与实测的哟之差的平方对所求传递函数的系数求极小值而得。以后虽经过和,”以及等人的改进,但仍然都是在频域范围内求解,即假定实测频率特性为。二。十。所需求的频率特性为。,。声。”,夕。,二。夕。“。评价函数叉。夕。一。二为计算方便将上式改为加权形式艺中。,了。一。使,其中可得二一。,。,二,。,一,。动州川州尸一一。一八心。二一入入一苍“一入一入一二理卜定入、习中衅云艺中衅权系数中二。】“年山下胜比掘等人的能量相等原理有习中令、五、习小。梦梦罗夕,用迭代法初值可取中二。改进了以上方法,一使其在时域范围内求解,即根据“丁艺一“二,。,一“。,。爪甲户、卜一一一一故
11、评价函数可改为。写成加权形式则有竺其中小,声。一。“。望习。一。,。一。“。,。频率增量。,“。、,。一,二一。一艺,一使曹,、了也可得入、二习小、。、习中、。入、。只 是及中的各元素改为习小,。黔、。卜“郡。梦,。,1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/信息 与控制年第已期实际计算表明,采用山下法进行拟合,不仅物理意义比较明确,而且有效地改善了拟合时对,及精确度之要求。另外,山下法还给出了一种评价阶数的函数才一亡“才般一习。一。、丁“习产。“。二自九一一一已
12、它表示实测的权函数与所需求的权函数之间的误差平方在时间轴上积分 后 之百分值。镇时,可以认为阶数是合适的。对于迭代次数的收敛评价函数,山下曾给 出了以下形式吞,。万一二一一一石妥二下万二又一十几升刀一气切。当。时迭代可停止为迭代次数。及一,分别表示第 次及瓦一次求得的。实际证明,及同样适用于法。通过我们计算的近十个例子表明对于准确的频率特性,上述两种方法拟合都是 十分理想的,而且一般迭代次之内即满足要求,但是实测的频率特性一船总有误差,另外,从确定的加 也会因计算方法带来误差,此时采用 山下法就有明显的好处。四离散模型一的辨识 考虑到量测噪声劝的存在,系统的输出幼 与实测输出幼满足幼二幼幼。而
13、系统的离散模型二,写成差分方程形式为叱十一一。一一当我们认为输入是脉冲信号时,可得输入输 出序列,于孔。,人,儿。、,因此可得矩阵方程、了人月任了、通上月月十、勺汽气瓦、八口”。,土八。一一一一,一一子一。、一一乒一。一。一一一一。一几一。、由于已知。,故可利用最小二乘法估计出的系数,。,。,。当我们认为输入是近似于 白噪声的最大二位式序列时、丸习轰 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/一个 线性系统辨识 的计算机 轴助程 序由此可得一、声,上一曰工杯、刀尹
14、研琦一一一厂卜一一夕一“脚一托柞,二林柞州”月 尸月十厂、同样可用最小二乘法估计 出,。,来。另外,关于系统阶次的确定,我们采用最小二乘法的误 差平方作评价函数,随着加大,评价函数也将下降,当评价函数下降很 缓慢时,一般就认为已找到 了合适的阶次。通过个例子的计算,证明上述二种方法效果都很好。五双线性变换一个系统既可用连续模型来表示,也可用离散模型来表示,两者之间可互相转换,转换的方 法很多吐,本程 序块采用便于计算机执行的双线性变换,即以一一八一或一一需要指 出的是双线性变换的适用 条件为毛,其中为连续模型中的极点,为采样周期。六计算举例为了 比较第三节与第四、五节所述的两种方法,给出两个具
15、体实例,如表所示。表中误差尸、户八,艺一万习、一八二其中挤,刃为拟 合模 型系数,。,。为实际模型系数。表中的计算时间是指用语言编制的程序在一机上执行的时间。利用本程序块对一个实际的 电液伺服系统进行了辨识,分别用相关分析仪及一频率特性测试仪进行试验,然后用本程序块进行数据处理,所得的模型如表所示。由表可知,几种方法所得的模型基本相同,精度满 足工程要求。七结论程序块的辨识效果是令人满意的,建立的模型满足工程技术要求。程序块提供了多种辨识方法,分别可获得连续形式的及离散形式的,该程序块可作为软件包的一个组成部分。所要求的数据来源准确、可靠、实验设备比较简单,数据处理所用的计算机为小型机或微型机
16、,因此适于较多单位使用。1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/一个 线性系统辨识 的计算机 轴助程 序由此可得一、声,上一曰工杯、刀尹研琦一一一厂卜一一夕一“脚一托柞,二林柞州”月 尸月十厂、同样可用最小二乘法估计 出,。,来。另外,关于系统阶次的确定,我们采用最小二乘法的误 差平方作评价函数,随着加大,评价函数也将下降,当评价函数下降很 缓慢时,一般就认为已找到 了合适的阶次。通过个例子的计算,证明上述二种方法效果都很好。五双线性变换一个系统既可用连续模型来
17、表示,也可用离散模型来表示,两者之间可互相转换,转换的方 法很多吐,本程 序块采用便于计算机执行的双线性变换,即以一一八一或一一需要指 出的是双线性变换的适用 条件为毛,其中为连续模型中的极点,为采样周期。六计算举例为了 比较第三节与第四、五节所述的两种方法,给出两个具体实例,如表所示。表中误差尸、户八,艺一万习、一八二其中挤,刃为拟 合模 型系数,。,。为实际模型系数。表中的计算时间是指用语言编制的程序在一机上执行的时间。利用本程序块对一个实际的 电液伺服系统进行了辨识,分别用相关分析仪及一频率特性测试仪进行试验,然后用本程序块进行数据处理,所得的模型如表所示。由表可知,几种方法所得的模型基
18、本相同,精度满 足工程要求。七结论程序块的辨识效果是令人满意的,建立的模型满足工程技术要求。程序块提供了多种辨识方法,分别可获得连续形式的及离散形式的,该程序块可作为软件包的一个组成部分。所要求的数据来源准确、可靠、实验设备比较简单,数据处理所用的计算机为小型机或微型机,因此适于较多单位使用。1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/一个线性 系统辨识的计算机辅助 程序山下法传递函数分子阶次传递函数分母阶次瓦,丸,云、二表示用一式 来确定之系数,二表 示用一式来确
19、定之系数此 时输入序列 为 最大二位式序列 它将由计算扒程序产生,二表示输入数据为系统的输入锨小序列。这 一部分程 序首先要判 断输入 的数据是系统的输 入 输出序列还是权序列。若为前者,则首先要经 过 最小二乘估计 确定系统的权序列,整 个程序的框图如附图所 示。图扣有 关变量说明如下系统稳定时 间。采样间隔。之系数、阵。、输输输输输输输输输输输入入铂铂入一读读读读读读读读读读读读读读读读读读读入入,沙,仰川呱卜,及吕打印。二功、,一,一幼特拼根根根根根根根根根据一计算算算根据一计算算卜味味味卜吟匀匀匀匀匀匀匀匀匀匀匀匀匀匀匀匀匀匀匀二如,打印,耳耳选选取采样频率率公哎二,二打打打打打打打打
20、打打打打打打打打打打打打印传递函数系数丫,口仰揖揖据一一计算优幻幻曲少认竺少,卿,“带瞥瞥瞥神,一丈一幻二盆“附巴“、“。、怡程 序框图 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/峨信息 与控制年第,期鸦工缸,打印采样数省畏参考文献人,。之一,一三二三一,皿么,弓、月,二亡,。三叭二,、犷德、叫读入系统偷出读入系统物入钧出落又二二二亚二二给丫阵斌值,状态估计,科学 出版社,系统辨识一参数和。输入信号序列子程序一过共一留一冲差分方程系数阵人片一盛 醉书绝合阵斌值丫份
21、万百 五,辨识应用上的新 成果,自动化学热卜,一戴维斯,一二自适应控制的系统辨识,科学出版 社,蒋中鹏,线性系统传递函数的辨识,给前的值斌零值吕给,前的值赋零值给阵斌值计算系统响应一二泣二二奋给,阵斌值检验拟合优良度一之一奋双线性变换求递函数系数井引 泞】印数函数采样值住瑞借产冶金钾化,补“、丁,一了二此,乒耳,仁 明山 下麟比拔,月林数。答”定“,停机计算冲计算一书求逆阵犷,劝 人守程序附图二步法求并 通过双 线性变换求之程 序框 图动化学 报,传达笨数值,制御工学必气,七三一户,”,土五、己朴、令一如补赞妙髻丝,工叮。“,扩一、一的李 白男、种延响卜,一多功有 伪随机信号相关俘及冷轧机控制
22、 系统的在线 识别,自气拜,旦,三。,几典三命,、一甲万。出,声一闷、卜垃二,扭触,一已万兮,、”犯。,云,三,一公,。声子,毛。,二。,二二。二。,二分石 血一、娜,。,一七接页一,。二 二“二“争卜,商亏百从一,仔中国科学 院上海 冶金 研究所熊维 光 译一使用说明,上海科学 技术情 报研究所,且丫二二三,二己二二二。如分瞅或些少沙茄花,“才一川过,凡崛少五遇妙介百百行士二金犷肠一卿么之二,一,邓政端、曹曙光、李 跃庭、王东兴,单晶生 长过程的自适应控制,陕西机械学院 自控系,年全国自动化学会 理 论从应用年会论文。1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http:/信 息 与控制年第期。,。二。右。一召,。,力印,一石,咤。,“已,公乙,一一一。,“一”一