机械系统动力学课件yuan.pdf

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1、第二章第二章第二章第二章 刚性构件组成的刚性构件组成的刚性构件组成的刚性构件组成的 单自由度机械系统动力学单自由度机械系统动力学单自由度机械系统动力学单自由度机械系统动力学等效力学模型研究方法：简化机械系统等效的单构件力学模型 运动微分方程的建立 求解 22 驱动力和工作阻力常见的工作阻力 恒定不变 随位移变化 随速度变化 随时间变化常见的驱动力 恒定不变 位移的函数：F=kx 速度的函数：三相异步电动机的机械特性：000030nM P P PPH H HH:额定功率（kW)n n nnH H HH:额定转速(r/min)n n nn0 0 00:同步转速(r/min)：过载系数A,B,C三点

2、的转速，转矩C：B:A:1955030HHHHHPnMn 200111()(1)kHkHMM曲线段ABC的二次函数（近似）a,b,c:待定系数，可由A,B,C三点的坐标确定2()Mabc23 单自由度机械的等效力学模型单自由度机械系统运动规律的复杂性 高速冲槽机（六杆机构）系统的动力学微分方程组:多个方程组成 单自由度机械系统运动规律的特点单自由度机械系统运动由一个参数（坐标）决定求出系统中一个构件的运动规律，整个系统（机构）的运动就决定了单自由度机械系统运动规律的求解途径 将系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题简化原则 等效构件和机构中对应构件的真实运动一致 1）作用在机构上的外力

3、、力偶等效转化到等效构件上 2）所有构件的质量等效转化到等效构件上 上述等效转化基于功能原理功能原理 机械在任一路径中，系统动能的改变等于作用于其上所有力所作的功。对于等效构件：等效构件具有的动能的改变和原机构的动能的改变相同，且作用在等效构件上的等效力所作的功等于作用在原机构上所有的力所作的功，则等效构件的运动将与原机构中对应构件的真实运动相同。复杂系统转化为等效力学模型的方法：转化前后等效构件与原系统动能相等；等效力与外力做功相等 将复杂的机械系统等效转化为只有一个等效构件的等效力学模型。通常将作定轴转动或直线平动的构件作为等效构件，实用中大多以主动件作为等效构件。将决定等效构件的转角或位

4、移作为机构的广义坐标。作用在等效构件上的力称为等效力：Fe 作用在等效构件上的力矩称为等效力矩：Me 等效构件所具有的质量成为等效质量：me 等效构件关于转动轴的转动惯量称为等效转动惯量：Je对于高速冲槽机 若将系统所受的力转化到曲柄上 若将系统所受的力转化到滑块上eMeJemeF一、等效力和等效力矩 等效力（力矩）所作的功作用在机构上的所有外力（力偶）所作的功之和 设F F FFk k kk(k k kk=1,2=1,2=1,2=1,2,m m mm)和MMMMj j jj(j j jj=1,1,=1,1,=1,1,=1,1,n n nn)分别为作用与机构上的外力与力偶，根据等效力矩MMMM

5、e e ee(或等效力F F FFe e ee)的功率与原始机械的总功率P P PP相等 1111mnekjjkjmnejjkjMMFMk k kkkkkkkkkkF vF vF vF vvF vvF vvF vvF v 等效构件的角速度 v v v v 等效构件的速度 v v vvk k kk外力F F FFk k kk作用点的速度作用点的速度作用点的速度作用点的速度 外力偶外力偶外力偶外力偶 M M M Mj j jj 作用构件的角速度作用构件的角速度作用构件的角速度作用构件的角速度j11111111coscosmnmnjjkkekjkjkjkjmnmnjjkkejkjkjkjvMMFMv

6、FMFMvvvk k kkk k kkk k kkv v vvF F FFv v vvF F FF F F FFk k kk与V V VVk k kk的夹角 上述公式可以用来转化作用在系统上所用的力（力偶），也可以根据需要只转化其中的某个（某几个）力（力偶），被转化的力（力偶）可能是常量，也可能与各种参数有关 MMMMe e ee,F F FFe e ee不仅与被转化的力（力偶）有关，也与机构的 传动速比有关 对单自由度机构，机构的传动速比可能是固定的，也可能与机构的位置有关，但不会与机构的运动速度有关 k例21 如图所示曲柄滑块机构，若将作用于滑块C的工作阻力Fc转化到曲柄AB上，试计算其等

7、效力矩Me解：设滑块C的运动速度方向与x轴正向一致，则由得当滑块向左运动时，上式中的vc应取负值。因传动速比 在不同的位置有不同的数值，即使工作阻力Fc为常量，其等效力矩Me是随曲柄的运动而变化的11coscos180mnjkkekjkjcceccvMFMvvMFF 111cv二、等效质量和等效转动惯量转化原则：等效构件具有的动能机构中各构件动能之和 平面机构，一个构件的运动作一般平面运动的动能E:m构件的质量 J构件相对于质心的转动惯量 vs构件质心的运动速度 构件的角速度 构件只作平动或只作定轴转动其动能可写为：或 J J JJ0 0 00 构件相对于转动轴的转动惯量构件相对于转动轴的转动

8、惯量 221122sEmvJ212sEmv 0122E=J w整个系统的动能：等于所有构件动能之和等效转动惯量Je,等效质量Me的表达式：等效构件的角速度 v等效构件的速度n2jj 1n22jj 1n22jj 111()22111()222111()2222sjjj2esjjj2esjjjEmvJJmvJm vmvJ221221()()()()nsjjejjjnsjjejjjvJmJvmmJvv对Je表达式的讨论：等效转动惯量的值总是正值，该值与传动速比的平方有关；仅当机构的传动速比不变的情况下，等效转动惯量才为定值 一般情况下，等效转动惯量是随机构位置而变化的量 等效转动惯量与机械的实际运动

9、速度无关。由于单自由度机构的传动速比仅与其位置有关，因此在机构实际运动规律未知的情况下，可以由机构的位置计算出等效转动惯量。例22 在下图所示的曲柄滑块机构中，设曲柄AB相对于转动轴的转动惯量为J01,连杆BC的质心位于s2,其质量和相对于质心的转动惯量分别为m2,和J2,滑块C的质量为m3。求构件1，2，3转化到曲柄AB上的等效转动惯量。解：各构件动能可分别表示为 由转化前后系统的动能相等得：由此得：22101122222223312112212scEJEm vJEm v222222101122231111122222escJJJm vm v2222201223111()()()scevvJ

10、JJmm三、等效构件的运动方程 将系统所受的力和各构件的质量转化到等效构件后，对等效构件的研究就代替了对原有系统的研究。设 等效构件为作定轴转动的构件，并用 分别表示其转角，角速度和角加速度。根据动能定理的积分形式：式中：E等效构件的动能，W等效力所作的功，由动能定理的微分形式：P等效力矩的瞬时功率EW212eEJ eWM ddEPdtePM 若等效构件由转角由 其对应的角速度由则积分形式的动能定理为：式中：Je1,Je2分别为等效构件在 时，等效转动惯量的取值利用动能定理的微分形式，等效构件运动方程的另一种表达形式：将上式展开，等式两边约去 得：(力矩形式的运动方程）121212,21222

11、2111122eeeJJM d1122()()eeeeJJJJ 21()2eedJMdt2221()2eeedJddJMdtddt几点说明：1）力矩形式的运动方程中Je是 的函数，是t的函数 建立力矩形式的运动方程，不仅要计算出Me,Je,还必须计算出 2）由于在等效力学模型中仅保证其动能与原系统的动能相等，并不能保证它们之间动量或动量矩之间的相等关系，因此等效构件的运动方程不能利用动量或动量矩定理导出。3）由拉格朗日方程也可以导出等效构件的运动方程 4）如果等效构件作平动，其运动方程可有类似的结果：edJd2122221 122211221()2seeeseeem vm vF dsdmd s

12、dsmFdtdsdt四、等效转动惯量及其导数的数值计算方法引入符号：由于记 （1）式改写为：*sjjsjjv v vvv v vv 22*2*211*2*1()()()()2nnsjjejjejsjjjjjnjejsjjjjvJmJJmJAddJdmJdddv v vvv v vv *2*1()()22sjsjsjsjsjnsjjejsjjjjdddddddddJmJdddv v vvvv vvvv vvvv vvvv vvv v vvv v vv (1)*sjjsjjddddv v vv 由（1）（2），计算等效转动惯量及其导数的关键是求出：及其导数根据传动速比的定义：（3）式对时间求导：在

13、（3）（4）中分别令1，0，则（3）（4）变为：*12nejsjsjjjjjdJmJd v v vv (2)*,sjjv*,sjj *sjsjj vvvvvvvvj (3)*2*2*sjsjsjjjj v v vv (4)*sjsjjsjsjjjvvvvvvvv j (5)*,sjjd dddt v v vv1）机构传动速比及其（对角位移的）导数在数值上分别等于当等效构件的运动为 时，机构对应的实际速度（或角速度）和加速度（或角加速度）2）计算 的方法为：假设等效构件作匀速运动，即 在所假设的条件下对机构进行运动分析，求出各构件的角速度和角加速度以及各构件质心的速度和加速度，所得到的数值即为相

14、应的传动速比及其导数。利用上述数值再利用（A)（2）计算等效构件的转动惯量及其导数。1,0,eedJJd 1,0*2*21*1()2nejsjjjjnejsjsjjjjjJmJAdJmJd v v vvv v vv (2)例23 若图示机构中 l1=0.2m,l2=0.5m,ls2=0.2m,e=0.05m,Jo1=3kgm2,J2=0.15kgm,m2=5kg,m3=10kg,试利用数值计算方法，计算该机构的等效转动惯量及其导数随转角的变化规律.解:取曲柄AB为等效构件，为广义坐标，假设等效构件运动为11，10，在此假设下，对机构作运动分析如下：机构的封闭向量方程在图示坐标系的投影形式：11

15、221122121122212*11*2*122coscossinsinsinsin:(2)and note:1,0 of BC:cos coscllxlleleellllherelddtthe (1)f rom (1):si n (2)(3)1*2*2112222*1123*222222*22c(3 of link BC is:cossincossincos 3 :(sincoscossin)(4)costhen we can use and from(1)to obtain and ,cddthedtdtputinto aboveva of）*211222*121122222the sli

16、der C:sin()cos(5)cos()coscoscosfrom the relative motion of point s to point B,the transmission ratio of velocity and its difccccdxvldtd xaldt 2*22*22*222ferentia for point s of link BC are shown bellow:and :relavite velocity and acceleration of point to pointsBs BsBs Bs Bs Bsvvvvvvvvvvvvaaaaaaaaaaaa

17、vavavava (6)B;*211222*211222*2*211222222*221122in the coordinate of x-y in this problem,(6)can be rewrited as bellow:sinsincoscoscoscossinsinsis xss yss xsss ysvllvllalllall *2222 (7)ncossl*222222e*2*2*2*2e01222223*2*2*222222223From the,and and can be obtained as follow:()2()ccs xs ys xs yes xs yces

18、 xs xs ys yccv a vvaadJJdJJJm vvm vdJJm vavam v ad ,(8)24 运动方程的求解方法 运动方程大多数情况下只能采用数值方法求解，仅在部分情况下才能用解析方法求解。一、等效力矩是等效构件转角的函数时运动方程的求解 Me=Me()积分形式的动能定理 Je0,0 位置时等效构件的等效转动惯量和角速度 Je,位置时等效构件的等效转动惯量和角速度 由上述积分方程可解出与 的函数关系：022ee00e11()d22JJM002002()()()()eeeJWWMdJ 二、Je=constantconstantconstantconstant,Me=Me()

19、运动方程的求解 采用力矩形式的运动方程求解 分离变量后得 若MMMMe是的二次函数 222constant 01()2eeeeeeedJJddJdddJMJMdtddtdt ()00()eedttJM0202eeMabxcdttJabc2002222220022202221)40:()444(24)(24)2)40:ln4(24)(24)eeJcbcbbacttarctgarctgac bac bac bJcbbaccbbacbacttbaccbbaccbbac 例25 设卷扬机的等效转动惯量J J JJe=2kgm2,等效力矩MMMMe可近似 用（rad/s)的二次函数表示为 若等效构件由0

20、0开始运动，试确定以后的运动规律。263.55.210.0784eM三、等效力矩是等效构件转角和角速度的函数2suppose:(,),()from the torque EQ.we have:1 ()()(,)(1)2here:()use:(1)is changed as beleeeeeeeeeMMJJdJJMdtdJJdddddtddt 2ow:(,)(2)1()2:(,)eeedfdMJherefJ （2）式右边通常是关于 和的复杂函数，难以采用分离变量等解析方法求解，通常采用数值方法：欧拉法和龙格库塔法求解。四、等效力矩是等效构件转角，角速度和时间的函数Me=Me(t,)力矩形式的运动

21、方程具有如下形式：222 (,)(1)(1):(,)(2)12here:(,)andeeedf tdtdf tdtddtMJf tJ =eedJJd25 飞轮转动惯量计算一、机械的稳定运动及其速度波动 大多数机械的运动过程：起动、稳定运动和停车三个阶段 起动、停车阶称为过渡过程：可以用前面介绍方法解决，需要预先确定机械的初始运动。稳定运动阶段，机械将出现等速或周期性运动。等效力矩在一个周期内所作的功等于0,(驱动力做的功等于所有阻力做的功），但等效力矩并不时时等于0，而是时正时负周期性的变化。因此，等效构件的角速度通常都不为恒值，而是周期性地波动。稳定运动阶段的动力学计算不能直接应用前面介绍的

22、方法。对机械周期性的速度波动需要加以调节，使速度波动限制在允许的范围内。二、周期性速度波动的调节 为了减小机械运转时的周期性速度波动，可以在机械中安装转动惯量较大的飞轮。飞轮调节作用的原理。根据积分形式的系统的动能定理，可将等效构件的运动方程改写为：由上式，角速度变化有两个原因：等效力矩Me的周期性变化；等效构件转动惯量周期性的波动。机械中安装了飞轮之后，等效转动惯量成为J J JJ J J JJ=J J JJe+J J JJf （2）J J JJe安装飞轮前的等效转动惯量 J J JJf 飞轮的等效转动惯量2122222112111()()(1)22eeeeJM dJJ用J J JJ代替（1

23、）式中的J J JJe得：将（2）式代入（3)得：（1）式和（4）式的右边一致，比较两式可知：增加了飞轮的转动惯量J J JJf，可使任意两位置的角速度的平方差减小。即使周期性的速度波动减小。三、怎样计算飞轮的转动惯量 1）等效力矩是等效构件转角的函数 2)等效力矩是等效构件转角和角速度的函数2122222112111()()(3)22eJM dJJ2122222112111()()()(4)22efeeeJJM dJJ2221 第三章 刚性构件组成的 二自由度机械系统动力学二自由度机械系统：差动轮系，多自由度机械手二自由度系统动力学问题：通过拉格朗日方程建立其动力学模型32 自由度与广义坐标

24、一、广义坐标 用来完全确定系统运动的一组独立的坐标（参数）用来确定球摆的运动，可以用两个独立参数和，因此，和 是球摆的一组广义坐标。假设双摆仅能在xoy平面内摆动，可用广义坐标 ，该系统自由度为2.如采用直角坐标，要取xA,yA,xB,yB四个参数它们必须满足以下的方程：四个参数中只用两个是独立的。自由度可计算如下：2N-S=22-2=2 其中N为质点数，S为方程数12,22212222()()AABABAxylxxyyl约束及约束方程：约束及约束方程：约束及约束方程：约束及约束方程：约约约约 束：束：束：束：对系统的运动几何位置的限制对系统的运动几何位置的限制对系统的运动几何位置的限制对系统

25、的运动几何位置的限制 约束方程约束方程约束方程约束方程:表示约束的方程和方程组表示约束的方程和方程组表示约束的方程和方程组表示约束的方程和方程组 约束的类型：约束的类型：约束的类型：约束的类型：定常约束：约束方程不含时间，只包含坐标及常数项定常约束：约束方程不含时间，只包含坐标及常数项定常约束：约束方程不含时间，只包含坐标及常数项定常约束：约束方程不含时间，只包含坐标及常数项 非定常约束：约束方程显含时间非定常约束：约束方程显含时间非定常约束：约束方程显含时间非定常约束：约束方程显含时间 广义坐标，广义速度，广义加速度广义坐标，广义速度，广义加速度广义坐标，广义速度，广义加速度广义坐标，广义速

26、度，广义加速度 用用用用 qi i i i 表示广义坐标，表示广义坐标，表示广义坐标，表示广义坐标，n个自由度的系统，其个自由度的系统，其个自由度的系统，其个自由度的系统，其 n 个广义坐标表示为：个广义坐标表示为：个广义坐标表示为：个广义坐标表示为：q1,1,1,1,，q2 2 22，qn n nn 系统中任意一点的位置用失径系统中任意一点的位置用失径系统中任意一点的位置用失径系统中任意一点的位置用失径 r r rrk k k k 表示，对定常约束，表示，对定常约束，表示，对定常约束，表示，对定常约束，r r rrk k kk 可表示为广义可表示为广义可表示为广义可表示为广义坐标坐标坐标坐标

27、 qi i i i 的函数：的函数：的函数：的函数：r r rrk k kk r r rrk k kk（q1,1,1,1,，q2 2 22，,qn n nn）上式写成投影形式：上式写成投影形式：上式写成投影形式：上式写成投影形式：xk k kk=xk k k k(q1,1,1,1,，q2 2 22，,qn n nn)yk k kk=yk k k k(q1,1,1,1,，q2 2 22，,qn n nn)zk k kk=zk k k k(q1,1,1,1,，q2 2 22，,qn n nn)在双摆系统中，广义坐标选择如下：在双摆系统中，广义坐标选择如下：在双摆系统中，广义坐标选择如下：在双摆系统

28、中，广义坐标选择如下：q1 1 11 q2 2 22 A,B两质点的坐标可表示为：两质点的坐标可表示为：两质点的坐标可表示为：两质点的坐标可表示为：广义速度：广义速度：广义速度：广义速度：广义坐标对时间的导数广义坐标对时间的导数广义坐标对时间的导数广义坐标对时间的导数 广义矢量广义矢量广义矢量广义矢量 r r rrk k k k,对时间求导：对时间求导：对时间求导：对时间求导：12111111211121sin,cossin+sincos+cosAABBxlqylqxlqlqylqlq(1,2,.,)iq in121(,.)kkknnkiiiddq qqdtdtqqr r rrrrrrrrrr

29、r r rr 33 虚位移原理与广义力一、虚位移原理 在理想约束条件下，质点系平衡的充分必要条件是所有主动力在虚位移上的元功之和等于零。其表达式为：上式写成坐标系中的标量形式：式中：作用于点r r rrk k kk处的主动力F F FFk k kk在坐标轴上的投影 虚位移 在坐标轴上的投影0FkkkWFrFrFrFr()0kkkkkkkXxYyZz,kkkXY Z,kkkxyzkr r rr关于虚位移原理的几点说明1、虚位移（可能位移），质点系在约束允许条件下，可 能实现的任何无限小的位移。虚位移可以是线位移，也可能是角位移,用变分符号表示。对失径 r r rrk k k k 而言,它表示质点

30、的位置，该质点的虚位移用r r rrk k kk表示，与时间无关。2、虚功，力在虚位移上的元功。虚位移原理又称虚功原理。F F FFk k kk在r r rrk k kk上的虚功为F F FFk k kkr r rrk k kk。3、理想约束，约束反力在虚位移上不作功的约束。在虚位移方程中不出现理想约束反力。光滑面，光滑铰链，无重刚杆等都是理想约束。4、虚位移原理方程表达式中的表示对所有主动力F F FFk k kk求虚功和。二、虚位移原理的广义坐标形式 用广义力和广义坐标表示虚位移原理 1）将虚位移r r rrk k kk用广义坐标虚位移来表示 设系统具有n n nn个自由度，则r r rr

31、k k kk r r rrk k kk（q1,1,1,1,，q2 2 22，,qn n nn）的变分形式）的变分形式）的变分形式）的变分形式 2）将上式代入虚功方程 其中 对应广义坐标 qi i ii 的广义力。1nkkiiiqqr r rrr r rr111()nkkikiinkkiikiniiiWqqqqQ q r r rrF F FFr r rrF F FF =(=(1,2,.,)kikkiQinqr r rrF F FF虚功方程可表达如下：由于广义坐标是相互独立的，广义虚位移q q qqi i ii 是任意的，若上式成立，则有：Q Q QQi i ii=0 (i i ii=1,2,n

32、n nn)上式表明：对于理想约束，n n nn个自由度系统平衡的充分必要条件是所有的广义力均等于零。10nFiiiWQ q三、广义力 在广义虚位移表示的虚功方程中的 Q Q QQi i i i 称为广义力。广义力的量纲由它所对应的广义虚位移确定。当q q qqi i ii 是线位移，Q Q QQi i i i 具有力的量纲；当q q qqi i ii 是角位移，Q Q QQi i i i 具有力矩的量纲。广义力的计算方法 1）用公式计算 由 得：主动力 F F FFk k k k 在坐标轴上的投影 F F FFk k k k 作用点的坐标，为了求坐标对 q q qqi i i i 的偏导数，必

33、须将坐标表示成广义坐标的 q q qqi i ii 的函数。(1,2,.,)kikkiQinqr r rrF F FF()kkkikkkkiiixyzQXYZinqqq (=1,2,.,),kkkXY Z,kkkx y z对于保守系统，如果作用在系统上的主动力均为有势力，当势能 V V V V 已知时，主动力的投影可写成势能的表达式：这时，广义力 Q Q QQi i i i 的表达式：2）利用求虚功间接求广义力Q Q QQi i ii n n nn个自由度系统，对应于n n nn个广义坐标，有n n nn个独立的广义虚位移，它们的选取互不相关。如果要求广义力 Q Q QQi i ii，可以令q

34、 q qqi i ii0 0 00，而使其他n n nn-1个广义虚位移均为零，此时系统中所有主动力在相应的虚位移中所作的虚功之和用 表示，则有：,kkkkkkVVVXYZxyz ()kkkikkikikikixyzVVVQxqyqzqVinq =-(=1,2,.,)FW二自由度系统的广义力：主动力虚功之和直接写成与两个广义虚位移的关系，表达式中虚位移前面的系数就是对应的广义力：如果二自由度系统中能够直接求出主动力的功率 P,则广义速度前的系数就是对应的广义力：FiiFiiqWQqWQ 1122FWqQQq11211222FWqqPqQQtQtQq 例31 下图中的系统，杆OAOAOAOA和A

35、BABABAB以铰链相连，O O OO端为圆柱铰，B B BB端自由杆重及摩擦不计，杆长OAOAOAOA=l l ll1 1 11,AB=lAB=lAB=lAB=l2 2 22,设二杆均在垂直面内，OAOAOAOA杆与铅垂线成 角，杆ABABABAB与与铅垂线成 角。今在点A A AA和B B BB分别作用铅垂向下的力F F FF1 1 11,F,F,F,F2 2 22，试求在图示位置时的广义力。解：该系统为二自由度系统，选 为系统的广义坐标，对应的广义虚位移为 利用第一种方法求广义力：由1212,12,()kkkikkkA BiiixyzQXYZqqq 若用求虚功的方法求Q Q QQ1 1

36、11,Q Q QQ2 2 22，可先令：由下图和下式：11211212221111221111112222 1cos,coscossin,sin0,sinABABABABAByyQFFyyQFFylyllyyllyyl （）1121122 22put(2)into(1),then:()sin sinQFF l QF l （2）20讨论：1)如果F F FF1,F F FF2为A A AA,B B BB两质点的重力，即F F FF1=m=m=m=mA g,Fg,Fg,Fg,F2=m=m=m=mB g,g,g,g,该系统为保守系统，此时可以通过系统势能来求广义力：112111111sinsin (

37、4)(5)put(5)into(4):FABABWFrFrQrrl 11211122222 ()sin in the same wa y and let 0,from the Fig.on the left:sin FBQFF lWFrQ 2222 22because sin BrlQF l 取 y=0 处为零势能位置，则系统的势能为2)如果在铰链O O OO处作用一力偶T T TT1 1 11，则广义力 Q Q QQ1 1 1 1 将改变为：1 112112212112 221212112112 2211211212112 2222 2cos(coscos)()coscos()coscos(

38、)sin()coscosVFlF llFF lF lVVQQQFF lF lFF lQFF lF lF l 2sin112111()sinQFF lT 3-4 拉格朗日方程一、动力学普遍方程 虚功原理是在静力学的基础上建立的 对于动力学问题应用达朗伯尔原理，将质点惯性力作用在各质点上，使动力学问题转化为静力平衡问题，从而将虚功原理推广到动力学问题。相应的虚功方程表达式变为动力学普遍方程：上述方程的物理意义：作用在具有理想约束系统上的所有主动力和惯性力在任意瞬时在虚位移上的虚功之和为零。（1）式中的第一项，为主动力虚功，表示为广义坐标形式：kkmr r rr()0kkkkkm FrrFrrFrr

39、Frr 1nkkiikiQ qFrFrFrFr（1）式中的第二项为惯性力虚功，可以表示成广义坐标形式将（2）（3）式代入（1）式：因为广义虚位移q q qqi i i i 都是独立的，可以任意选取，为使（4）式成立，必须有：1()()nk kkikiiidEEmqdtqq rrrrrrrr 1()0niiiiidEEQqdtqq)()(iiiiiidEEQindtqqordEEQindtqq 拉格朗日方程：（n n nn个二阶常微分方程所组成的方程组）式中：q q qqi i ii第i i ii个广义坐标 Q Q Q Qi i ii 对应广义坐标 q q qqi i i i 的广义力 E E

40、EE 系统总的动能当系统为保守系统，即主动力为有势力时若引入拉格朗日函数（动势）表示系统动能E E EE与势能V V VV的差，动势用L L LL表示，即：L=E-VL=E-VL=E-VL=E-V()iiidEEQindtqq()()5iiiiiVQqdEEVindtqqq 因为势能与广义速度无关，对于 保守系统的拉格朗日方程（5）可写为：当系统除受到有势力作用外，还受到其他非有势力的作用，将非有势力的虚功记为：对应于非有势力的广义力用动势表示的非保守系统的拉格朗日方程：拉格朗日方程是解决具有理想约束的机械系统动力学问题的普遍方程 ()iidLLindtqq 1niiiWQ qiQ()iiid

41、LLindtqqQ拉格朗日方程的几点说明1.拉格朗日方程通过系统的动能 E E EE,势能 V V V V 和功 W W W W 之间的标量关系来表示系统的运动规律2.拉格朗日方程是广义坐标 q q qqi i i i 以时间 t t t t 为自变量的 n n n n 个二阶常微分方程组3.利用拉格朗日方程建立的系统运动方程的主要优点是方程中不出现未知的理想约束反力应用拉格朗日方程建立系统运动方程的步骤1.判断系统的自由度，适当选取广义坐标来表示系统的运动状态；2.计算系统的动能 E E EE,通过整理得到用广义坐标和广义速度来表示的动能表达式；3.当主动力是有势力，建立用广义坐标来表示的势

42、能 V V VV的表达式；对非有势力，计算对应于各广义坐标 q q qqi i i i 的广义力 对非理想约束条件下的约束反力（摩擦力等）可按非有势力方法处理；4.将求得的E E EE、V V V V、和 代入相应的拉格朗日方程，简化得到系统的运动微分方程。iQiQ广义力计算方法总结：()kkkkkkiiiixyzXYZinqqqQ (=1,2,.,)()kkkkkikikikiixyzVVVxqyqzqinQVq =-(=1,2,.,)FiiWQq 1122FWqQQq1122QQPqq 例3-2 使用拉格朗日方程推导双摆的运动方程。设双摆由质量m m mm1 1 11和m m mm2 2

43、22通过长l l ll1 1 11及l l ll2 2 22的无重杆铰接而成。解：1）系统为二自由度系统，取 为广义坐标，即 2）计算系统的动能 式中 vA A AA定轴转动杆件OAOAOAOA端点A A AA的速度 vB B BB平面运动杆件ABABABAB端点B B BB的速度 vA A AA vB B BB的关系为：vB B BB=vA A AA+vABABABAB12,1122,qq22121122ABEm vm v根据速度矢量图有：系统的动能：3）计算系统的势能及广义力 系统为保守系统，取位置 作为零势能位置，任意位置的系统势能以及由势能求到的广义力为：1 12222211221 2

44、 1 2212cos()ABvlvlll l 222212112 1 2 1 2212 2211()cos()22Emm lm l lm l 12011121122121122211211122222(1 cos)(1 cos)(1 cos)()(1 cos)(1 cos)()sin sinVm glm g llmm glm glVQmm glVQm gl 4.二自由度系统的拉格朗日方程为：方程中各项计算111222()()dEEQdtdEEQdt2 1 2 1 2211212112 1 22211212112 1 222112 1 222121sin()()cos()()()cos()()s

45、in()Em l lEmm lm l ldEmm lm l ldtm l l 将上述结果（包括Q Q QQ1 1 11,Q Q QQ2 2 22)代入拉格朗日方程，经整理：考虑双摆作微幅振动 忽略不计，上式简化为：2 1 2 1 221222 1 2 1212 22222 1 2 121212 2222 1 2 121sin()cos()()()sin()cos()Em l lEm l lm ldEm l lm ldtm l l 2121 12 1 22122 1 22121211222 1 22112 222 1 2211()cos()sin()()sin0cos()sin()mm lm l

46、lm llmm glm llm lm ll 222 sin0m gl2co1i,s ns微幅振动线性微分方程组：121 12 1 22121 122 1 2 12 22222()()00mm lm l lmm glm l lm lm gl例3-2*图示为一均匀圆柱体沿水平面直线轨道作无滑动滚动，一均匀刚性杆，长3r r rr、质量m m mm,以光滑铰链与圆柱体的中心连接，圆柱体质量为m m mm，使用拉氏方程建立系统的振动微分方程：解：该系统为二自由度系统，取圆柱 体质心A A AA的水平位移x x xx及ABABABAB杆的角 位移为系统的广义坐标。圆柱体质心的速度:圆柱体绕质心转动的角速

47、度：刚性杆的质心速度v v vv2 2 22:刚性杆绕质心轴转动的角速度 vx/x r22233()2()cos22vxrxr任一瞬时t t tt，系统的动能：设系统在平衡位置时的势能为零，图示位置势能为：拉氏函数：222222211 1133()()()2()cos22 222211(3)2 12xEmxmrm xrxrrmr3(1 cos)2Vmgr222222211 1()()22 2133()2()cos222113(3)(1 cos)2 122xLEVmxmrrm xrxrmrmgr将上式代入拉氏方程：系统的振动微分方程：为振动时：略去 可得：()0()0dLLdtxxdLLdt25

48、3cos3sin02sin0 xrrxrgsin,cos123sinr53020 xrxrg3-5二自由度机械系统动力学方程 以平面机构为例建立二自由度机械系统运动微分方程的一般方法 二自由度系统需要有二个主动件才能使所有的构件有确定的运动。若选取这二个主动件的广义坐标为q1,q2,（它们可以是主动件的线位移或角位移）。则二自由度系统的拉格朗日方程：111222()()dEEQdtqqdEEQdtqq 为了利用拉氏方程来建立系统的运动微分方程首先需要根据系统的具体条件计算出系统的动能 E，势能 V 和广义力 Q1，Q2。为了简化分析，假设构件的重力可忽略，且系统无其他有势力，这样系统的势能 V

49、 可不计算。一、系统动能的确定 平面运动构件的动能 构件 j 的质心 s s ssj j j j 的速度 v v vvsj sj sjsj 其角速度为 ，质量 m m mmj j jj 绕质心 s s ssj j j j 的转动惯量 J J JJj j jj 构件 j 的动能：具有N N NN个运动构件的平面机构的动能：j221122jjsjjjEm vJ 2211()2NjsjjjjEm vJ (1)构件质心速度、角速度计算：1 位移分析：通过对各构件几何位置关分析系，各运动构件的角位移 和构件上有关的点 k k kk(质点的质心或外力作用点）的坐标用广义坐标q q qq1 1 11,q,q

50、,q,q2 2 22表示：2 速度分析：将 及 x x xxk k kk,y y yyk k k k 对时间求导：j 121212(,)2(,)(3)(,)jjkkkkq qxx q qyy q qj121212121212(,)(4)(,)(5)(,)jjkkkkq q q qxx q q q qyyq q q q各质心 s s ssj j j j 的速度：当 x x xxsj sj sjsj,y,y,y,ysj sj sjsj,为广义坐标的函数的表达式为已知时：22sjsjsjvxyjN (=1,2,.,)j 121212121212 6 (7)sjsjsjsjsjsjjjjxxxqqqq