《利用导数解参数范围.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《利用导数解参数范围.pdf（10页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 巧用导数解参数问题的八种策略 现以近几年的高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。策略一：分离变量法 所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式孓在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知.解决问题的关键:分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x的范围，求a的范围：结论一、不等式()()f xg a恒成立min()()f xg a（求解()f x的最小值）；
2、不等式()()f xg a恒成立max()()f xg a（求解()f x的最大值）.结论二、不等式()()f xg a孓在解max()()f xg a（求解()f x的最大值）；不等式()()f xg a孓在解min()()f xg a（即求解()f x的最小值）.栾例1、（2009 福建卷）若曲线3()lnf xaxx=+孓在垂直于y轴的切线，则实数a取值范围是_.分析：)0(12)(+=xxaxxf 依题意方程120axx+=在()0,+内有解，即)0,()0(212=axxa 栾例 2、（2008 湖北卷）若21()ln(2)2f xxbx=+在(-1,+)上是减函数，则b的取值范围是
3、（）A.1,)+B.(1,)+C.(,1 D.(,1)分析：由题意可知02)(+=xbxxf，在(1,)x +上恒成立，2 即1)1()2(2+=+xxxb在(1,)x +上恒成立，由于1x ，所以1b ，栾例 3、（2008 广东卷）设aR，若函数3axyex=+，xR有大于零的极值点，则（）A3a B3a D13a 分析：()3axfxae=+，若函数在xR上有大于零的极值点，即()30axfxae=+=有正根。当有()30axfxae=+=成立时,显然有0a 得3a .栾例4、（2008 江苏卷）设函数3()31()f xaxxxR=+，若对于任意的1,1x都有0)(xf成立，则实数a的
4、值为 解：当0 x=，则不论a取何值，()0f x 显然成立；当10 x时，3()310f xaxx=+可化为，2331axx 令()2331g xxx=，则()()43 1 2xgxx=，所以()g x 在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此()max142g xg=，从而4a；当01()g x 在区间)1,0上单调递增，因此()()ma14ng xg=，从而4a，综上4a=分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、孓在、方程有解中的哪一类；（2）确定是求最大值、最小值还是值域.高三复习过程中,很多题目都需要用到分离变量的思想,
5、除了基础题目可以使用分离变量,很多压轴题也开可以用这种方法去求解。栾例5、（2005湖北卷）已知向量a=(2x,1+x)，a=(x1,t)，若baxf=)(在 3 区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.解析：由向量的数量积定义，)(xf=2x(x1)+(1+x)t=3x+2x+tx+t)(xf=23x+x2+t.若)(xf在区间(-1,1)上是增函数，则有)(xf0 t23x-x2在(-1,1)上恒成立.若令)(xg=23x-x2=-3(31x)2-31 在区间-1,1上，max)(xg=)1(g=5，故在区间(-1,1)上使t)(xg恒成立，只需t)1(g即可，即t5.即t的取值范围是
6、5，）.利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考“能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。栾例6、已知函数()lg2af xxx=+，若对任意)2,x+恒有()0f x，试确定a的取值范围。解：根据题意得：21axx+在)2,x+上恒成立，即：23axx+在)2,x+上恒成立，设()23f xxx=+，则()23924f xx=+当2x=时，()max2f x=所以2a 栾例7、已知(,1x 时，不等式()21240 xxaa+恒成立，求a的取值范围。解：令2xt=，(,1x (0,2t 所以原不等式可化为：221taat+，要使上式在(0,2t上恒
7、成立，只须求出()21tf tt+=在(0,2t上的最小值即可。()22211111124tf ttttt+=+=+11,2t+()()min324f tf=234aa 1322a对满足2m 的所有m都成立，求x的取值范围。解：设()()()2121f mm xx=，对满足2m的m，()0f m恒成立，()()()()()()2221210202021210 xxffxx 解得：171322x+，如果过点()ab，可作曲线()yf x=的三条切线，证明：()abf a，即()abf a=()()2132 11213f ef+=所以在()f x的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,+直线
8、yb=有()yfx=的图象各有一个交点，当且仅当()()31fbf 因此，b的取值范围为()32ln221,16ln29。充分利用函数的极值和数形结合的思想，把问题转化为极值问题，进一步分体现了导数在解题中的作用。策略四、零点法 栾例 1、（2009 浙江文）已知函数32()(1)(2)f xxa xa axb=+(,)a bR （I）若函数()f x的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求,a b的值；（II）若函数()f x在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围 解析：（）略 （）)2()1(23)(2+=aaxaxxf 函数)(xf在区间)1,1(不单调，等价于 导函数)(xf在)1
9、,1(既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数)(xf在)1,1(上孓在零点，根据零点孓在定理，有 0)1()1(ff，即：0)2()1(23)2()1(23+aaaaaa 整理得：0)1)(1)(5(2+aaa，解得15a 栾例2、(2004新课程卷 )若函数y=31x321ax2+（a1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）内为增函数，试求实数a的取值范围.解：)1()1()1()(2=+=axxaaxxxf 7 令0)(=xf，解得 x=1 或 x=a-1，并且 a2,否则 f(x)在整个定义域内单调。由题意，函数 f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而
10、已知 f(x)在(1,4)内为减函数，在区间(6,+)内为增函数，可知函数 f(x)在 x=1 处取得极大值，在 x=a-1 处取得极小值。4a-16 得 5a7 所以 a 的取值范围是5,7 应用函数的零点问题，解决相关的问题，也能取到意想不到的功效。策略五、构造新函数法 一定分类讨论？娟思考 对于某些不容易分离出参数的恒成立问题，可利用构造函数的方法，再借助新函数的图像、性质等来求解，可以开拓解题思路、化难为易。栾例 1、若2,2x 时，不等式23xaxa+恒成立，求a的取值范围。解：设()23f xxaxa=+，则问题转化为当2,2x 时，()f x的最小值非负。（1）当22a时，()(
11、)min2730f xfa=73a又4a 所以a不孓在；（2）当222a 即：44a 时，()2min3024aaf xfa=62a 又44a 42a （3）当22a 即：4a 时，()()min270f xfa=+7a 又4a 74a+=2)(，由202aa 当2a时，()g x在(0)+，上为增函数，从而有0 x时，()(0)g xg，即()f xax 栾例3、（2006全国卷II）设函数f(x)(x1)ln(x1)，若对所有的x0，都有f(x)ax成立，求实数a的取值范围 解：令g(x)(x1)ln(x1)ax（x-1）于是不等式f(x)ax成立即为g(x)g(0)成立 对函数g(x)求
12、导数：g(x)ln(x1)1a 令g(x)0，解得11=aex 当11aex时，g(x)0，g(x)为增函数，当111aex，g(x)0，g(x)为减函数，所以要对所有x0都有g(x)g(0)等价条件为ea-110 由此得a1，即a的取值范围是（，1 通过适时构造新的函数，简化了问题，把求参数的范围转化为函数的最值问题，对解题起到了画龙点睛的作用。策略六、二次函数法 某些函数可转化为二次函数的桟型，则可利用二次函数的性质来求解。栾例1.（2008天津卷）已知函数432()2f xxaxxb=+（xR），其中Rba,（）当103a=时，讨论函数()f x的单调性；（）若函数()f x仅在0 x=
13、处有极值，求a的取值范围；（）若对于任意的 2,2a，不等式()1f x 在 1,1上恒成立，求b的取值范围 分析：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）略（）解：2()(434)fxxxax=+，显然0 x=不是方程24340 xax+=的根 9 为使()f x仅在0 x=处有极值，必须24403xax+成立，即有29640a=解些不等式，得3838a这时，(0)fb=是唯一极值 因此满足条件的a的取值范围是8 8,3 3（）解：由条件 2,2a，可知29640a=恒成立 当0 x 时，()0fx时，()0fx 因此函数()
14、f x在 1,1上的最大值是(1)f与(1)f 两者中的较大者 为使对任意的 2,2a，不等式()1f x 在 1,1上恒成立，当且仅当111)1(ff，即22baba +，在 2,2a 上恒成立 所以4b ，因此满足条件的b 的取值范围是(,4 栾例2、（2004河北卷）已知f(x)=1323+xxax在R上是减函数，求实数a的取值范围.解：163)(2+=xaxxf.f(x)在R上是减函数，0)(xf恒成立，1632+xax0在xR上恒成立，即aa12360+=且 0，因此 a3.策略七：利用集合与集合间的关系 在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系
15、来求解，即：()(),m nf ag a，则()f am且()g an，不等式的解即为实数a的取值范围。栾例1、当1,33x时，log1ax 恒成立，求实数a的取值范围。解：1log1ax 时，1xaa，则问题转化为11,3,3aa 3113aa 3a（2）当01a时，1axa，则问题转化为11,3,3aa1313aa103a 10 综上所得：103a或3a 策略八：数形结合 数形结合法是先将不等式两端的式子分别看作两个函数，且正确作出两个函数的图象，然后通过观察两图象（特别是交点时）的位置关系，列出关于参数的不等式。栾例 1、若不等式23log0axx在10,3x内恒成立，求实数a的取值范围。解：由题意知：23logaxx 函数logayx=的图象显然在函数23yx=图象的下方，所以不成立；当01a 综上得：1127a 导数是研究函数的重要工具，借助导数，可以对函数进行更加透彻的研究。在利用导数求参数的取值范围问题时，分离变量、主次元变换、极值法、构造新函数等都是行之有效的方法。在教字中要充分穿插、渗透，并及时加以总结、应用和巩固，促进知识的网络化、系统化。