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1、 第四章第一节 数学期望 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，的概率分布，那么那么X的全部概率特征也就知道了的全部概率特征也就知道了.然而，在实际问题中，概率分布一般是较然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的难确定的.而在一些实际应用中，人们并不需而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了的某些数字特征就够了.因此，在对随机变量的研究中，确定某些因此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的数字
2、特征是重要的.其中最常用的是其中最常用的是期望期望和和方差方差一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望 概念的引入：概念的引入：某车间对工人的生产情况某车间对工人的生产情况进行考察进行考察.车工小张每天生产车工小张每天生产的废品数的废品数X是一个随机变量是一个随机变量.如如何定义何定义X的平均值呢？的平均值呢？我们来看这个问题我们来看这个问题.若统计若统计100天天,例例1 某车间对工人的生产情况进行考察某车间对工人的生产情况进行考察.车工车工小张每天生产的废品数小张每天生产的废品数X是一个随机变量是一个随机变量.如如何定义何定义X的平均值呢？的平均值呢？32天没有出废品天没有
3、出废品;30天每天出一件废品天每天出一件废品;17天每天出两件废品天每天出两件废品;21天每天出三件废品天每天出三件废品;可以得到这可以得到这100天中天中 每天的平均废品数为每天的平均废品数为这个数能否作为这个数能否作为X的平均值呢？的平均值呢？可以想象，若另外统计可以想象，若另外统计100天，车工小张不天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的前面的100天一般不会完全相同，这另外天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品天没有出废品;n1天每天出一件废品天每天出一
4、件废品;n2天每天出两件废品天每天出两件废品;n3天每天出三件废品天每天出三件废品.可以得到可以得到n天中每天的平均废品数为天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出假定小张每天至多出三件废品三件废品)一般来说一般来说,若统计若统计n天天,这是这是以频率为权的加权平均以频率为权的加权平均由频率和概率的关系由频率和概率的关系 不难想到，在求废品数不难想到，在求废品数X的平均值时，用的平均值时，用概率代替概率代替频率频率，得平均值为，得平均值为这是这是以概率为权的加权平均以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数这样得到一个确定的数.我们就用这个数作我们就用这个数作为随机变量为随机变量X的平均值的平
5、均值.定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的概率分布是离散型随机变量，它的概率分布是是:PX=Xk=pk,k=1,2,也就是说也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和绝对收敛的级数的和.如果如果有限有限,定义定义X的数学期望的数学期望 两点分布两点分布 X X B(1,p),B(1,p),0p0p11 PX=1=p,PX=0=1-p PX=1=p,PX=0=1-p E(X)=1 E(X)=1 p+0p+0(1-p)=p(1-p)=p 常见常见离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望 二项分布二项分布 X X B(n,p)B(n,p)，其
6、中其中0p0p10,0,则则E(X)=E(X)=二、连续型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望 设设X是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为f(x),在数轴上取很密的分点在数轴上取很密的分点x0 x1x2,则则X落在小区间落在小区间xi,xi+1)的概率是的概率是小区间小区间xi,xi+1)阴影面积阴影面积近似为近似为小区间小区间Xi,Xi+1)由于由于xi与与xi+1很接近很接近,所以区间所以区间xi,xi+1)中的值可以用中的值可以用xi来近似代替来近似代替.这正是这正是的渐近和式的渐近和式.阴影面积阴影面积近似为近似为近似近似,因此因此X与以概率与以概率取
7、值取值xi的离散型的离散型r.v 该离散型该离散型r.v 的数的数学期望学期望是是由此启发我们引进如下定义由此启发我们引进如下定义.定义定义2 设设X是连续型随机变量，其密度函数是连续型随机变量，其密度函数 为为 f(x),如果如果有限有限,定义定义X的数学期望的数学期望为为也就是说也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分绝对收敛的积分.若若XUa,b,即即X服从服从a,b上的均匀分布上的均匀分布,则则若若X服从服从若若X服从参数为服从参数为由随机变量数学期望的定义，不难计算得：由随机变量数学期望的定义，不难计算得：这意味着，若从该地区抽查很多个成这
8、意味着，若从该地区抽查很多个成年男子，分别测量他们的身高，那么，这年男子，分别测量他们的身高，那么，这些身高的平均值近似是些身高的平均值近似是1.68.已知某地区成年男子身高已知某地区成年男子身高X三、随机变量函数的数学期望三、随机变量函数的数学期望 1.问题的提出：问题的提出：设已知随机变量设已知随机变量X的分布，我们需要计的分布，我们需要计算的不是算的不是X的期望，而是的期望，而是X的某个函数的期的某个函数的期望，比如说望，比如说g(X)的期望的期望.那么应该如何计算那么应该如何计算呢？呢？如何计算随机变量函数的数学期望如何计算随机变量函数的数学期望?一种方法是，因为一种方法是，因为g(X
9、)也是随机变量，也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来的分布求出来.一旦我们知道了一旦我们知道了g(X)的分布，的分布，就可以按照期望的定义把就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来计算出来.使用这种方法必须先求出随机变量函数使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的的分布，一般是比较复杂的.那么是否可以不先求那么是否可以不先求g(X)的分布而只的分布而只根据根据X的分布求得的分布求得Eg(X)呢？呢？下面的基本公式指出，答案是肯定的下面的基本公式指出，答案是肯定的.类似引入上述类似引入上述E(X)的推理，可
10、得如下的的推理，可得如下的基本公式基本公式:设设X是一个随机变量，是一个随机变量，Y=g(X)，则，则 当当X为离散型时为离散型时,P(X=xk)=pk;当当X为连续型时为连续型时,X的密度函数为的密度函数为f(x).该公式的重要性在于该公式的重要性在于:当我们求当我们求Eg(X)时时,不必知道不必知道g(X)的分布，而只需知道的分布，而只需知道X的的分布就可以了分布就可以了.这给求随机变量函数的期这给求随机变量函数的期望带来很大方便望带来很大方便.XN(0,1)求:E(X2)解:例 3 设设:国际市场上对我国某种出口商品的国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量每年需求量是随机变量
11、X(X(单位单位:吨吨).X).X服从区服从区间间2000,40002000,4000上的均匀分布上的均匀分布.每销售出一吨商每销售出一吨商品品,可为国家赚取外汇可为国家赚取外汇3 3万元万元;若销售不出若销售不出,则则每吨商品需贮存费每吨商品需贮存费1 1万元万元.求求:应组织多少货源应组织多少货源,才能使国家收益最大才能使国家收益最大?例例 4.4.设组织货源设组织货源t t吨吨.显然应要求显然应要求2000 2000 t t 4000.4000.国家收益国家收益Y(Y(单位单位:万元万元)是是X X的函数的函数Y=g(X).Y=g(X).表达式为表达式为:解解由已知条件由已知条件,X,X
12、的概率密度函数为的概率密度函数为可可算得算得当当t=3500t=3500时时,E(Y)=-2t E(Y)=-2t2 2+14000t-8000000+14000t-8000000达到达到最大，最大，因此，应组织因此，应组织35003500吨货源吨货源.J 说明说明前面我们给出了求前面我们给出了求g(X)g(X)的期望的方法的期望的方法.实际上定理的结论可以原封不动地实际上定理的结论可以原封不动地推广到两个随机变量函数推广到两个随机变量函数Z=g(X,Y)Z=g(X,Y)的情的情形形.设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为 p pijij i=1,2,i
13、=1,2,;j=1,2,j=1,2,.则则:设二维连续型随机向量设二维连续型随机向量(X,Y)(X,Y)的密度函数为的密度函数为f(x,y),f(x,y),则则:设二维离散型随机向量设二维离散型随机向量(X,Y)(X,Y)的的概率分布如下表所示概率分布如下表所示,求求:Z=X:Z=X2 2+Y+Y的期望的期望.E(Z)=g(1,1)E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.125+g(1,2)0.250.25 +g(2,1)+g(2,1)0.5+g(2,2)0.5+g(2,2)0.1250.125解解:例例5 5=4.25 设随机变量设随机变量X X和和Y Y相互独立相互独立,概率密度
14、函概率密度函数分别为数分别为求求:E(XY):E(XY)解解:G(X,Y)=XY,XG(X,Y)=XY,X和和Y Y相互独立相互独立.例例6四、数学期望的性质四、数学期望的性质 1.设设C是常数，则是常数，则E(C)=C;4.设设X、Y独立，则独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);2.若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X);3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);（诸（诸Xi独立时）独立时）注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立五、数学期望性质的应用五、数学期望性质的应用例例7 求二项分布的数学期望求二项分布的数学期望若若 XB(n,
15、p)，则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.现在我们来求现在我们来求X的数学期望的数学期望.可见，服从参数为可见，服从参数为n和和p的二项分布的随的二项分布的随机变量机变量X的数学期望是的数学期望是np.XB(n,p),若设若设则则 X=X1+X2+Xn=npi=1,2，n因为因为 PXi=1=p,PXi=0=1-p所以所以 E(X)=则则X表示表示n重贝努里试验中的重贝努里试验中的“成功成功”次数次数.E(Xi)=p例例8 将将n n个球放入个球放入M M个盒子中个盒子中,设每个球落入各设每个球落入各个盒子是等可能的个盒子是等可能的,求有球的盒子数求有球的盒子
16、数X X的期望的期望.解解:引入随机变量引入随机变量:则则X=XX=X1 1+X+X2 2+X+XM M,于是于是E(X)=E(XE(X)=E(X1 1)+E(X)+E(X2 2)+E(X)+E(XM M).).每个随机变量每个随机变量X Xi i都服从两点分布都服从两点分布,i=1,2,M.,i=1,2,M.每个球落入每个盒子是等可能的均为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M,1/M,对第对第i i个盒子个盒子,一个球不落入这个盒子内的概一个球不落入这个盒子内的概 率为率为(1-1/M).(1-1/M).故故N N个球都不落入这个盒子内的个球都不落入这个盒子内的概率为概率为(1-1/M)(1-1/M)n n,即即:小结：小结：这一讲，我们介绍了随机变量的数这一讲，我们介绍了随机变量的数学期望，它反映了随机变量取值的平均水学期望，它反映了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征平，是随机变量的一个重要的数字特征.接下来的一讲中，我们将向大家介绍接下来的一讲中，我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征：随机变量另一个重要的数字特征：方差方差