概率论与数理统计课件.ppt

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1、关于概率关于概率论与数理与数理统计1第1页，此课件共83页哦问题的提出：在一些实际问题中，我们需要了解随机变量的分布函数外，更关心的是随机变量的某些特征。例：在评定某地区粮食产量的水平时，最关心的 是平均产量；在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的 平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的 偏离程度；考察临沂市区居民的家庭收入情况，我们既知 家庭的年平均收入，又要研究贫富之间的差异 程度；第2页，此课件共83页哦1 数学期望 例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的成绩 如下：评定他们的成绩好坏。甲次数1080108910乙次数2065158910 解：计算甲的平均成绩：计算乙

2、的平均成绩：所以甲的成绩好于乙的成绩。第3页，此课件共83页哦定义：定义：数学期望简称期望，又称均值。数学期望简称期望，又称均值。第4页，此课件共83页哦 例2：有2个相互独立工作的电子装置，它们的寿命服从同一指数分布，其概率密度为：若将这2个电子装置串联联接组成整机，求整机寿命N(以小时计)的数学期望。解：是指数分布的密度函数问题：将2个电子装置并联联接组成整机，整机的平均寿命又该如何计算？根据N的概率密度fmin(x),可得到E(N).第5页，此课件共83页哦 例3：设有10个同种电子元件，其中2个废品。装配仪器 时，从这10个中任取1个，若是废品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出

3、的废品数X的期望。解：X的分布律为：第6页，此课件共83页哦 例4：设一台机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生 故障时全天停工。若一周5个工作日里无故障，可获 利10万元；发生一次故障获利5万元；发生2次故障 获利0元，发生3次或以上故障亏损2万元，求一周内 期望利润是多少？解：设X表示一周5天内机器发生故障天数，设Y表示一周内所获利润，则第7页，此课件共83页哦 例例5 5：第8页，此课件共83页哦例例6 6：第9页，此课件共83页哦10几种重要分布的数学期望几种重要分布的数学期望第10页，此课件共83页哦 第11页，此课件共83页哦 第12页，此课件共83页哦 例7：已知某零件的横截

4、面是个圆，对横截面的直径X进 行测量，其值在区间（1，2）上均匀分布，求横截 面面积S的数学期望。第13页，此课件共83页哦 例8：第14页，此课件共83页哦 例例9 9：设随机变量：设随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：X=1第15页，此课件共83页哦 第16页，此课件共83页哦数学期望的特性：这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况第17页，此课件共83页哦证明：下面仅对连续型随机变量给予证明：第18页，此课件共83页哦19第19页，此课件共83页哦20第20页，此课件共83页哦 例例1111：一民航送客车载有一民航送客车载有2020位旅客自机场出发，旅客有位

5、旅客自机场出发，旅客有1010 个车个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就 不停车，以不停车，以X X表示停表示停车的次数，求车的次数，求 (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅 客客是否下车相互独立是否下车相互独立)本题是将本题是将X X分解成数个随机变量之和，然后利用随机变分解成数个随机变量之和，然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。期望，这种处理方法具有一定的普遍意义。解：引入随机变量：

6、第21页，此课件共83页哦 例12：第22页，此课件共83页哦23总结数学期望的计算方法总结数学期望的计算方法数学期望的定义数学期望的定义数学期望的性质数学期望的性质随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望例例11的方法：的方法：“X分解成数个随机变量之分解成数个随机变量之和，利用和，利用E(X)=E(X1+X2+Xn)=E(X1)+E(X2)+E(Xn)”根据题型，以上方法可能独立使用，也根据题型，以上方法可能独立使用，也可能结合使用。可能结合使用。第23页，此课件共83页哦24定义：定义：数学期望简称期望，又称均值。数学期望简称期望，又称均值。第24页，此课件共83页哦25 第25页，

7、此课件共83页哦26几种重要分布的数学期望几种重要分布的数学期望第26页，此课件共83页哦27数学期望的特性：这一性质可以推广到任意有限个随机变量线性组合的情况第27页，此课件共83页哦2 方差设有一批灯泡寿命为：一半约950小时，另一半约1050小时平均寿命为1000小时；另一批灯泡寿命为：一半约1300小时，另一半约700小时平均寿命为1000小时；问题：哪批灯泡的质量更好？(质量更稳定)单从平均寿命这一指标无法判断，进一步考察灯泡寿命X与均值1000小时的偏离程度。第28页，此课件共83页哦29我们需要引进一个量来描述我们需要引进一个量来描述r.v.X的取值分散程度，的取值分散程度，即即

8、X的取值与的取值与E(X)的偏离程度的偏离程度偏离的度量：偏离的度量：平均偏离：平均偏离：绝对值（不好研究）绝对值（不好研究）第29页，此课件共83页哦30但是，绝对值（大但是，绝对值（大）平方（大平方（大)所以我们研究所以我们研究方差方差定义定义设设X是一随机变量，是一随机变量，为标准差或均方差。为标准差或均方差。存在，则称之为存在，则称之为X的方差。记为的方差。记为D(X)或或Var(X)，即即方差实际上是一个特殊的函数方差实际上是一个特殊的函数 g(X)=(X-E(X)2 的期望的期望第30页，此课件共83页哦对于离散型离散型随机变量X，对于连续型连续型随机变量X，此外，利用数学期望的性

9、质，可得方差得计算公式(常用)：第31页，此课件共83页哦 例例1 1：设随机变量：设随机变量X X具有数学期望具有数学期望第32页，此课件共83页哦 例例2 2：设随机变量：设随机变量X X具有具有0-10-1分布，其分布律为：分布，其分布律为：解：解：第33页，此课件共83页哦 例例3 3：解：解：第34页，此课件共83页哦 例4：解：X的概率密度为：第35页，此课件共83页哦 例5：设随机变量X服从指数分布，其概率密度为：即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数即对指数分布而言，方差是均值的平方，而均值恰为参数第36页，此课件共83页哦方差的性质：第37页，此课件共83页哦证明

10、证明：第38页，此课件共83页哦39X与与Y相互独立：已知相互独立：已知EX=3；DX=1；EY=2；DY=3。E(X-2Y)；D(X-2Y)。解：由数学期望和方差的性质解：由数学期望和方差的性质第39页，此课件共83页哦 例6：Xkpk011-pp第40页，此课件共83页哦 例7：解：第41页，此课件共83页哦第42页，此课件共83页哦例例8 8：设活塞的直径：设活塞的直径(以以cmcm计计)汽缸的直径汽缸的直径 X,YX,Y相互独相互独 立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活立，任取一只活塞，任取一只汽缸，求活 塞能装入汽缸的概率。塞能装入汽缸的概率。第43页，此课件共83页哦表表1 1 几

11、种常见分布的均值与方差几种常见分布的均值与方差数学期望 方差 分布率或 密度函数 分布01分布 p p(1-p)二项分布b(n,p)npnp(1-p)泊松分布 均匀分布U(a,b)指数分布正态分布第44页，此课件共83页哦45几个与期望及方差有关的练习题几个与期望及方差有关的练习题1、设、设X的数学期望的数学期望E(X)=2,方差方差D(X)=4,则则E(X2)=；2、设、设X B(n,p),已知已知E(X)=1.6,D(X)=1.28,则则 n=;P=;3、设、设X P()，且，且P(X=1)=P(X=2),则则E(X)=,D(X)=;第45页，此课件共83页哦46总结方差的计算方法总结方差

12、的计算方法定义法：函数的数学期望定义法：函数的数学期望方差的性质方差的性质常用公式：常用公式：D(X)=E(X2)-E(X)2X分解成数个相互独立的随机变量之和，分解成数个相互独立的随机变量之和，利用利用D(X)=D(X1+X2+Xn)=D(X1)+D(X2)+D(Xn)”根据题型，以上方法可能独立使用，也根据题型，以上方法可能独立使用，也可能结合使用。可能结合使用。第46页，此课件共83页哦47作业题作业题P94：1，7第47页，此课件共83页哦3 协方差及相关系数 对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。定义

13、：第48页，此课件共83页哦49协方差的计算协方差的计算证证(2):(2):注注:X,Y相互独立相互独立 第49页，此课件共83页哦协方差的性质：思考题：思考题：第50页，此课件共83页哦51证明证明4)4)：利用利用第51页，此课件共83页哦55例例2：设设(X,Y)的概率密度为：的概率密度为：第55页，此课件共83页哦56XY11D0第56页，此课件共83页哦57第57页，此课件共83页哦58相关系数的性质相关系数的性质线性关系线性关系第58页，此课件共83页哦59证明（证明（1）第59页，此课件共83页哦60第60页，此课件共83页哦61相关系数的意义相关系数的意义 相关系数是描述了相关

14、系数是描述了X与与Y线性相关程度线性相关程度X,Y不相关不相关(弱弱)X,Y相互独立相互独立(强强)(没有线性关系）没有线性关系）(没有任何关系）没有任何关系）可能会有别的关系，如可能会有别的关系，如二次关系。二次关系。第61页，此课件共83页哦62复习公式复习公式第62页，此课件共83页哦63实用的相关系数计算公式实用的相关系数计算公式第63页，此课件共83页哦64第64页，此课件共83页哦65Variable 1Variable 2Data Correlations第65页，此课件共83页哦66Variable 1Variable 2Data Correlations第66页，此课件共83

15、页哦67Variable 1Variable 2Data Correlations%Compute sample correlationr=corrcoef(var1,var2)第67页，此课件共83页哦68Variable 1Variable 2Data Correlations%Compute sample correlationr=corrcoef(var1,var2)r=1.0000 0.7051 0.7051 1.0000第68页，此课件共83页哦69练习题练习题计算文档计算文档testdata2.txt中数据的相关系数中数据的相关系数步骤：步骤：1、用、用textread函数读取文

16、档testdata2.txt中的数据 2、用corrcoef函数计算读取的两个随机变量数据的相关系数第69页，此课件共83页哦70Solution%read datavar1,var2=textread(testdata2.txt,%f%f,headerlines,1)%Compute sample correlation r=corrcoef(var1,var2)%Plot data pointsfigure(1)plot(var1,var2,ro)Variable 2Variable 1第70页，此课件共83页哦71程序运行结果程序运行结果r=1.000000000000000.59479

17、2457879950.594792457879951.00000000000000所以相关系数等于：所以相关系数等于：0.59479245787995第71页，此课件共83页哦72相关系数等于：相关系数等于：0.59479245787995第72页，此课件共83页哦73应用应用1：缺陷检测：缺陷检测第73页，此课件共83页哦 例1：设X,Y服从同一分布，其分布律为：X -1 0 1 P 1/4 1/2 1/4 已知P(|X|=|Y|)=0,判断X和Y是否不相关？是否 不独立？第74页，此课件共83页哦第75页，此课件共83页哦续例例 2第76页，此课件共83页哦续第77页，此课件共83页哦第78页，此课件共83页哦 例3：设X,Y相互独立服从同一分布，记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U与V是否一 定不相关，是否一定独立？第79页，此课件共83页哦4 矩、协方差矩阵 显然，数学期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩，显然，数学期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩，协方差是二阶混合中心矩。协方差是二阶混合中心矩。第80页，此课件共83页哦第81页，此课件共83页哦82n维正态变量具有以下四条重要性质：第82页，此课件共83页哦15.10.2022感感谢谢大大家家观观看看第83页，此课件共83页哦