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1、7.1 7.1 概述概述一、多目标优化及数学模型一、多目标优化及数学模型单目标最优化方法单目标最优化方法多目标最优化方法多目标最优化方法多目标优化的实例：多目标优化的实例：物美价廉物美价廉设计车床齿轮变速箱时，要求：设计车床齿轮变速箱时，要求：7.1 7.1 概述（续）概述（续）各齿轮体积总和各齿轮体积总和尽可能小尽可能小降低成本降低成本 各传动轴间的中心距总和各传动轴间的中心距总和使变速箱结构紧凑。使变速箱结构紧凑。合理选用材料合理选用材料使总成本使总成本尽可能小。尽可能小。尽可能小。尽可能小。尽可能小尽可能小 传动效率尽可能高传动效率尽可能高机械耗损率机械耗损率 在优化设计中同时要求几项指
2、标达到最优值的在优化设计中同时要求几项指标达到最优值的问题称为多目标优化设计问题问题称为多目标优化设计问题。7.1 7.1 概述（续）概述（续）例如，在机械加工时，对于用单刀在一次走刀中将例如，在机械加工时，对于用单刀在一次走刀中将零件车削成形，为选择合适的切削速度和每转给进量，零件车削成形，为选择合适的切削速度和每转给进量，提出以下目标：提出以下目标：机械加工成本最低；机械加工成本最低；生产率最高；生产率最高；刀具寿命最长。刀具寿命最长。还应满足的约束条件是：还应满足的约束条件是：进给量小于毛坯所留最大加工余量进给量小于毛坯所留最大加工余量 刀具强度等刀具强度等7.1 7.1 概述（续）概述
3、（续）对于一个具有对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多个目标函数和若干个约束条件的多目标优化问题，其数学模型的表达式可写为：目标优化问题，其数学模型的表达式可写为：求：求：向量形式的目标函数向量形式的目标函数设设计计变变量量应应满满足足的的所所有约束条件有约束条件n维欧氏空间的一个向量维欧氏空间的一个向量7.1 7.1 概述（续）概述（续）二、几个基本概念二、几个基本概念设设1、最优解、最优解(D为可行域），为可行域），若对于任意若对于任意，恒使，恒使成立，则称成立，则称X*为多目标优为多目标优化问题的绝对最优解，简称最优解。化问题的绝对最优解，简称最优解。若干个最优解组成的集合称为若
4、干个最优解组成的集合称为绝对最优解集绝对最优解集,用用 表示。表示。只只有有当当F(X)的的各各个个子子目目标标fi(X)的的最最优优点点都都存存在在，并并且且全部重叠于同一点时，才存在有绝对最优解。全部重叠于同一点时，才存在有绝对最优解。7.1 7.1 概述（续）概述（续）设设2、有效解（非劣解）、有效解（非劣解）(D为可行域），为可行域），若不存在若不存在，使，使成立，则称成立，则称X*为多目标优为多目标优化问题的非劣解或有效解。化问题的非劣解或有效解。若干个有效解组成的集合称为若干个有效解组成的集合称为有效解集有效解集,用用 表示。表示。7.1 7.1 概述（续）概述（续）设设3、弱有效
5、解（弱非劣解）、弱有效解（弱非劣解）若不存在若不存在,使使成立，则称成立，则称X*为多目标优为多目标优化问题的弱非劣解或弱有化问题的弱非劣解或弱有效解。效解。所有弱有效解组成的集合称为所有弱有效解组成的集合称为弱有效解集弱有效解集,用用 表示。表示。三者之间关系：三者之间关系：在多目标优化设计中，在多目标优化设计中，如果一个解使每个分目标函数如果一个解使每个分目标函数值都比另一个解为劣，则这个解称为劣解。值都比另一个解为劣，则这个解称为劣解。三、多目标优化问题的特点及解法三、多目标优化问题的特点及解法7.1 7.1 概述（续）概述（续）多多目目标标优优化化是是向向量量函函数数的的优优化化（单单
6、目目标标函函数数是是标标量函数的优化）；量函数的优化）；对对于于多多目目标标优优化化问问题题，任任何何两两个个解解不不一一定定能能比比较较其其优劣；优劣；多多目目标标优优化化问问题题得得到到的的可可能能只只是是非非劣劣解解（有有效效解解），而而非非劣劣解解往往往往不不止止一一个个，需需要要在在多多个个非非劣劣解解中中找找出出一一个个最最优解。优解。1、特点、特点7.1 7.1 概述（续）概述（续）2、解法：、解法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解直接求出非劣解，然后再选择较好的解间接法间接法将多目标优化问题转化为单目标优化问题将多目标优化问题转化为单目标优化问题三、多目标优化问题的特点及解法
7、（续三、多目标优化问题的特点及解法（续)线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、平方和加权法、子目标乘除法、功效系数法平方和加权法、子目标乘除法、功效系数法将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题分层序列法、宽容分层序列法分层序列法、宽容分层序列法直接法：直接法：7.2 统一目标函数法（综合目标法）统一目标函数法（综合目标法）一、基本思想一、基本思想 统统 一一 目目 标标 函函 数数 法法 就就 是是 设设 法法 将将 各各 分分 目目 标标 函函 数数f1(X),f2(X),fl(X)统统一一到到一一个个新
8、新构构成成的的总总的的目目标标函函数数f(X),这这样样就就把把原原来来的的多多目目标标问问题题转转化化为为一一个个具具有有统统目标函数的单目标问题来求解目标函数的单目标问题来求解即：即：D为为可可行行域域，f1(X)，f2(X)，fl(X)为为各各个个子子目标函数。目标函数。7.2 统一目标函数法（续）统一目标函数法（续）二、统一目标函数的构造方法二、统一目标函数的构造方法1、线性加权和法（线性加权组合法）、线性加权和法（线性加权组合法）根根据据各各子子目目标标的的重重要要程程度度给给予予相相应应的的权权数数，然然后后用用各各子子目目标标分分别别乘乘以以他他们们各各自自的的权权数数，再再相相
9、加加即即构构成成统一目标函数。统一目标函数。即评价函数为：即评价函数为：应满足归一性和非负性条件应满足归一性和非负性条件各子目标函数各子目标函数权数权数优化的数学模型为优化的数学模型为注意：注意：1、建建立立这这样样的的评评价价函函数数时时，各各子子目目标标的的单单位位已已经经脱脱离了通常的概念。离了通常的概念。2、权权数数（加加权权因因子子）的的大大小小代代表表相相应应目目标标函函数数在在优优化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。权因子的确定方法：权因子的确定方法：在在确确定定权权因因子子前前，应应先先将将各各子子目目标标函函数数进进行行无量纲化
10、，处理的方法是：无量纲化，处理的方法是：是多目标问题中某个带量纲的子目标；是多目标问题中某个带量纲的子目标；是作了无量纲处理后的第是作了无量纲处理后的第i个子目标函数个子目标函数(1)专家评判法（老手法）专家评判法（老手法）凭凭经经验验评评估估，并并结结合合统统计计处处理理来来确确定定权权数数的的方方法法。特点：方法实用，但要求专家人数不能太少。特点：方法实用，但要求专家人数不能太少。（2）容限法）容限法若已知子目标函数若已知子目标函数fi(X)的变动范围为：的变动范围为：则称则称为该目标函数的容限为该目标函数的容限这时权数可取为：这时权数可取为：目目的的：在在评评价价函函数数中中使使各各子子
11、目目标标在在数数量量级级上上达达到到统一平衡。统一平衡。（3）加权因子分解法）加权因子分解法本本征征权权因因子子，反反应应第第i个个目目标标的的相相对对重重要程度。要程度。校校正正权权因因子子，用用于于调调整整各各目目标标在在量量级级方面差异的影响。方面差异的影响。目的：使目标变化快慢不一致的趋于一致。目的：使目标变化快慢不一致的趋于一致。7.2 统一目标函数法（续）统一目标函数法（续）2、理想点法、理想点法 基基本本思思想想：使使各各个个目目标标尽尽可可能能接接近近各各自自的的最最优优值值，从而求出多目标函数的较好的非劣解。从而求出多目标函数的较好的非劣解。二、统一目标函数的构造方法（续）二
12、、统一目标函数的构造方法（续）步步骤骤：先先用用单单目目标标优优化化方方法法求求得得各各子子目目标标的的约约束束最最优值和相应的最优点，然后构造评价函数。优值和相应的最优点，然后构造评价函数。评价函数：评价函数：7.2 统一目标函数法（续）统一目标函数法（续）3、平方和加权法、平方和加权法 基本思想：在理想点法的基础上引入权数基本思想：在理想点法的基础上引入权数二、统一目标函数的构造方法（续）二、统一目标函数的构造方法（续）评价函数：评价函数：构造评价函数。构造评价函数。满足归一性和非负性条件满足归一性和非负性条件7.3 主要目标函数法主要目标函数法 基基本本思思想想：从从所所有有L个个子子目
13、目标标函函数数中中选选出出一一个个设设计计者者认认为为最最重重要要的的作作为为主主要要目目标标函函数数，而而将将其其余余L-1个个子子目目标标限限制制在在一一定定的的范范围围内内，并并转转化化为为新新的的约约束束条条件，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。件，将多目标优化问题转化为单目标优化问题。设设f2(X)为主要目标函数，则优化的为主要目标函数，则优化的数学模型数学模型为：为：原问题第原问题第t个目标函数的上限值。个目标函数的上限值。7.4 功效系数法功效系数法基本思想：基本思想：先先按按各各子子目目标标值值的的“优优”或或“劣劣”（即即“功功效效”）分分别别求求出出与与其其对对应应的的
14、功功效效函函数数，然然后后再再由由各个功效函数构造出问题的评价函数进行求解。各个功效函数构造出问题的评价函数进行求解。目目的的是是将将多多目目标标优优化化问问题题转转化化为为单单目目标标优化问题优化问题7.4 功效系数法功效系数法一、功效系数一、功效系数多多目目标标优优化化设设计计中中，各各子子目目标的要求不同标的要求不同极小值极小值极大值极大值一个合适的数值一个合适的数值每个子目标都用一个功效函数每个子目标都用一个功效函数di表示表示其值为功效系数其值为功效系数功效函数的范围功效函数的范围0,1fi(X)的值满意时，的值满意时，di=1fi(X)的值不满意时，的值不满意时，di=0二、评价函
15、数二、评价函数7.4 功效系数法（续）功效系数法（续）用所有子目标的功效系数的几何平均值作为评价函数用所有子目标的功效系数的几何平均值作为评价函数f(X)的值越大，设计方案越好；反之越差；的值越大，设计方案越好；反之越差；f(X)=1时，表示取得最满意的设计方案时，表示取得最满意的设计方案f(X)=0时，表示此设计方案不能接受时，表示此设计方案不能接受 该该评评价价函函数数不不会会使使某某一一个个目目标标最最不不满满意意功功效效系数法的特点系数法的特点为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益三、功效函数的确定三、功效函
16、数的确定(a)目标函数目标函数 越大越好越大越好(b)目标函数目标函数 越小越好越小越好(c)目目标标函函数数过过 大过小都不好大过小都不好为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 对于一个具有对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多个目标函数和若干个约束条件的多目标优化问题，若有目标优化问题，若有S个子目标函数为求极小，而其个子目标函数为求极小，而其余余L-S个子目标函数为求极大时，各子目标对应的功个子目标函数为求极大时，各子目标对应的功效函数的求法：效函数的求法：7.4 功效系数法（续）功效系数法（续）三、功效
17、函数的确定（续）三、功效函数的确定（续）1、在可行域、在可行域D中求出各子目标函数的最小值和最大值中求出各子目标函数的最小值和最大值为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益7.4 功效系数法（续）功效系数法（续）三、功效函数的确定（续）三、功效函数的确定（续）2、对对于于前前S个个要要求求极极小小化化的的子子目目标标函函数数fi(X)，若若规规定定对应的功效函数满足对应的功效函数满足则可得线性功效函数为则可得线性功效函数为为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单
18、位和职工的合法权益7.4 功效系数法（续）功效系数法（续）三、功效函数的确定（续）三、功效函数的确定（续）3、对对于于后后面面L-S个个要要求求极极大大化化的的子子目目标标函函数数fi(X)，若若规定对应的功效函数满足规定对应的功效函数满足则可得功效函数为则可得功效函数为为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益7.4 功效系数法（续）功效系数法（续）三、功效函数的确定（续）三、功效函数的确定（续）4、对于、对于L个子目标函数对应的功效函数为个子目标函数对应的功效函数为5、优化问题的数学模型为：、优化问题的数学模型为：评
19、价函数：评价函数：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益五、功效系数法的特点五、功效系数法的特点1、直直接接按按要要求求的的性性能能指指标标来来评评价价函函数数，直直观观，且初步试算后，调整方便；且初步试算后，调整方便；2、无无论论各各子子目目标标的的量量级级和和量量纲纲如如何何，最最终终都都转转化化为为在在0,1区区间间取取值值，而而且且一一旦旦有有一一个个子子目目标标达达不不到到要要求求，则则其其相相应应的的功功效效系系数数为为0，从从而而使使评评价价函函数数也也为为0，表表明不能接受所得设计方案；明不能接受所得
20、设计方案；3、可以处理既非越大越好，也非越小越好的目标函数；、可以处理既非越大越好，也非越小越好的目标函数；4、对难以事先确定目标函数取值范围的情况不适用。、对难以事先确定目标函数取值范围的情况不适用。7.5 分层序列法及宽容分层序列法分层序列法及宽容分层序列法将将多多目目标标优优化化问问题题转转化化为为一一系系列列单单目目标标优优化问题的求解方法：化问题的求解方法：分层序列法分层序列法宽容分层序列法宽容分层序列法为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益7.5 分层序列法及宽容分层序列法（续）分层序列法及宽容分层序列法
21、（续）一、分层序列法一、分层序列法1、基本思想、基本思想 将将多多目目标标优优化化问问题题中中的的l个个目目标标函函数数分分清清主主次次，按按照照其其重重要要程程度度逐逐一一排排除除，然然后后依依次次对对各各个个目目标标函函数数求求最最优优解解，只只是是后后一一目目标标应应在在前前一一目目标标最最优优解解的的集集合合域域内寻优。内寻优。2、基本步骤、基本步骤设设最重要，最重要，其次其次，再其次，再其次，.。首先对第一个目标函数首先对第一个目标函数 求解，得最优值求解，得最优值为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益在第
22、一个目标函数的最优解集合域内，求第二个在第一个目标函数的最优解集合域内，求第二个目标函数目标函数的最优值，也就是将第一个目标函数转的最优值，也就是将第一个目标函数转化为辅助约束。即求化为辅助约束。即求的最优值，记作的最优值，记作 然后再在第一、第二个目标函数的最优解集合域内，然后再在第一、第二个目标函数的最优解集合域内，求第三个目标函数的最优值，此时，第一、第二个目标求第三个目标函数的最优值，此时，第一、第二个目标函数转化为辅助约束，即求：函数转化为辅助约束，即求：最优值，记作最优值，记作一、分层序列法一、分层序列法(续）续）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单
23、位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益最优值是最优值是一、分层序列法一、分层序列法(续）续）以此类推，最后求第以此类推，最后求第目标函数目标函数 的最优值，即的最优值，即,对应的最优点是对应的最优点是 3、分层序列法的优缺点：、分层序列法的优缺点：在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程无法在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程无法继续进行下去。继续进行下去。当求解到第当求解到第k个目标函数的最优解是唯一时，则再往个目标函数的最优解是唯一时，则再往后求第后求第（k+1），），(k+2)，.，l个目标函数的解就完全没个目标函数的解就完全没有意义了。尤其是当求得的第一个目标函数的最
24、优解是有意义了。尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是唯一时，则失去了多目标优化的意义了。唯一时，则失去了多目标优化的意义了。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益二、宽容分层序列法二、宽容分层序列法1、基本思想、基本思想 这这种种方方法法是是对对各各目目标标函函数数的的最最优优值值放放宽宽要要求求，可可以以对对各各目目标标函函数数的的最最优优值值取取给给定定的的宽宽容容值值，即即10，20,。这这样样，在在求求后后一一个个目目标标函函数数的的最最优优值值时时，对对前前一一目目标标函函数数不不严严格格限限制制在在最最
25、优优解解内内，而而是是在在前前一一目目标标函函数数最最优优值值附附近近的的某某一一范范围围内进行优化，因而避免了计算过程的中断。内进行优化，因而避免了计算过程的中断。为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益二、宽容分层序列法（续）二、宽容分层序列法（续）其中，其中，最后求得最优解最后求得最优解为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益 两两目目标标优优化化问问题题用用宽宽容容分分层层序序列列法法求求最最优优解解的的情况如图。情况如图。二、宽容分层
26、序列法（续）二、宽容分层序列法（续）为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益二、宽容分层序列法（续）二、宽容分层序列法（续）例题：用宽容分层序列法求解例题：用宽容分层序列法求解式中式中解：按重要程度将目标函数排队为：解：按重要程度将目标函数排队为：f1(x)，f2(x)首先求解首先求解，得最优点，得最优点x(1)=2对应的最优值为对应的最优值为设给定的宽容值设给定的宽容值1=0.052，则可得：，则可得：为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
27、然后求解最优解然后求解最优解即求：即求：求得最优解为：求得最优解为：x(2)=1.9这就是该两目标函数的这就是该两目标函数的最优点最优点x*,对应的最优值对应的最优值为为为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益优优化化方方法法主主 要要目标法目标法 统一目标方法统一目标方法分层序列法及分层序列法及宽容分层序列宽容分层序列法法线性加线性加权和法权和法理想点法理想点法与平方和与平方和加权法加权法功效系数法功效系数法-几何平均法几何平均法方方法法特特点点1 1、找出主要顾、找出主要顾及其余；及其余；2 2、分析出正确、分析出
28、正确的主要目标函的主要目标函数至关重要；数至关重要；3 3、对决策者专、对决策者专业知识要求较业知识要求较高。高。1 1、可综合考虑、可综合考虑各分目标函数各分目标函数的影响的影响2 2、按各分目标、按各分目标函数的重要程函数的重要程度综合考虑了度综合考虑了各分目标函数各分目标函数的影响。的影响。希望能希望能达到各分达到各分目标都为目标都为最优化，最优化，尽量向该尽量向该理点去靠理点去靠近。近。可对各分目可对各分目标函数求极标函数求极大，求极小，大，求极小，及求逼近某及求逼近某一合适值的一合适值的各分目标函各分目标函数求优。数求优。可对多目标优可对多目标优化中优化优先化中优化优先次序等级有区次
29、序等级有区别的多目标优别的多目标优化问题进行优化问题进行优化。化。基基本本思思路路选出对问题影选出对问题影响最重要的函响最重要的函数作为主要目数作为主要目标函数，其余标函数，其余目标函数作为目标函数作为约束条件建立约束条件建立起单目标优化起单目标优化问题进行求解问题进行求解各分目标函数各分目标函数以加权系数的以加权系数的形式体现了他形式体现了他们的重要程度，们的重要程度，组成线性加权组成线性加权和作为综合目和作为综合目标函数。标函数。以各分目以各分目标各自优标各自优化解作为化解作为理想点，理想点，尽量向该尽量向该点逼近。点逼近。求各分目标求各分目标的功效系数；的功效系数；以功效系数以功效系数的
30、几何平均的几何平均值作为评价值作为评价函数求优。函数求优。先对最重要的先对最重要的目标函数，再目标函数，再对次要目标函对次要目标函数分层进行优数分层进行优化，对后者优化，对后者优化时必须保持化时必须保持前者在允许范前者在允许范围内变化。围内变化。多目标优化方法的比较多目标优化方法的比较为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益主主要要步步骤骤1 1、将多目、将多目标优化问题标优化问题中选出主要中选出主要目标作为单目标作为单目标，其余目标，其余目标以约束目标以约束形式出现，形式出现，保证其不致保证其不致太差。太差。2 2、
31、用单目、用单目标优化方法标优化方法求解，得出求解，得出原多目标问原多目标问题的近似优题的近似优化解。化解。1 1、确定、确定各分目标各分目标函数的加函数的加权系数；权系数；2 2、各分、各分目标函数目标函数乘以权系乘以权系数后相加数后相加组成综合组成综合目标函数；目标函数；3 3、以此、以此转化为单转化为单目标优化目标优化问题求解问题求解作为其优作为其优化解。化解。1 1、找出各分、找出各分目标函数的各目标函数的各自优化解；自优化解；2 2、构造出各、构造出各分目标函数离分目标函数离各自优化解的各自优化解的距离相对值，距离相对值，作为单一目标作为单一目标函数求优作为函数求优作为原问题的优化原问题的优化解。解。以功效系以功效系数的几何数的几何平均值组平均值组成综合目成综合目标函数，标函数，对它用单对它用单目标函数目标函数求优，作求优，作为原问题为原问题优化解。优化解。1 1、按重要程度、按重要程度分清主次进行分清主次进行排序。排序。2 2、先对第一重、先对第一重要目标函数按要目标函数按单目标进行优单目标进行优化；化；3 3、再对第二重、再对第二重要目标函数进要目标函数进行优化，此时行优化，此时应保证前者不应保证前者不变坏，或在允变坏，或在允许范围之内。许范围之内。4 4、重复上述步、重复上述步骤直至最终分骤直至最终分目标优化解止目标优化解止作为原问题优作为原问题优化解。化解。