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1、关于多目标优化设计方法第一张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.1 7.1 概述概述一、多目标优化及数学模型一、多目标优化及数学模型单目标最优化方法单目标最优化方法多目标最优化方法多目标最优化方法多目标优化的实例：多目标优化的实例：物美价廉物美价廉第二张，PPT共三十九页，创作于2022年6月设计车床齿轮变速箱时，要求：设计车床齿轮变速箱时，要求：7.1 7.1 概述（续）概述（续）各齿轮体积总和各齿轮体积总和尽可能小尽可能小降低成本降低成本 各传动轴间的中心距总和各传动轴间的中心距总和使变速箱结构紧凑。使变速箱结构紧凑。合理选用材料合理选用材料使总成本使总成本尽可能小。尽可能小。尽可
2、能小。尽可能小。尽可能小尽可能小 传动效率尽可能高传动效率尽可能高机械耗损率机械耗损率 在优化设计中同时要求几项指标达到最优值的在优化设计中同时要求几项指标达到最优值的问题称为多目标优化设计问题问题称为多目标优化设计问题。第三张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.1 7.1 概述（续）概述（续）例如，在机械加工时，对于用单刀在一次走刀中将例如，在机械加工时，对于用单刀在一次走刀中将零件车削成形，为选择合适的切削速度和每转给进量，零件车削成形，为选择合适的切削速度和每转给进量，提出以下目标：提出以下目标：机械加工成本最低；机械加工成本最低；生产率最高；生产率最高；刀具寿命最长。刀具寿命最
3、长。还应满足的约束条件是：还应满足的约束条件是：进给量小于毛坯所留最大加工余量进给量小于毛坯所留最大加工余量 刀具强度等刀具强度等第四张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.1 7.1 概述（续）概述（续）对于一个具有对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多目个目标函数和若干个约束条件的多目标优化问题，其数学模型的表达式可写为：标优化问题，其数学模型的表达式可写为：求：求：向量形式的目标函数向量形式的目标函数设设计计变变量量应应满满足足的的所所有有约约束条件束条件n维欧氏空间的一个向量维欧氏空间的一个向量第五张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.1 7.1 概述（续）概述（续
4、）二、几个基本概念二、几个基本概念设设1、最优解、最优解(D为可行域），为可行域），若对于任意若对于任意，恒使，恒使成立，则称成立，则称X*为多目标优为多目标优化问题的绝对最优解，简称最优解。化问题的绝对最优解，简称最优解。若干个最优解组成的集合称为若干个最优解组成的集合称为绝对最优解集绝对最优解集,用用 表示。表示。只只有有当当F(X)的的各各个个子子目目标标fi(X)的的最最优优点点都都存存在在，并并且且全全部部重叠于同一点时，才存在有绝对最优解。重叠于同一点时，才存在有绝对最优解。第六张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.1 7.1 概述（续）概述（续）设设2、有效解（非劣解）、
5、有效解（非劣解）(D为可行域），为可行域），若不存在若不存在，使，使成立，则称成立，则称X*为多目标优为多目标优化问题的非劣解或有效解。化问题的非劣解或有效解。若干个有效解组成的集合称为若干个有效解组成的集合称为有效解集有效解集,用用 表示。表示。第七张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.1 7.1 概述（续）概述（续）设设3、弱有效解（弱非劣解）、弱有效解（弱非劣解）若不存在若不存在,使使成立，则称成立，则称X*为多目标优为多目标优化问题的弱非劣解或弱有化问题的弱非劣解或弱有效解。效解。所有弱有效解组成的集合称为所有弱有效解组成的集合称为弱有效解集弱有效解集,用用 表示。表示。三者之
6、间关系：三者之间关系：在多目标优化设计中，在多目标优化设计中，如果一个解使每个分目标函数如果一个解使每个分目标函数值都比另一个解为劣，则这个解称为劣解。值都比另一个解为劣，则这个解称为劣解。第八张，PPT共三十九页，创作于2022年6月三、多目标优化问题的特点及解法三、多目标优化问题的特点及解法7.1 7.1 概述（续）概述（续）多多目目标标优优化化是是向向量量函函数数的的优优化化（单单目目标标函函数数是是标标量量函数的优化）；函数的优化）；对于多目标优化问题，任何两个解不一定能比较其优劣；对于多目标优化问题，任何两个解不一定能比较其优劣；多多目目标标优优化化问问题题得得到到的的可可能能只只是
7、是非非劣劣解解（有有效效解解），而而非劣解往往不止一个，需要在多个非劣解中找出一个最优解。非劣解往往不止一个，需要在多个非劣解中找出一个最优解。1、特点、特点第九张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.1 7.1 概述（续）概述（续）2、解法：、解法：直接求出非劣解，然后再选择较好的解直接求出非劣解，然后再选择较好的解间接法间接法将多目标优化问题转化为单目标优化问题将多目标优化问题转化为单目标优化问题三、多目标优化问题的特点及解法（续三、多目标优化问题的特点及解法（续)线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、线性加权和法、主要目标函数法、理想点法、平方和加权法、子目标乘除法、功效系数法平
8、方和加权法、子目标乘除法、功效系数法将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题将多目标优化问题转化为一系列单目标优化问题分层序列法、宽容分层序列法分层序列法、宽容分层序列法直接法：直接法：第十张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.2 统一目标函数法（综合目标法）统一目标函数法（综合目标法）一、基本思想一、基本思想 统统 一一 目目 标标 函函 数数 法法 就就 是是 设设 法法 将将 各各 分分 目目 标标 函函 数数f1(X),f2(X),fl(X)统统一一到到一一个个新新构构成成的的总总的的目目标标函函数数f(X),这这样样就就把把原原来来的的多多目目标标问问题题转转化化为为一一个
9、个具具有有统统目目标标函函数数的的单目标问题来求解单目标问题来求解即：即：D为为可可行行域域，f1(X)，f2(X)，fl(X)为为各各个个子子目目标标函数。函数。第十一张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.2 统一目标函数法（续）统一目标函数法（续）二、统一目标函数的构造方法二、统一目标函数的构造方法1、线性加权和法（线性加权组合法）、线性加权和法（线性加权组合法）根根据据各各子子目目标标的的重重要要程程度度给给予予相相应应的的权权数数，然然后后用用各各子子目目标标分分别别乘乘以以他他们们各各自自的的权权数数，再再相相加加即即构构成成统统一一目标函数。目标函数。即评价函数为：即评价函
10、数为：应满足归一性和非负性条件应满足归一性和非负性条件各子目标函数各子目标函数权数权数第十二张，PPT共三十九页，创作于2022年6月优化的数学模型为优化的数学模型为注意：注意：1、建建立立这这样样的的评评价价函函数数时时，各各子子目目标标的的单单位位已已经经脱脱离离了通常的概念。了通常的概念。2、权权数数（加加权权因因子子）的的大大小小代代表表相相应应目目标标函函数数在在优优化化模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。模型中的重要程度，目标越重要，权数越大。第十三张，PPT共三十九页，创作于2022年6月权因子的确定方法：权因子的确定方法：在在确确定定权权因因子子前前，应应先先将将各各子子目
11、目标标函函数数进进行行无无量量纲化，处理的方法是：纲化，处理的方法是：是多目标问题中某个带量纲的子目标；是多目标问题中某个带量纲的子目标；是作了无量纲处理后的第是作了无量纲处理后的第i个子目标函数个子目标函数(1)专家评判法（老手法）专家评判法（老手法）凭凭经经验验评评估估，并并结结合合统统计计处处理理来来确确定定权权数数的的方方法法。特特点点：方方法实用，但要求专家人数不能太少。法实用，但要求专家人数不能太少。第十四张，PPT共三十九页，创作于2022年6月（2）容限法）容限法若已知子目标函数若已知子目标函数fi(X)的变动范围为：的变动范围为：则称则称为该目标函数的容限为该目标函数的容限这
12、时权数可取为：这时权数可取为：目目的的：在在评评价价函函数数中中使使各各子子目目标标在在数数量量级级上上达达到到统统一一平平衡。衡。第十五张，PPT共三十九页，创作于2022年6月（3）加权因子分解法）加权因子分解法本本征征权权因因子子，反反应应第第i个个目目标标的的相相对对重重要要程程度。度。校校正正权权因因子子，用用于于调调整整各各目目标标在在量量级级方方面面差差异的影响。异的影响。目的：使目标变化快慢不一致的趋于一致。目的：使目标变化快慢不一致的趋于一致。第十六张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.2 统一目标函数法（续）统一目标函数法（续）2、理想点法、理想点法 基基本本思思想
13、想：使使各各个个目目标标尽尽可可能能接接近近各各自自的的最最优优值值，从从而而求出多目标函数的较好的非劣解。求出多目标函数的较好的非劣解。二、统一目标函数的构造方法（续）二、统一目标函数的构造方法（续）步步骤骤：先先用用单单目目标标优优化化方方法法求求得得各各子子目目标标的的约约束束最最优优值值和和相应的最优点，然后构造评价函数。相应的最优点，然后构造评价函数。评价函数：评价函数：第十七张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.2 统一目标函数法（续）统一目标函数法（续）3、平方和加权法、平方和加权法 基本思想：在理想点法的基础上引入权数基本思想：在理想点法的基础上引入权数二、统一目标函数
14、的构造方法（续）二、统一目标函数的构造方法（续）评价函数：评价函数：构造评价函数。构造评价函数。满足归一性和非负性条件满足归一性和非负性条件第十八张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.3 主要目标函数法主要目标函数法 基基本本思思想想：从从所所有有L个个子子目目标标函函数数中中选选出出一一个个设设计计者者认认为为最最重重要要的的作作为为主主要要目目标标函函数数，而而将将其其余余L-1个个子子目目标标限限制制在在一一定定的的范范围围内内，并并转转化化为为新新的的约约束束条条件件，将将多多目目标标优优化问题转化为单目标优化问题。化问题转化为单目标优化问题。设设f2(X)为主要目标函数，则优
15、化的为主要目标函数，则优化的数学模型数学模型为：为：原问题第原问题第t个目标函数的上限值。个目标函数的上限值。第十九张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.4 功效系数法功效系数法基本思想：基本思想：先先按按各各子子目目标标值值的的“优优”或或“劣劣”（即即“功功效效”）分分别别求求出出与与其其对对应应的的功功效效函函数数，然然后后再再由由各各个个功功效函数构造出问题的评价函数进行求解。效函数构造出问题的评价函数进行求解。目目的的是是将将多多目目标标优优化化问问题题转转化化为为单单目目标标优优化化问问题题第二十张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.4 功效系数法功效系数法一、功效
16、系数一、功效系数多多目目标标优优化化设设计计中中，各各子子目目标的要求不同标的要求不同极小值极小值极大值极大值一个合适的数值一个合适的数值每个子目标都用一个功效函数每个子目标都用一个功效函数di表示表示其值为功效系数其值为功效系数功效函数的范围功效函数的范围0,1fi(X)的值满意时，的值满意时，di=1fi(X)的值不满意时，的值不满意时，di=0第二十一张，PPT共三十九页，创作于2022年6月二、评价函数二、评价函数7.4 功效系数法（续）功效系数法（续）用所有子目标的功效系数的几何平均值作为评价函数用所有子目标的功效系数的几何平均值作为评价函数f(X)的值越大，设计方案越好；反之越差；
17、的值越大，设计方案越好；反之越差；f(X)=1时，表示取得最满意的设计方案时，表示取得最满意的设计方案f(X)=0时，表示此设计方案不能接受时，表示此设计方案不能接受 该该评评价价函函数数不不会会使使某某一一个个目目标标最最不不满满意意功功效效系系数数法的特点法的特点第二十二张，PPT共三十九页，创作于2022年6月三、功效函数的确定三、功效函数的确定(a)目标函数目标函数 越大越好越大越好(b)目标函数目标函数 越小越好越小越好(c)目目标标函函数数过过 大过小都不好大过小都不好第二十三张，PPT共三十九页，创作于2022年6月 对于一个具有对于一个具有L个目标函数和若干个约束条件的多目个目
18、标函数和若干个约束条件的多目标优化问题，若有标优化问题，若有S个子目标函数为求极小，而其余个子目标函数为求极小，而其余L-S个个子目标函数为求极大时，各子目标对应的功效函数的求子目标函数为求极大时，各子目标对应的功效函数的求法：法：7.4 功效系数法（续）功效系数法（续）三、功效函数的确定（续）三、功效函数的确定（续）1、在可行域、在可行域D中求出各子目标函数的最小值和最大值中求出各子目标函数的最小值和最大值第二十四张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.4 功效系数法（续）功效系数法（续）三、功效函数的确定（续）三、功效函数的确定（续）2、对对于于前前S个个要要求求极极小小化化的的子子
19、目目标标函函数数fi(X)，若若规规定定对对应应的功效函数满足的功效函数满足则可得线性功效函数为则可得线性功效函数为第二十五张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.4 功效系数法（续）功效系数法（续）三、功效函数的确定（续）三、功效函数的确定（续）3、对对于于后后面面L-S个个要要求求极极大大化化的的子子目目标标函函数数fi(X)，若若规规定对应的功效函数满足定对应的功效函数满足则可得功效函数为则可得功效函数为第二十六张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.4 功效系数法（续）功效系数法（续）三、功效函数的确定（续）三、功效函数的确定（续）4、对于、对于L个子目标函数对应的功效函数
20、为个子目标函数对应的功效函数为5、优化问题的数学模型为：、优化问题的数学模型为：评价函数：评价函数：第二十七张，PPT共三十九页，创作于2022年6月五、功效系数法的特点五、功效系数法的特点1、直直接接按按要要求求的的性性能能指指标标来来评评价价函函数数，直直观观，且且初初步步试算后，调整方便；试算后，调整方便；2、无无论论各各子子目目标标的的量量级级和和量量纲纲如如何何，最最终终都都转转化化为为在在0,1区区间间取取值值，而而且且一一旦旦有有一一个个子子目目标标达达不不到到要要求求，则则其其相相应应的的功功效效系系数数为为0，从从而而使使评评价价函函数数也也为为0，表表明明不不能能接接受受所
21、所得得设设计计方案；方案；3、可以处理既非越大越好，也非越小越好的目标函数；、可以处理既非越大越好，也非越小越好的目标函数；4、对难以事先确定目标函数取值范围的情况不适用。、对难以事先确定目标函数取值范围的情况不适用。第二十八张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.5 分层序列法及宽容分层序列法分层序列法及宽容分层序列法将将多多目目标标优优化化问问题题转转化化为为一一系系列列单单目目标标优优化化问问题的求解方法：题的求解方法：分层序列法分层序列法宽容分层序列法宽容分层序列法第二十九张，PPT共三十九页，创作于2022年6月7.5 分层序列法及宽容分层序列法（续）分层序列法及宽容分层序列法
22、（续）一、分层序列法一、分层序列法1、基本思想、基本思想 将将多多目目标标优优化化问问题题中中的的l个个目目标标函函数数分分清清主主次次，按按照照其其重重要要程程度度逐逐一一排排除除，然然后后依依次次对对各各个个目目标标函函数数求求最最优优解解，只只是是后一目标应在前一目标最优解的集合域内寻优。后一目标应在前一目标最优解的集合域内寻优。2、基本步骤、基本步骤设设最重要，最重要，其次其次，再其次，再其次，.。首先对第一个目标函数首先对第一个目标函数 求解，得最优值求解，得最优值第三十张，PPT共三十九页，创作于2022年6月在第一个目标函数的最优解集合域内，求第二个在第一个目标函数的最优解集合域
23、内，求第二个目标函数目标函数的最优值，也就是将第一个目标函数转的最优值，也就是将第一个目标函数转化为辅助约束。即求化为辅助约束。即求的最优值，记作的最优值，记作 然后再在第一、第二个目标函数的最优解集合域内，然后再在第一、第二个目标函数的最优解集合域内，求第三个目标函数的最优值，此时，第一、第二个目标求第三个目标函数的最优值，此时，第一、第二个目标函数转化为辅助约束，即求：函数转化为辅助约束，即求：最优值，记作最优值，记作一、分层序列法一、分层序列法(续）续）第三十一张，PPT共三十九页，创作于2022年6月最优值是最优值是一、分层序列法一、分层序列法(续）续）以此类推，最后求第以此类推，最后
24、求第目标函数目标函数 的最优值，即的最优值，即,对应的最优点是对应的最优点是 3、分层序列法的优缺点：、分层序列法的优缺点：在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程无法在求解过程中可能会出现中断现象，使求解过程无法继续进行下去。继续进行下去。当求解到第当求解到第k个目标函数的最优解是唯一时，则再往个目标函数的最优解是唯一时，则再往后求第后求第（k+1），），(k+2)，.，l个目标函数的解就完全没个目标函数的解就完全没有意义了。尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是有意义了。尤其是当求得的第一个目标函数的最优解是唯一时，则失去了多目标优化的意义了。唯一时，则失去了多目标优化的意义了。第三十二
25、张，PPT共三十九页，创作于2022年6月二、宽容分层序列法二、宽容分层序列法1、基本思想、基本思想 这这种种方方法法是是对对各各目目标标函函数数的的最最优优值值放放宽宽要要求求，可可以以对对各各目目标标函函数数的的最最优优值值取取给给定定的的宽宽容容值值，即即10，20,。这这样样，在在求求后后一一个个目目标标函函数数的的最最优优值值时时，对对前前一一目目标标函函数数不不严严格格限限制制在在最最优优解解内内，而而是是在在前前一一目目标标函函数数最最优优值值附附近近的的某某一一范范围围内内进进行行优优化化，因因而而避避免免了计算过程的中断。了计算过程的中断。第三十三张，PPT共三十九页，创作于
26、2022年6月二、宽容分层序列法（续）二、宽容分层序列法（续）其中，其中，最后求得最优解最后求得最优解第三十四张，PPT共三十九页，创作于2022年6月 两两目目标标优优化化问问题题用用宽宽容容分分层层序序列列法法求求最最优优解解的的情情况况如图。如图。二、宽容分层序列法（续）二、宽容分层序列法（续）第三十五张，PPT共三十九页，创作于2022年6月二、宽容分层序列法（续）二、宽容分层序列法（续）例题：用宽容分层序列法求解例题：用宽容分层序列法求解式中式中解：按重要程度将目标函数排队为：解：按重要程度将目标函数排队为：f1(x)，f2(x)首先求解首先求解，得最优点，得最优点x(1)=2对应的最优值为对应的最优值为设给定的宽容值设给定的宽容值1=0.052，则可得：，则可得：第三十六张，PPT共三十九页，创作于2022年6月然后求解最优解然后求解最优解即求：即求：求得最优解为：求得最优解为：x(2)=1.9这就是该两目标函数的这就是该两目标函数的最优点最优点x*,对应的最优值对应的最优值为为第三十七张，PPT共三十九页，创作于2022年6月多目标优化方法的比较多目标优化方法的比较第三十八张，PPT共三十九页，创作于2022年6月感谢大家观看第三十九张，PPT共三十九页，创作于2022年6月