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1、-函数的单调性一、引入课题一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：应函数的哪些变化规律：yx11-1yx1-11-1问：随问：随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？x1-11y-1-1yx1-1Oyx注：函数注：函数y yx x的图象由左至右是上升的的图象由左至右是上升的观察下面函数观察下面函数y yx x的图象的图象xyO观察下面函数的图象观察下面函数的图象注：函数的图象在注：函数的图象在y y轴左侧是下降的，在轴左侧是下降的，在y y轴右侧是上升的轴右侧是上升的.xyOxyOxyOxyO
2、xyOxyOxyOxyOxyO如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyx1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Ox
3、yyf(x)f(x1)f(x2)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1,x2x1x2 f(x1)f(x2)如何
4、用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1,x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1,x2函数函数f(x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1,x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象
5、？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f(x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1,x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f(x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.在给定区间上任取在给定区间上任取x1,x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x
6、2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1,x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f(x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.x1x2 f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1,x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1,x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x
7、2)函数函数f(x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.函数函数f(x)在给定在给定区间上为减函数区间上为减函数.x1x2 f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1,x2增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.增函数、减函数的概念：增函
8、数、减函数的概念：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设
9、函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数.一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.增函数、减函数的概念：
10、增函数、减函数的概念：1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数.一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：1.如
11、果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.1.如果对于定义域如果对于定义域I
12、内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个
13、区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两
14、个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间上的任意内的某个区间上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间上是在这个区间上是减函数减函数.一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：注意：注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
15、是函数的局部性质；必须是对于区间必须是对于区间I I内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2；函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。说某函数是增函数或减函数。（二）典型例题例例1 1 如图如图6 6是定义在闭区间是定义在闭区间-5-5，55上的函数上的函数y=f(x)的图的图象，根据图象说出象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调的单调区间，以及在每一单调区间上，函数区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数.书写单调区间时，注意区间端点的写法。书写单调区间时，注意区间端点的写法。对于对于
16、某一个点某一个点而言，由于它的函数值是一个而言，由于它的函数值是一个确定的确定的常数，无单调性可言常数，无单调性可言，因此在写单调因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。但对于某些不在定义域内的区间端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。书写时就必须去掉端点。证明：证明：（取值）（取值）（作差）（作差）（下结论）（下结论）（定号）（定号）3 3证明函数单调性的方法步骤证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性的一上的单调性的一般步骤：般步骤：任取任取x1，x2
17、D，且，且x1x2；作差作差f(x1)f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；下结论（即指出函数下结论（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性）上的单调性）练习：判断函数练习：判断函数 的单调区间。的单调区间。xy21o单调递增区间：单调递增区间：单调递减区间：单调递减区间：证明：证明：证明：证明：设设x1，x2（0，+），且），且x1x2，则，则111Ox y1f（x）在定义域）在定义域上是减函数吗？上是减函数吗？减函数减函数取取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）
18、=1-11f（-1）f（1）变式变式1：f(x)在在(,0)上是增函数上是增函数还是减函数？还是减函数？变式变式2：讨论函数讨论函数f(x)在在定义域定义域上的上的单调性单调性结论：结论：函数函数f(x)在其在其定义域定义域上不具有上不具有单调性单调性例例3 证明：函数证明：函数f(x)在在(0,)上是上是减函数减函数例例3 3 讨论函数讨论函数 在在(-2,2)(-2,2)内的单内的单调性调性.变式变式1 1：若二次函数：若二次函数在区间在区间(-,1(-,1上单调递增，求上单调递增，求a a的取值范围。的取值范围。变式变式2 2：若二次函数：若二次函数的递增区间是（的递增区间是（-,1-,
19、1，则，则a a的取值情况是的取值情况是 是定义在（是定义在（-1，1）上的单调增函数，）上的单调增函数，解不等式解不等式 练习：练习：注意：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性在原函数定义域内讨论函数的单调性思考与讨论思考与讨论f(x)f(x)和和g(x)g(x)都是区间都是区间D D上的单调函数，上的单调函数，那么那么f(x)f(x)和和g(x)g(x)四则运算后在该四则运算后在该区间区间D D内还具备单调性吗？情况如何？内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？你能证明吗？能举例吗？1.1.若若f(x)f(x)为增函数，为增函数，g(x)g(x)为增函数，为增函数，则则F(X)
20、=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为增函数。为增函数。2.2.若若f(x)f(x)为减函数，为减函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数，则则F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为减函数。为减函数。3.3.若若f(x)f(x)为增函数，为增函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数，则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为增函数。为增函数。4.4.若若f(x)f(x)为减函数，为减函数，g(x)g(x)为增函数，为增函数，则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为减函数。为减函数。三、归纳小结三、归纳小结1.1.函数的单
21、调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数函数 的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论2.2.直接利用初等函数的单调区间。直接利用初等函数的单调区间。四、作业布置四、作业布置书面作业：书面作业：课本课本P39 AP39 A组：第组：第2 2题题 2(2(选做选做)证明
22、函数证明函数f(x)=x3在在(-(-，+)+)上是上是增函数增函数.-函数的最大（小）值画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：1.说出说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高点的？点的？(1)(2)xyo2oxy-11最大值最大值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)
23、M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。2最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如，如果存在实数果存在实数M满足：满足：（1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M;（2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0)=M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 2.2.函数最大（小）值应该是所有函
24、数值中函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的最大（小）的，即对于任意的xI，都有，都有f(x)M（f(x)M）注注 意：意：1.1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，值，即存在即存在x0I，使得，使得f(x0)=M；3.3.最大值和最小值统称为最值。最大值和最小值统称为最值。判断以下说法是否正确。判断以下说法是否正确。2、设函数 ，则 成立吗？的最大值是2吗？为什么？例3 “菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂望在它达到最高点时爆裂.如果在距地面高度如果在距地面
25、高度h m与时间与时间t s之间的之间的关系为关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确距地面的高度是多少（精确到到1m1m）解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.例3 求函数 在区间2，6
26、上的最大值和最小值 解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是所以，函数 是区间2,6上的减函数.因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4.（二）（二）判断函数的判断函数的最大最大(小小)值值的方法的方法 1.利用二次函数二次函数的性质（配方法配方法）求函数的最大(小)值 2.利用图象图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递增增，则函数
27、，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b)；如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区间，在区间b，c上上单调递单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)；例例3 写出函数写出函数 的单调的单调区间，并求出最值。区间，并求出最值。例例4 已知二次函数已知二次函数 （1）当）当 时，求时，求 的最值。的最值。（2）当）当 时，求时，求 的最值。的最值。例例5 5 求下列函数的最小值求下列函数的最小值提示：提示：（1 1）将将f(x)变形变形用定义法证明用定义法证明f(x)f(x)的单调性的单调性求求f(x)f(x)的的最小值最小值（2 2）f(x)求求f(x)f(x)的的对称轴对称轴讨论对称轴讨论对称轴与所给区间与所给区间的位置关系的位置关系结论结论求函数求函数 的最值。的最值。设f(x)是定义在R上的函数，对m,nR恒有 f(m+n)=f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)0(3)求证：f(x)在R上是减函数。