131函数的单调性和最大小值.ppt

《131函数的单调性和最大小值.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《131函数的单调性和最大小值.ppt（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、-函数的单调性一、引入课题一、引入课题 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：应函数的哪些变化规律：yx11-1yx1-11-1问：随问：随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？x1-11y-1-1画出下列函数的图象，观察其变化规律：画出下列函数的图象，观察其变化规律：1 1f (x) = x 从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降_?_?在区间在区间 _ _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f (x)的的值随着值随着 _ _ 2 2f (x) = -2x+1 从左至右图象上升还是下降从左至右

2、图象上升还是下降 _?_?在区间在区间 _ _ 上，随着上，随着x的增大，的增大，f (x)的值的值随着随着 _ _ 上升上升（-，+）增大增大下降下降（-，+）减小减小3 3f (x) = x2在区间在区间 _ _ 上，上，f (x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ _ 在区间在区间 _ _ 上，上，f (x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ _ x-4 -3 -2 -1 01234f(x) 16 941014916 (-,0减小减小（0，+）增大增大 y246810O- -2x84121620246210141822I对区间对区间I内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有

3、f(x1)f(x2)图象在图象在区间区间I逐渐上升逐渐上升？OxIy区间区间I内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)MN对区间对区间I内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2？Iyf(x1)f(x2)OMN任意任意区间区间I内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间I逐渐上升逐渐上升对区间对区间D内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)O设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于如果对于区间区间D上的上的任意任

4、意当当x1x2时，时，都有都有 f(x1 ) f(x2 )，定义定义MN任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， D 称为称为 f (x)的的单调单调增区间增区间. 那么就说那么就说 f (x)在区间在区间D上上 是单调是单调增函数增函数，区间区间D内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间D逐渐上升逐渐上升D 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. .xOyx1x2f(

5、x1)f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I,区间区间D I. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域I内内某个区间某个区间D上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，D称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增当当x1x2时，时，都有都有 f (x1 ) f(x2 )，当当x1x2时，时，都有都有f(x1

6、 ) f(x2 )，单调区间单调区间注意：注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；是函数的局部性质；必须是对于区间必须是对于区间I I内的任意两个自变量内的任意两个自变量x1，x2；函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接函数的单调性是相对某个区间而言，不能直接说某函数是增函数或减函数。说某函数是增函数或减函数。下列说法是否正确？请画图说明理由。下列说法是否正确？请画图说明理由。（1 1）如果对于区间（）如果对于区间（0 0，+）上的任意）上的任意x x有有f( (x)f(0),(0),则函数在区间（则函数在区间（0 0

7、，+）上单调）上单调递增。递增。（2）对于区间（a,b）上得某3个自变量的值 x1,x2,x3,当 时， 有 则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增。123( )()()()( )f af xf xf xf b123axxxb2 2单调性与单调区间单调性与单调区间 如果函数如果函数y=f(x)在某个区间在某个区间D D上是增函数或减函数，那么上是增函数或减函数，那么就说函数就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间在这一区间具有（严格的）单调性，区间D D叫叫做做y=f(x)的单调区间：的单调区间：注意：函数的单调区间是其定义域的子集；注意：函数的单调区间是其定义域的子集；应是

8、该区间内应是该区间内任意任意的两个实数，忽的两个实数，忽略需要略需要任意任意取值这个条件，就不能保取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，证函数是增函数（或减函数），例如，图图5 5中，在那样的特定位置上，虽然中，在那样的特定位置上，虽然使得使得 , ,但显然此图象表但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；示的函数不是一个单调函数；1x2x)(1xf)(2xf)(xf?5yx12()()f xf x几何特征几何特征：在自变量取值区间上，若单调：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数为减函数. .思考思考1

9、1：一次函数一次函数 的单调性，单调的单调性，单调区间：区间：)0(kbkxy思考思考2 2：二次函数二次函数 的单调性，单调区间：的单调性，单调区间：)0(2acbxaxy（二）典型例题例例1 1 如图如图6 6是定义在闭区间是定义在闭区间-5-5，55上的函数上的函数y=f(x)的图的图象，根据图象说出象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调的单调区间，以及在每一单调区间上，函数区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数是增函数还是减函数. . 书写单调区间时，注意区间端点的写法。书写单调区间时，注意区间端点的写法。对于对于某一个点某一个点而言，由于它的函数值是一个而言，由于

10、它的函数值是一个确定的确定的常数，无单调性可言常数，无单调性可言，因此在写单调因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点区间时，可以包括端点，也可以不包括端点。但对于某些不在定义域内的区间端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点。书写时就必须去掉端点。练习：判断函数练习：判断函数 的单调区间。的单调区间。2( )2f xxxxxxxf2)(2 y21o单调递增区间：单调递增区间：单调递减区间：单调递减区间：1 ,( ), 1 例例2 2 物理学中的玻意定律物理学中的玻意定律 ( (k k为正常数为正常数) )告诉我们告诉我们, ,对于一定量的气体对于一定量的气体,

11、,当体积当体积V 减减小时小时, ,压强压强 P 将增大将增大. .试用函数的单调性证明之试用函数的单调性证明之. .kpV=二、新课教学二、新课教学（一）函数单调性定义（一）函数单调性定义1 1增函数增函数一般地，设函数一般地，设函数y=f (x)的的定义域为定义域为I，如果对于定义域如果对于定义域 I 内的内的某个区间某个区间D D内内的的任意任意两个自变量两个自变量x1, x2 ，当当x1 x2 时，都有时，都有f(x1) f(x2)，那么就说那么就说f(x)在区间在区间D D上是上是增函数增函数（increasing functionincreasing function）3 3证明函

12、数单调性的方法步骤证明函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性的一般步上的单调性的一般步骤：骤： 取值，取值， 任意取任意取x1，x2D，且，且x1x2； 作差，作差， f(x1)f(x2)； 变形，变形， （通常是因式分解和配方）；（通常是因式分解和配方）； 定号，定号， （即判断差（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）； 下结论，（即指出函数下结论，（即指出函数f(x)在给定的区间在给定的区间D D上的单调性）上的单调性）上上是是增增函函数数。，（在在区区间间证证明明函函数数 xxf12)( . 例例2 2内内任任意意

13、是是区区间间设设),(,x 21 x121212( )()(21) (21)2(x)f xf xxxx0 x ,2121 xxx0)()(21 xfxf)()(21xfxf 即即证明：证明：。两两个个实实数数，且且 x 21x ),(12)( 在在区区间间则则函函数数xxf是是增增函函数数。 （取值）（取值）（作差）（作差）（下结论）（下结论）（定号）（定号）（变形）（变形）.23)( . 2上上是是增增函函数数在在证证明明函函数数练练习习Rxxf f（x1） f（x2）f（x1）f（x2）0f（x1）f（x2）（）（3x12）（）（ 3x22） 3（x1x2）由由x1x2，得，得 x1x20

14、.23)(上是增函数上是增函数在在函数函数Rxxf 设设x1，x2是是R上的任意两个实数，且上的任意两个实数，且x1x2，则，则探究：探究：P30 P30 画出反比例函数画出反比例函数 的图象的图象这个函数的定义域是什么？这个函数的定义域是什么？它在定义域它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论上的单调性怎样？证明你的结论xy1 思考思考3 3：反比例函数反比例函数 的单调性，的单调性，单调区间：单调区间： )0(kxky.), 0(1)(. 3减函数？证明你的结论减函数？证明你的结论上是增函数还是上是增函数还是在在函数函数例例 xxf设设x1，x2（0，+），且），且x1x2，则，则2211

15、1)(,1)(xxfxxf 212111)()(xxxfxf 2112xxxx 0), 0(,2121 xxxx01221 xxxx0)()(21 xfxf)()(21xfxf .), 0(1)(上是减函数上是减函数在在函数函数 xxf111Ox y1f（x）在定义域）在定义域上是减函数吗？上是减函数吗？减函数减函数 取取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-11f（-1）f（1）例例3 3 讨论函数讨论函数 在在(-2,2)(-2,2)内的单内的单调性调性. .322 axxf(x)变式变式1 1：若二次函数：若二次函数2( )4f xxax 在区间在区间(-,1(-,1上单调递

16、增，求上单调递增，求a a的取值范围。的取值范围。变式变式2 2：若二次函数：若二次函数2( )4f xxax 的递增区间是（的递增区间是（-,1-,1，则，则a a的取值情况是的取值情况是( )f x 是定义在是定义在R上的单调函数，且上的单调函数，且 的图的图象过点象过点A（0，2）和）和B（3，0）（1）解不等式）解不等式 （2）求适合）求适合 的的 的取的取值范围值范围( )f x(2 )(1)fxfx( )2( )0f xf x或x( )f x 是定义在（是定义在（-1，1）上的单调增函数，）上的单调增函数， 解不等式解不等式 (2 )(1)fxfx的单调区间。的单调区间。求函数求函

17、数34xxy2 练习：练习：注意：注意：在原函数定义域内讨论函数的单调性在原函数定义域内讨论函数的单调性思考与讨论思考与讨论f(x)f(x)和和g(x)g(x)都是区间都是区间D D上的单调函数，上的单调函数，那么那么f(x)f(x)和和g(x)g(x)四则运算后在该四则运算后在该区间区间D D内还具备单调性吗？情况如何？内还具备单调性吗？情况如何？你能证明吗？能举例吗？你能证明吗？能举例吗？1.1.若若f(x)f(x)为增函数，为增函数，g(x)g(x)为增函数，为增函数，则则F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为增函数。为增函数。2.2.若若f(x)f(x)为减函数，为

18、减函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数，则则F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)为减函数。为减函数。3.3.若若f(x)f(x)为增函数，为增函数，g(x)g(x)为减函数，为减函数，则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为增函数。为增函数。4.4.若若f(x)f(x)为减函数，为减函数，g(x)g(x)为增函数，为增函数，则则F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)为减函数。为减函数。三、归纳小结三、归纳小结1.1.函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数的单调性的判定、证明和单调区间的确定：函数函数 的单调性一般是先根据图

19、象判断，再利用定义证明画的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取取 值值 作作 差差 变变 形形 定定 号号 下结论下结论2.2.直接利用初等函数的单调区间。直接利用初等函数的单调区间。 四、作业布置四、作业布置书面作业：书面作业：课本课本P39 AP39 A组：第组：第2 2题题 2(2(选做选做) ) 证明函数证明函数f(x)=x3在在(-(-，+)+)上是上是增函数增函数. .-函数的最大（小）值画出下

20、列函数的草图，并根据图象解答下列问题：画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题： 1.说出说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高指出图象的最高点或最低点，你是如何理解函数图象最高点的？点的？ (1) (2) ( )230,3f xxx 12)(2xxxfxyo2oxy-11最大值最大值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果，如果存在实数存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得

21、f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。最大值的几何意义：函数图像上最高点的纵坐标。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。类比最大值的定义，请你给出最小值的定义。2最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如，如果存在实数果存在实数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 2.2.函数最大（小）值应该是所有函数值中函数最大（小）值应该

22、是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的最大（小）的，即对于任意的xI，都有，都有f(x)M（f (x)M） 注注 意：意：1.1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，值， 即存在即存在x0I，使得，使得f (x0) = M；3.3.最大值和最小值统称为最值。最大值和最小值统称为最值。.)(1, 1)(,),()(12的最大值为函数则都有任意、函数xfxfRxRxxxf判断以下说法是否正确。判断以下说法是否正确。.)(,)(,)(,)(,),(,)(3003020132100yxfyxfyxfyxfxxxyxPbaxf的最小值为则函数有自变量对于），已知

23、点的定义域为（、函数2、设函数 ，则 成立吗？ 的最大值是2吗？为什么？2( )1f xx ( )2f x ( )f x例3 “菊花菊花”烟花是最壮观的烟花之一烟花是最壮观的烟花之一. .制造时一般是期制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂望在它达到最高点时爆裂. . 如果在距地面高度如果在距地面高度h m与时间与时间t s之间的之间的关系为关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，那么烟花冲出后什么时候是那么烟花冲出后什么时候是它的爆裂的最佳时刻？这时它的爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确距地面的高度是多少（精确到到1m1m）解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7

24、t+18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度. 由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有: 29)9 . 4(47 .1418)9 . 4(45 . 1)9 . 4(27 .142ht 时，函数有最大值当 于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29 m.例3 求函数 在区间2，6上的最大值和最小值 12xy解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,则) 1)(1()(2 ) 1)(1()1() 1(21212)()(121212122121

25、xxxxxxxxxxxfxf由于2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是)()(, 0)()(2121xfxfxfxf 即所以，函数 是区间2,6上的减函数.12xy 因此,函数 在区间2,6上的两个端点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值为0.4 .12xy12xy（二）（二）判断函数的判断函数的最大最大( (小小) )值值的方法的方法 1.利用二次函数二次函数的性质（配方法配方法）求函数的最大(小)值 2. 利用图象图象求函数的最大(小)值 3.利用函数单调性函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区

26、间a，b上单调递上单调递增增，则函数，则函数y=f(x)在在x=a处有处有最小值最小值f(a),在在x=b处有处有最大值最大值f(b) ； 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a，b上单调递上单调递减减，在区间，在区间b，c上上单调递单调递增增则函数则函数y=f(x)在在x=b处有处有最小值最小值f(b)； 例例3 写出函数写出函数 的单调的单调区间，并求出最值。区间，并求出最值。2321yxx2( )23f xxx 2,0 x 例例4 已知二次函数已知二次函数 （1）当）当 时，求时，求 的最值。的最值。( )f x( )f x 2,3x （2）当）当 时，求时，求 的最值。的最值。例例5 5 求下列函数的最小值求下列函数的最小值22221(1)( )(0)4(2)( )22 1,1xxf xxxf xxaxx 提示：提示：（1 1）将将f(x)变形变形用定义法证明用定义法证明f(x)f(x)的单调性的单调性求求f(x)f(x)的的最小值最小值（2 2）f(x)求求f(x)f(x)的的对称轴对称轴讨论对称轴讨论对称轴与所给区间与所给区间的位置关系的位置关系结论结论 求函数求函数 的最值。的最值。( ) |1|2|f xxx 设f(x)是定义在R上的函数，对m,nR恒有 f(m+n)=f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)0(3) 求证：f(x)在R上是减函数。