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1、圆对称性圆对称性(1)(1)垂垂径定理径定理3.2 3.2 圆的对称性圆的对称性复习提问：复习提问：1 1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形正方形l圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是,它的对称轴是什么它的对称轴是什么?你能找到多你能找到多少条对称轴？
2、少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的?l圆是轴对称图形圆是轴对称图形.圆的对称轴是圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线任意一条经过圆心的直线,它它有无数条对称轴有无数条对称轴.O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题.3.2 3.2 圆的对称性圆的对称性OACBNMD圆是轴对称图形圆是轴对称图形，经过经过圆心圆心的的每一条每一条直线直线都是它的对称轴。OACBNMD或或：任意一条任意一条直直径所在的直线径所在的直线都是都是圆的对称轴圆的对称轴。任意一条直径任意一条直径都是都是圆的对称轴（圆的对称轴（）练习练习1.判断题判断题(1)直径是弦
3、直径是弦.(2)过圆心的线段是直径过圆心的线段是直径.(3)半圆是弧半圆是弧 .(4)两个半圆是等弧两个半圆是等弧.(5)面积不等的两圆不是等圆面积不等的两圆不是等圆.(6)长度相等的两条弧是等弧长度相等的两条弧是等弧.ACEFGH弧长 FE =3.84 cm弧长 HG =3.84 cm（）（）（）（）（）（）看一看看一看B.OCAEDO.CAEBDAEBEAEBEAM=BM,垂径定理垂径定理lAB是是 O的一条弦的一条弦.l你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由与同伴说说你的想法和理由.n作直径作直径CD,使使CDAB,垂足为垂足为M.On下图是轴对称
4、图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?ABCDMAmBn由由 CD是直是直径径 CDAB可推得可推得 AC=BC,AD=BD.题设题设结论结论解（解（1 1）连结）连结OAOA、OBOB，则，则OAOAOBOB则垂直于弦则垂直于弦ABAB的的直径直径CDCD所在的直线所在的直线是是O O 的对称轴的对称轴（2 2）当把圆沿着直径）当把圆沿着直径CDCD折叠时，折叠时，CDCD两侧的两个两侧的两个半圆重合，半圆重合，A A点点和和B B点点重合，重合，AEAE和和BEBE重合，重合，ACAC、ADAD分别和分别和BCBC、BDBD重合重合 AEAEBEBE，ACA
5、CBCBC，ADADBDBDOABCE即即直径直径CDCD平分弦平分弦AB,AB,并且并且平分平分AB AB 及及ACBACBl如图如图,小明的理由是小明的理由是:l连接连接OA,OB,OA,OB,OABCDM则则OA=OB.在在RtOAM和和RtOBM中中,OA=OB，OM=OM，RtOAM RtOBM.AM=BM.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直径关于直径CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理垂径定理垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直
6、径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧.题设题设结论结论（1）直径）直径（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧垂径定理垂径定理三种语言三种语言l定理定理:垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分弦平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.l老师提示老师提示:l垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三三种语言要相种语言要相互转化互转化,形成形成整体整体,才能运才能运用自如用自如.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.在下列
7、图形中，你能否利用垂径定理在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧找到相等的线段或相等的圆弧 如图，已知在如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，厘米，求求 O的半径。的半径。E.ABO解：连结解：连结OA.过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE。AB8厘米厘米 AE4厘米厘米 在在Rt AOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O的半径为的半径为5厘米厘米练习练习 课题：垂直于弦的直径(2)垂径定理的推论垂径定理的推论MOACBN直线直线MN过圆心过圆心 AC=BCMN
8、AB弧弧AM=弧弧BM 弧弧AN=弧弧BN探索一探索一：结论结论：推论推论1.(1)平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。OABMN一个圆的任意两一个圆的任意两条条直径总是互相平分直径总是互相平分，但是它们不一定互相但是它们不一定互相垂直。垂直。因此这里的弦因此这里的弦如果是直径，结论就如果是直径，结论就不一定成立。不一定成立。推论推论1.(1)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。CDMOACBN MNAB AC=BC直线直线MN过圆心过圆
9、心O弧弧AM=弧弧BM弧弧AN=弧弧BN探索二探索二：推论推论1:(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;MOACBN MNAB AC=BC 弧弧AM=弧弧BM直线直线MN过圆心过圆心O弧弧AN=弧弧BN探索三探索三：推论推论1:(3)(3)平分弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一条弧的直径,垂直平垂直平分弦分弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的另一条弧。的另一条弧。CDABMTEFGHNP错在哪里错在哪里？等分弧时一等分弧时一定要作定要作弧所夹弦弧所夹弦的垂直平分线的垂直平分线。作AB的垂直平分线CD。作ATBT的垂直 平分线EFGHn你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?
10、l如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理垂径定理的的逆定理逆定理垂径定理及逆定理垂径定理及逆定理OABCDM条件条件结论结论命命 题题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分
11、弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.CD是直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理的推论垂
12、径定理的推论2 2 l如果圆的如果圆的两条弦互相平行两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗那么这两条弦所夹的弧相等吗?l老师提示老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.MM已知：已知：O中弦中弦ABCD.求证：求证：ACBD.MCDABON讲解讲解如果圆的两条弦互相平如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹行，那么这两条弦所夹的弧相等的弧相等.证明：作直径证明：作直径MNAB.AB
13、CD，MNCD.则则AMBM，CMDM （垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）AMCM BM DMACBD 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等推论推论2.2.圆的两条平行弦所夹圆的两条平行弦所夹的弧相等。的弧相等。挑战自我画一画l如如图图,M,M为为O O内内的的一一点点,利利用用尺尺规规作作一一条条弦弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OMCDABE例：例：平分已知弧平分已知弧ABAB已知：弧已知：弧AB作法：作法：连结连结AB.作作AB的垂直平分线的垂直平分线 CD，交弧，交弧AB于点于点E.点点E E就
14、是所求弧就是所求弧ABAB的中点。的中点。求作：弧求作：弧AB的中点的中点挑战自我画一画CDABEFG变式一变式一：求弧求弧ABAB的四等分点。的四等分点。mnCABE变式二变式二：你能确定你能确定 弧弧ABAB的圆心吗？的圆心吗？mnDCABEmnO你能你能破镜重破镜重圆圆吗？吗？ABACmnO 作弦作弦ABABACAC及它们的垂直平分及它们的垂直平分线线m mn n，交于，交于O O点；以点；以O O为圆心，为圆心，OAOA为半径作圆。为半径作圆。破镜重破镜重圆圆ABCmnO 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。作图依据：判断判断垂
15、直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧()弦所对的两弧中点的连线弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦垂直于弦,并且经过圆心并且经过圆心()圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分()平分弦的直径垂直于弦平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧()圆内两条非直径的弦不能互相平分（圆内两条非直径的弦不能互相平分（）挑战自我挑战自我 填一填填一填（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（7）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。（8）一条直线平分弦（这
16、条弦不是直径），那么这）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)挑战自我挑战自我 填一填填一填(9)弦的垂直平分线一定是圆的直径弦的垂直平分线一定是圆的直径.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E挑战自我挑战自我 填一填填一填l2.已知：如图已知：如图,O 中中,弦弦ABCD,ABCD,直径直径MNAB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.图中相等的线段有图中相等的
17、线段有:.图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有:.挑战自我挑战自我 填一填填一填l3、已知：如图，、已知：如图，O 中，中，AB为为 弦，弦，C 为为 弧弧AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D，AB=6cm，CD=1cm.求求 O 的半径的半径OA.挑战自我挑战自我 做一做做一做l4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.ABCD0EFGHMN挑战自我挑战自我做一做做一做5.5.已知：已知：ABAB和和CDCD是是O O内的两条平行弦，内的两条平行弦，AB=6cmAB=6cm，CD=8cmCD=8cm，O O的半径为的半
18、径为5cm5cm，（1 1）请根据题意画出符合条件的图形）请根据题意画出符合条件的图形（2 2）求出）求出ABAB、与、与CDCD间的距离。间的距离。（1）（2）挑战自我挑战自我 做一做做一做解：（解：（1）OAB+AOC=90 AC=CB，OC 是半径（已知）是半径（已知）OC AB(如果圆的直径平分弧，那么这如果圆的直径平分弧，那么这条直径垂直这条弧所对的弦）条直径垂直这条弧所对的弦）ADO=90 OAB=90-35=55 ABCDO如图，在扇形如图，在扇形OAB中，中，C是是AB的中点，的中点，OC交交AB于点于点D AOC=35 ,AD=16cm求（求（1）OAB的度数（的度数（2）A
19、B的长的长挑战自我挑战自我 做一做做一做AB解：（解：（2）(如果圆的直径平分弧，那么这条直径如果圆的直径平分弧，那么这条直径平分这条弧所对的弦平分这条弧所对的弦)AC=CB，CD经过圆心经过圆心O（已知）（已知）DB=AD=16cmAB=2AD=32cmABCDO如图，在扇形如图，在扇形OAB中，中，C是是AB的中点，的中点，OC交交AB于点于点D AOC=35 ,AD=16cm求（求（1）OAB的度数（的度数（2）AB的长的长挑战自我挑战自我 做一做做一做小结小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半弦的垂线，或作垂直于弦的直
20、径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO已知：已知：AB是是 O直径，直径，CD是弦，是弦，AECD，BFCD求证：求证：ECDF.AOBECDF挑战自我挑战自我再上新台阶再上新台阶回味引伸回味引伸 垂径定理及其推论垂径定理及其推论1的实质是把的实质是把(1)直线直线MN过圆心过圆心;(2)直线直线MN垂直垂直AB;(3)直线直线MN平分平分AB;(4)直线直线MN平分弧平分弧AMB;(5)直线直线MN平分弧平分弧ANB 中的两个条件进行了中的两个条件进行了四种四种组合组合,分别推出了其余的三个分别推出了其余的三个
21、 结论结论.这样的组合还有这样的组合还有六种六种，由于时间有限，由于时间有限,课堂上未作课堂上未作 进一步的推导进一步的推导,同学们课下不妨试一试同学们课下不妨试一试.课堂小结：课堂小结：本节课探索发现了本节课探索发现了垂径定理垂径定理的的推论推论1和推和推论论2,并且运用推论并且运用推论1等分弧等分弧。要要分分清清推推论论1的的题题设设和和结结论论,即即已已知知什什么么条条件件,可可推推出出什什么么结结论论.这这是是正正确确理理解解应应用用推推论论1的关键的关键;例例3是基本几何作图是基本几何作图,会通过作会通过作弧所夹弦弧所夹弦的的垂直平分线垂直平分线来来等分弧等分弧.能够体会能够体会转化
22、转化思想思想在这里的运用在这里的运用.圆的相关概念圆的相关概念l圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧(arc).l直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都叫做半圆每一部分都叫做半圆(如弧如弧 ).n连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(chord)(如弦如弦AB).On经过圆心的弦叫做经过圆心的弦叫做直径直径(diameter)(如直径如直径AC).ABn以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.n 小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用两个字母用两个字母).ABAmBn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ABCmDAmBABC同心圆同心圆:圆心相同、半径不相等的两个圆叫圆心相同、半径不相等的两个圆叫做做同心圆。同心圆。弓形弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形弓形.等圆、等弧等圆、等弧:能够重合的两个圆叫做能够重合的两个圆叫做等圆等圆.在同圆或等圆中在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做能够互相重合的弧叫做等弧等弧.