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1、第一节定积分概念第1页，本讲稿共29页第一节第一节 定积分概念定积分概念 为了解决具有可加性的连续分布为了解决具有可加性的连续分布的非均匀量的求和问题，人们从大的非均匀量的求和问题，人们从大量实际问题的研究中抽象出来的具量实际问题的研究中抽象出来的具有重大理论意义的定积分概念有重大理论意义的定积分概念计算一个取和式的极限。计算一个取和式的极限。第2页，本讲稿共29页一、定积分概念的引入一、定积分概念的引入 1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积 闭曲线围成图形的闭曲线围成图形的面积，通常可以化为面积，通常可以化为两个（或多个）曲边两个（或多个）曲边梯形面积的代数和。梯形面积的代数和。所以求任意闭
2、曲线围所以求任意闭曲线围成图形面积的过程可成图形面积的过程可以统一，归结到求曲以统一，归结到求曲边梯形的面积上来。边梯形的面积上来。第3页，本讲稿共29页 曲边梯形是曲边梯形是由三条直边和一由三条直边和一条曲线边围成的条曲线边围成的“梯形梯形”(见右见右图）。曲线由定图）。曲线由定义在区间义在区间 上上的连续函数的连续函数 给出，三条直边给出，三条直边分别是：分别是：第4页，本讲稿共29页实例一：实例一：计算曲边梯形面积的方法计算曲边梯形面积的方法 首先将曲边首先将曲边梯形划分成若梯形划分成若干窄曲边梯形，干窄曲边梯形，再用矩形面积再用矩形面积近似替代窄曲近似替代窄曲边梯形面积，边梯形面积，然
3、后通过求和然后通过求和逼近的途径解逼近的途径解决。决。第5页，本讲稿共29页 分割：分割：将总量划分为若干部分量将总量划分为若干部分量 在区间在区间 上，任意插入上，任意插入 个分点：个分点：各区间长度为：各区间长度为：第6页，本讲稿共29页 近似：近似：用局部线性化的方法求部分量的用局部线性化的方法求部分量的近似值。近似值。在子区间在子区间 上任取一点上任取一点 以以 为底为底 为高的窄矩形面积为为高的窄矩形面积为 第7页，本讲稿共29页作为第作为第 个窄曲边梯形面积的近似值。个窄曲边梯形面积的近似值。第8页，本讲稿共29页第9页，本讲稿共29页 求和：求和：以部分量近似值之和作为总量的近以
4、部分量近似值之和作为总量的近似值。似值。将得到的将得到的 个窄曲边梯形个窄曲边梯形面积近似值的面积近似值的和作为曲边梯和作为曲边梯形面积形面积的近的近似值似值第10页，本讲稿共29页 逼近：逼近：无限细分，求和式极限，由近似无限细分，求和式极限，由近似值过渡到精确值值过渡到精确值 。设最大子区间长度为设最大子区间长度为 ，即，即 令令 ，所有的子区间长度都将趋于零，所有的子区间长度都将趋于零，此时，和式面积此时，和式面积 曲边梯形面积曲边梯形面积第11页，本讲稿共29页 定义定义:时和式时和式 的极限为的极限为曲边梯形的面积曲边梯形的面积 ，即，即 第12页，本讲稿共29页实例二：实例二：计算
5、直线运动中变力做功的方法计算直线运动中变力做功的方法 设质点沿设质点沿 轴做直线运动，与运轴做直线运动，与运动方向平行的力动方向平行的力 作用于质点，力的作用于质点，力的大小是变化的，可以表示为质点大小是变化的，可以表示为质点 坐坐标的函数，即标的函数，即按物理学概念，按物理学概念，恒力的功恒力的功定义为：定义为：第13页，本讲稿共29页 如何在恒力做功定义的基础上，确定如何在恒力做功定义的基础上，确定变力变力 在质点由在质点由 移动到移动到 全过程全过程中所做的功呢？中所做的功呢？问题：问题：第14页，本讲稿共29页 我们可以类似于曲边梯形面积的计我们可以类似于曲边梯形面积的计算，将整个过程
6、分为很多算，将整个过程分为很多子过程子过程，变力，变力在全过程中所做的功等于它在所有子过程在全过程中所做的功等于它在所有子过程中做功的代数和。中做功的代数和。即在足够短的子过程中近似认为力为即在足够短的子过程中近似认为力为恒力，从而利用恒力做功的定义求解总功。恒力，从而利用恒力做功的定义求解总功。第15页，本讲稿共29页 故在质点运动区间故在质点运动区间 上，任意插入上，任意插入 个分点：个分点：将区间划分为将区间划分为 个子区间：个子区间：各子区间长度分别为：各子区间长度分别为：第16页，本讲稿共29页在子区间上在子区间上 任取一点任取一点 按恒力做功的定义，用质点在该点按恒力做功的定义，用
7、质点在该点所受的力所受的力 与这个子区间的长度与这个子区间的长度 的的乘积乘积近似表示近似表示变力变力 在这个子过程中在这个子过程中所做的功所做的功.因此，变力因此，变力 在全过程中所做功的在全过程中所做功的近似值为近似值为 第17页，本讲稿共29页 设设 ，定义变力，定义变力 在全过在全过程中对质点所做的功为程中对质点所做的功为 上述两个问题分属几何学和力学，没有上述两个问题分属几何学和力学，没有直接联系，但是分析方法相同，若抽去问直接联系，但是分析方法相同，若抽去问题的具体内容，抓住题的具体内容，抓住变量在区间上积累变量在区间上积累的共同本质，就可以概括出定积分的概念：的共同本质，就可以概
8、括出定积分的概念：第18页，本讲稿共29页 函数函数 在区间在区间 上的定积分，是上的定积分，是函数在区间上的积累函数在区间上的积累，或者说是这个变，或者说是这个变化过程在区间产生的总效果。化过程在区间产生的总效果。解决定积分的基本方法是解决定积分的基本方法是局部线性化局部线性化方法方法和和极限方法的结合极限方法的结合。定积分概念包含以下两方面内容：定积分概念包含以下两方面内容：第19页，本讲稿共29页二、定积分定义二、定积分定义 设函数设函数 ,在区间在区间 上上,任任意插入意插入 个分点个分点：把把 分成分成 个子区间个子区间 区间长度分别为区间长度分别为第20页，本讲稿共29页 在区间在
9、区间 上任取一点上任取一点 ,将将函数值函数值 与子区间长度与子区间长度 的乘积的乘积 取和有取和有 称为称为RiemannRiemann和和 记记 第21页，本讲稿共29页 如果如果不论不论分点对区间分点对区间 如何分割，如何分割，也不也不论论在子区间在子区间 上如何选取上如何选取 点，只要点，只要时，时，RiemannRiemann和趋于确定的常数，则称此和趋于确定的常数，则称此极限值极限值为函数在该区间上的为函数在该区间上的定积分定积分，记为，记为 称为称为RiemannRiemann和的极限和的极限第22页，本讲稿共29页称为称为RiemannRiemann和的极限和的极限式中，式中，
10、称为称为积分变量积分变量，称为称为被积函数被积函数，称为被积表达式；称为被积表达式；称为积分区称为积分区间，间，分别称为分别称为积分下限和上限积分下限和上限。第23页，本讲稿共29页但是，如果但是，如果RiemannRiemann和的极限和的极限 存在就不再与分割方式和选法有关了。存在就不再与分割方式和选法有关了。应该指出应该指出，的极限过程必然是的极限过程必然是 ，而，而 不一定有不一定有 。注意：注意：Riemann Riemann和和 随区间随区间 的分的分割方式，以及在子区间割方式，以及在子区间 上上 的选的选法不同而不同。法不同而不同。第24页，本讲稿共29页 当当Riemann R
11、iemann 和的极限和的极限 存在存在时，定积分时，定积分 只与被积函数只与被积函数 和积和积分区间分区间 有关有关，与积分变量的字母表，与积分变量的字母表示无关，即示无关，即 (3)(3)这里需要注意：定积分是个数值。这里需要注意：定积分是个数值。第25页，本讲稿共29页三、函数可积的充分条件三、函数可积的充分条件 如果如果 存在，则称函数可积分。存在，则称函数可积分。函数函数 在区间在区间 上可积的充分条上可积的充分条件由下述件由下述定理定理给出：给出：第26页，本讲稿共29页定理定理1 1 如果函数如果函数 在区间在区间 上上连续连续，则函数则函数 在区间在区间 上可积。上可积。定理定理2 2 如果函数如果函数 在区间在区间 上上有界有界，且只有且只有有限个间断点有限个间断点，则函数，则函数 在区在区间间 上可积。上可积。注：注：表示表示 在区间在区间 上可积。上可积。第27页，本讲稿共29页四、定积分的几何意义四、定积分的几何意义 1.1.曲边梯形的曲边梯形的面积面积（可正、也可为负）。（可正、也可为负）。2.2.表示所覆盖曲边梯形各表示所覆盖曲边梯形各部分面积的部分面积的代数和代数和。第28页，本讲稿共29页本本 节节 完完第29页，本讲稿共29页