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1、第三章 导数与微分内第1页，本讲稿共96页3.1 引出导数概念的例题引出导数概念的例题(一一)变速直线运动的瞬时速度变速直线运动的瞬时速度时速度的关系为设一物体作直线运动,其运动的路程和时间求该物体在某一时刻的瞬为此,让时间由 变化到其平均速度为:此此平均速度可以作为物体在平均速度可以作为物体在t t0 0时刻的速度的近似值时刻的速度的近似值 t t 越小越小 近似的程度就越好近似的程度就越好 第2页，本讲稿共96页(二二)曲线的切线的斜率曲线的切线的斜率因此,当t0时 极限就是物体在就是物体在t t0 0时刻时刻的瞬时速度的瞬时速度 求曲线求曲线y y f f(x x)在点在点P P(x x
2、0 0 y y0 0)处的切线的斜率处的切线的斜率 在在曲曲线线上上另另取取一一点点Q Q(x x0 0 x x y y0 0 y y)作作割割线线PQPQ 设其倾角为观察切线的形成观察切线的形成 第3页，本讲稿共96页 当当 x x0 0时时 动动点点Q Q将将沿沿曲曲线线趋趋向向于于定定点点P P 从从而而割割线线PQPQ也也将将随随之之变变动动而而趋趋向向于切线于切线PTPT 此此时时割割线线PQPQ的的斜斜率率趋趋向向于于切切线线PTPT的斜率的斜率 第4页，本讲稿共96页 上面两个例子的实际意义完全不同，但从抽象的上面两个例子的实际意义完全不同，但从抽象的数学关系来看，其实质是一样的
3、，都是函数的改变量数学关系来看，其实质是一样的，都是函数的改变量与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于零时与自变量的改变量之比，当自变量的改变量趋于零时的极限，数学上把这种极限叫做函数的导数的极限，数学上把这种极限叫做函数的导数即如果极限如果极限3.2 导数的定义导数的定义(一一)函数在一点处的导数函数在一点处的导数定义3.1 设函数在点的某个邻域内有定义，有定义，第5页，本讲稿共96页存在，即如果令如果上述极限不存在,则称该函数在点不可导.又可以表示为又可以表示为则在点的导数值称为函数在点处的导数，记作记作则称函数在点处可导，其极限其极限第6页，本讲稿共96页导数的其它定义式导数的其它定
4、义式:导数的定义式:有了导数的概念后，前面两个问题便可叙述为有了导数的概念后，前面两个问题便可叙述为:第7页，本讲稿共96页 由导数定义可得求函数在点处导数的步骤由导数定义可得求函数在点处导数的步骤:（3）求极限:（2）计算比值:（1）求函数的改变量:就是函数在点处的导数即即（2）曲线在点处的切线的斜率导数即速度 就是路程函数在处的（1）作变速直线运动的物体在时刻的瞬时第8页，本讲稿共96页 例例1 1 求函数求函数 y y x x2 2 在点在点x x 2 2处的导数处的导数 解解 导数的定义式:或或第9页，本讲稿共96页 定义定义3.2 如果函数如果函数y y f f(x x)在区间在区间
5、I I内每一点内每一点x x都对应都对应一个导数值一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数则这一对应关系所确定的函数称为函数y y f f(x x)的导函数的导函数 简称导数简称导数 记作记作提问提问:1.1.导函数的定义式如何写导函数的定义式如何写?(二)导函数的定义答答第10页，本讲稿共96页2 2.f.f (x x0 0)与与f f (x x)是什么关系是什么关系?就是其导函数在点处的函数值,即函数在点处的导数答答:例2 设求解解:由此可见由此可见第11页，本讲稿共96页解解:例3 第12页，本讲稿共96页(三)导数的几何意义法线方程为法线方程为:即 这就是导数的几何意义这就是导数
6、的几何意义程为程为:因此，曲线在点处的切线方在点处的切线斜率 函数在点处的导数就是曲线就是曲线其中其中第13页，本讲稿共96页 例例4 4 求求曲线曲线 y y x x2 2 在点在点x x 2 2处的处的的切线方程和法线方程的切线方程和法线方程.解解 由例由例1得得切线斜率切线斜率 因此切线方程为因此切线方程为:即即法线方程为法线方程为:即即第14页，本讲稿共96页(四四)左右导数左右导数导数与左右导数的关系导数与左右导数的关系:函数函数f f(x x)在开区间在开区间(a a b b)内可导是指函数在区间内可导是指函数在区间内每一点可导内每一点可导 函数函数f f(x x)在闭区间在闭区间
7、 a a b b 上可导是指函数上可导是指函数f f(x x)在开区在开区间间(a a b b)内可导内可导 且在且在a a点有右导数、在点有右导数、在b b点有左导数点有左导数 函数在区间上的可导性函数在区间上的可导性:第15页，本讲稿共96页应注意的问题应注意的问题:这这个个结结论论的的逆逆命命题题不不成成立立 即即函函数数y y f f(x x)在在点点x x0 0处连续处连续 但在点但在点x x0 0处不一定可导处不一定可导 (五)可导与连续的关系 定理定理3.1 如果函数如果函数y y f f(x x)在点在点x x0 0处可导处可导 则它在点则它在点x x0 0处必连续处必连续 这
8、是因为这是因为:第16页，本讲稿共96页右导数右导数左导数左导数显然两者不相等显然两者不相等,因为因为:如函数连续，但不可导所以不存在(见图).第17页，本讲稿共96页解解:又又例例5 设设所以 在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性处的连续性及可导性.第18页，本讲稿共96页1常函数的导数即2.幂函数的导数3.3 导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则第19页，本讲稿共96页即注:对于一般的幂函数 3正弦函数与余弦函数的导数类似有(后面再证).同理可得即,第20页，本讲稿共96页 4对数函数的导数 即特别地，当时，有第21页，本讲稿共96页5指数函数的导数特别地，当时，有第22页
9、，本讲稿共96页 (二)导数的四则运算法则 1代数和的导数代数和的导数 注注1 1:该法则可以推广到有限多个函数代数和的情该法则可以推广到有限多个函数代数和的情形形.解解:例1 设 求且且如果都是的可导函数，则也是的可导函数，第23页，本讲稿共96页 注注2:该法则可以推广到有限多个函数乘积的情该法则可以推广到有限多个函数乘积的情形形.如如:2乘积的导数如果都是的可导函数，则也是的可导函数，且且特别地，当时，则有第24页，本讲稿共96页解解:3商的导数商的导数且例3 设 求例2 设求 如果都是的可导函数，则也是的可导函数，且且第25页，本讲稿共96页解解:解:即例4 设 求第26页，本讲稿共9
10、6页同样方法可以求出:解解:例5 设求例6 求经过原点且与曲线相切的直线方程的直线方程第27页，本讲稿共96页 解:设所求直线方程为又切点是曲线和切线的公共点，所以又切点是曲线和切线的公共点，所以或所以所以,所求直线方程为所求直线方程为切点为由导数的几何意义由导数的几何意义,得得直线与曲线的直线与曲线的所求直线方程为所求直线方程为解得或第28页，本讲稿共96页(三三)复合函数的导数复合函数的导数或 注注1:这个公式可以推广到两个以上函数复合的这个公式可以推广到两个以上函数复合的情形情形 么复合函数也在点处可导,而函数在对应的点处可导，定理3.2 如果函数在点处可导,那那且有且有第29页，本讲稿
11、共96页例1 求下列函数的导数.显然是由解:显然是由两个函数复合的数复合的,因此因此三个函数复合而成的三个函数复合而成的,因此因此第30页，本讲稿共96页 注注2:2:对于复合函数的求导，在运用公式熟练之对于复合函数的求导，在运用公式熟练之后，计算时就不必写出中间变量了后，计算时就不必写出中间变量了 解:把该函数先看作以下两个函数复合而成的:再把看作以下两个函数复合的:例2 求的导数第31页，本讲稿共96页解:例3 求的导数.第32页，本讲稿共96页解例4 求的导数.第33页，本讲稿共96页v显函数与隐函数显函数与隐函数 形如形如y y f f(x x)的函数称为显函数的函数称为显函数 例如例
12、如 y y sin sin x x y y ln ln x x e ex x 都是显函数都是显函数 由方程由方程F F(x x y y)0 0所确的函数称为隐函数所确的函数称为隐函数 例如 方程xy310确定的隐函数为(四)隐函数的导数有些隐函数不能化成显函数,例如由直接由方程求出其导数的方法直接由方程求出其导数的方法.现在现在,介绍一种不用将隐函数化为显函数就可以介绍一种不用将隐函数化为显函数就可以确定的隐函数确定的隐函数.第34页，本讲稿共96页隐函数的求导方法：解之得 解：方程求导数，的两边同时对的导数.例1 求由方程所确定的隐函数得到隐函数的导数得到隐函数的导数.及和的一个方程从中解出
13、即即在求导过程中，把看成的函数，可得到包含将方程两边逐项对自变量求导数，即得提示提示:(y y2 2)2 2yy yy 第35页，本讲稿共96页解之得 例2 求由方程确定的隐函数的导数及 y|x=0 解:方程两边对求导，得因为当因为当x x 0 0时时 从原方程得从原方程得y y 1 1 所以所以 第36页，本讲稿共96页解解:例3 把椭圆方程的两边分别对把椭圆方程的两边分别对x x求导求导 得得 所求的切线方程为所求的切线方程为 第37页，本讲稿共96页(五五)反函数的求导法则反函数的求导法则定理定理3.33.3 如果函数如果函数x x f f(y y)在某区间在某区间I Iy y内单调、可
14、导且内单调、可导且f f (y y)0 0 那么它的反函数那么它的反函数y y f f 1 1(x x)也可导也可导 并且并且 简要证明简要证明 由于由于x x f f(y y)可导可导(从而连续从而连续)所以所以x x f f(y y)的反函数的反函数y y f f 1 1(x x)连续连续 当当 x x0 0时时 y y0 0 所以所以第38页，本讲稿共96页 例例2 2 证明证明(arctan(arctan x x)证证 因为因为y y arctan arctan x x是是x x tan tan y y的反函数的反函数 所以所以 例例1 1 证明证明(arcsin (arcsin x
15、x)证证 因为因为y y arcsin arcsin x x是是x x sin sin y y的反函数的反函数 所以所以反函数的求导公式:第39页，本讲稿共96页 方程两边先同时取自然对数，然后将取了对数方程两边先同时取自然对数，然后将取了对数的结果利用对数的性质进行充分化简的结果利用对数的性质进行充分化简,最后将化简后最后将化简后的结果看作隐函数的结果看作隐函数,应用隐函数求导法求出其导数应用隐函数求导法求出其导数(六六)取对数求导法取对数求导法 解解:函数两边取对数函数两边取对数,得得构成的比较复杂的函数及幂指函数的求导构成的比较复杂的函数及幂指函数的求导用法用法:常用于几个因式通过乘、除
16、、开方所常用于几个因式通过乘、除、开方所例1 求函数的导数.第40页，本讲稿共96页化简得即有另解另解:两边同时对求导,得即即第41页，本讲稿共96页于是于是 即上式两边对求导，得例2 求指数函数的导数.解:两边取自然对数并化简，得特别地，当时，有同理,幂函数的导数为:第42页，本讲稿共96页于是 例3 求函数的导数.解解:两边取自然对数并化简，得两边取自然对数并化简，得上式两边对求导，得第43页，本讲稿共96页(七)由参数方程所确定的函数的导数 设设 x x j j(t t)具有反函数具有反函数 t t j j 11(x x)且且 t t j j 11(x x)与与y y y y(t t)构
17、成复合函数构成复合函数y y y y j j 11(x x)若若x x j j(t t)和和y y y y(t t)都可导都可导 则则第44页，本讲稿共96页 例7 解解:第45页，本讲稿共96页(七七)基本导数公式基本导数公式(7)(8)(3)(4)(1)(2)1.基本初等函数的导数(为常数)(5)(6)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)第46页，本讲稿共96页 2导数的四则运算法则导数的四则运算法则第47页，本讲稿共96页(八)综合举例:例 1设求解解:第48页，本讲稿共96页解解:例 2设求第49页，本讲稿共96页例 3由求解解:第50页，本讲稿共96页例4
18、设解:当时,当时,当时,第51页，本讲稿共96页不存在.第52页，本讲稿共96页第53页，本讲稿共96页第54页，本讲稿共96页 习题3-32求下列函数的导数：(1)(2)(3)3求下列函数的导数：1.用导数的定义求下列函数在给定点的导数在 点处在 点处(1)(2)(3)(4)4求下列复合函数的导数：第55页，本讲稿共96页(7)(8)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(1)(2)(1)(2)5求下列方程确定的隐函数的导数：求6求下列函数的导数：7求曲线 在点 处的切线方程和法线方程第56页，本讲稿共96页3.4高阶导数高阶导数或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数二阶及二阶以上的导数统称为高
19、阶导数 函数的一阶导数相应地，把的导数叫做它的导数为函数的二阶导数,记作如果导函数仍是的可导函数，则称数，记作数，记作类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三三阶导数的导数叫做四阶导数，一般地函数的阶导数的导数叫做函数的阶导第57页，本讲稿共96页解解:例1 求函数的二阶及三阶导数第58页，本讲稿共96页解解:因为因为所以例2 求函数的阶导数第59页，本讲稿共96页解之得 解：方程求导数，的两边同时对的二阶导数.例3 求由方程所确定的隐函数得第60页，本讲稿共96页3.5函数的微分函数的微分 函数的导数表示函数关于自变量变化的快慢程度函数的导数表示函数关于自变
20、量变化的快慢程度(变化率变化率)但在许多情况下，需要考察或者估算函数改但在许多情况下，需要考察或者估算函数改变量的大小，特别是当自变量发生微小变化时函数改变变量的大小，特别是当自变量发生微小变化时函数改变量的大小这就需要引进微分的概念量的大小这就需要引进微分的概念 一、微分的概念一、微分的概念引例 已知正方形的面积一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的基本公式与运算法则四、微分的形式不变性五、微分在近似计算上的应用其边长由变化到是边长的函数若若第61页，本讲稿共96页正方形的面积改变的近似正方形的面积改变的近似面积相应的改变量为面积相应的改变量为:如图中蓝色部分区域即表示很微小时,当问正方
21、形的面积改变了多少?值是多少值是多少?当边长由变化到第62页，本讲稿共96页可以把分成两部分:近似地表示即因此,当很少时，第二部分:(图中纯的线性函数的线性函数(图中天蓝部分图中天蓝部分)，第一部分:是时，当蓝部分蓝部分)，是比较高阶的无穷小量无穷小量,可用第63页，本讲稿共96页 设函数设函数y y f f(x x)在某区间内有定义在某区间内有定义 x x0 0及及x x0 0 x x在这区在这区间内间内 如果函数的增量如果函数的增量 y y f f(x x0 0 x x)f f(x x0 0)可表示为可表示为 y y A A x x o o(x x)其中其中A A是不依赖于是不依赖于 x
22、x的常数的常数 o o(x x)是比是比 x x高阶的无穷小高阶的无穷小 那么称函数那么称函数y y f f(x x)在点在点x x0 0是可微的是可微的 而而A A x x叫做函数叫做函数y y f f(x x)在点在点x x0 0相应于自变量增量相应于自变量增量 x x的微分的微分 记作记作dydy 即即dydy A A x x 微分的定义微分的定义第64页，本讲稿共96页 函数函数f f(x x)在点在点x x0 0可微可微 函数函数f f(x x)在点在点x x0 0可导可导 函数在点函数在点x x0 0的微分一定是的微分一定是 dydy f f (x x0 0)x x 可微与可导的关
23、系可微与可导的关系:yf(x)在点x0可微yAxo(x)dyAx 这是因为这是因为 一方面一方面 另一方面另一方面其中其中a a0(0(当当 x x0)0)且且A A f f(x x0 0)是常数是常数 a a x x o o(x x)第65页，本讲稿共96页 函数函数y y f f(x x)在任意点在任意点 x x 的微分的微分 称为函数的微分称为函数的微分 记作记作dydy 或或 dfdf(x x)即即 dy dy f f (x x)x x 例如例如 d d cos cos x x (cos(cos x x)x x sin sin x x x x dedex x (e e x x)x x
24、e ex x x x 自变量的微分自变量的微分 因为当因为当y y x x时时 dy dy dx dx (x x)x x x x 所以通常把自变量所以通常把自变量 x x 的增量的增量 x x称为自变量的微分称为自变量的微分 记作记作dxdx 即即 dx dx x x 因此因此 函数函数y y f f(x x)的微分又可记作的微分又可记作 dy dy f f (x x)dxdx 第66页，本讲稿共96页例例1 求下列函数的微分求下列函数的微分解 (1)因为所以可见可见,函数的导数即是函数的微分与自变量的函数的导数即是函数的微分与自变量的微分的商微分的商,因此常常把导数也称为微商因此常常把导数也
25、称为微商.的关系的关系.它反映了函数的微分与其导数之间它反映了函数的微分与其导数之间到注:对两边同时除以得得第67页，本讲稿共96页解:解之得故例2已知求 及并把看作的函数,得(2)方程两边同时对求导,第68页，本讲稿共96页二、微分的几何意义当当x x从从x x0 0变到变到x x0 0 x x时时 y y是曲线上点是曲线上点MM的纵坐的纵坐所以所以dydy是过点是过点(x x0 0 f f(x x0 0)的切线上点的纵的切线上点的纵坐标坐标 当当|x x|很小时很小时|y y dydy|比比|x x|小得多小得多 因此因此 在点在点MM的邻近的邻近 我们可以用切线段来我们可以用切线段来近似
26、代替曲线段近似代替曲线段 标的增量标的增量;而而的增量的增量.同时有第69页，本讲稿共96页 根据定义，函数微分就是函数导数与自变量微分之根据定义，函数微分就是函数导数与自变量微分之积，所以由导数的基本公式和运算法则得到相应的微分积，所以由导数的基本公式和运算法则得到相应的微分基本公式和运算法则基本公式和运算法则（9）三、微分的基本公式与运算法则第70页，本讲稿共96页d(x)x 1dx d(sin x)cos x dx d(cos x)sin x dx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan x dx d(csc x)csc x c
27、ot x dx d(a x)ax lna dx d(e x)ex dx(x )x 1(sin x)cos x(cos x)sin x(tan x)sec2 x(cot x)csc2x(sec x)sec x tan x(csc x)csc x cot x(a x)a x lna (ex)ex微分公式微分公式:导数公式导数公式:1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 三、微分的基本公式与运算法则第71页，本讲稿共96页微分公式:导数公式:第72页，本讲稿共96页2.2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 公式公式d d(u u v v)vduvdu udvud
28、v 的证明的证明 因为因为 d d(uvuv)(u u v v uvuv)dxdx u u vdxvdx uvuv dxdx 而而 u u dxdx dudu v v dxdx dvdv 所以所以 d d(uvuv)vduvdu udvudv (uv)uv (Cu)Cu (uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdu d(uv)vduudv求导法则求导法则 微分法则微分法则 第73页，本讲稿共96页 四、微分形式的不变性四、微分形式的不变性 由此可见，无论 是自变量还是其它变量 的函数，其微分的形式均保持不变这一性质称为微分形式的不变性其微分为:设函数可导，当是自变量时，代入上式得代入上式
29、得而函数的微分则为复合函数,且若其微分为第74页，本讲稿共96页例3 求解:解解:对方程两边求微分对方程两边求微分,得得dxyxdyyxy)2()23(2y dyy dxx dyx dxdyy2232所以的微分的微分例4 求由方程所确定的隐函数第75页，本讲稿共96页例5 在下列等式左端的括号中填入适当的解:一般有函数，使等式成立.一般有第76页，本讲稿共96页五、微分在近似计算上的应用五、微分在近似计算上的应用可以用该式计算函数增量的近似值可以用该式计算函数增量的近似值.又因为所以近似公式又可写作所以近似公式又可写作 即由微分的定义知，当很小时，有近似公式:该式可以用来计算函数在点附近的近似
30、值第77页，本讲稿共96页若分别令在中,取时,上式又变为:则会得到以下近似计算公式(当比较小时成立):第78页，本讲稿共96页解:令解:例7 求的近似值.例6 求的近似值.代入上述公式代入上述公式(5)中中,得得第79页，本讲稿共96页例8 求的近似值.解:由于角度较大,所以不能使用公式可令第80页，本讲稿共96页习题35 1已知函数 ,当 ，求 ，2求下列函数的微分：3求下列函数的近似值：第81页，本讲稿共96页欲求 时刻的瞬时速度可见这一小段的路程为因此,这一小段时间内小球运动的平均速度为已知路程和时间之间的函数关系从而得到小球在 点的瞬时速度为先让时间 发生微小的改变,即从 变化到已走过
31、路程为已走过路程为先让时间 发生微小的改变,即从 变化到运动方向第82页，本讲稿共96页解因此切线方程为 ，即 法线方程为 即五、可导与连续的关系定理2.1 如果函数 在 点处可导，则它在 处必连续 证明 因为函数 在 点处可导，则存在所以有即函数 在 点处连续 注意:这个定理的逆命题不一定成立即连续是可导的必要条件，不是充分条件 如函数 连续，但不可导因为 右导数左导数显然两者不相等,所以 不存在(见图)在 点处连续显然在 点不可导,因为该点处无切线第83页，本讲稿共96页第84页，本讲稿共96页有限次的四则运算和复合运算基本初等函数初等函数导数求法的基本思路第85页，本讲稿共96页演示目的
32、反映当 越来越小时,函数的改变量与函数的微分越来越接近.即第86页，本讲稿共96页习题课一、导数和微分的概念及应用二、导数和微分的求法 导数与微分 第三章 第87页，本讲稿共96页一、一、导数和微分的概念及应用导数和微分的概念及应用 导数导数:当时,为右导数当时,为左导数 微分微分:关系关系 :可导可微第88页，本讲稿共96页例例1.1.设存在,求解解:原式=第89页，本讲稿共96页例例2.2.设试确定常数试确定常数 a a,b b 使使 f f(x x)处处可导处处可导,并求并求解解:得即第90页，本讲稿共96页是否为连续函数?判别判别:第91页，本讲稿共96页二、二、导数和微分的求法导数和
33、微分的求法1.正确使用导数及微分公式和法则 2.熟练掌握求导方法和技巧(1)求分段函数的导数注意讨论界点界点处左右导数是否存在和相等(2)隐函数求导法对数微分法(3)复合函数求导法(可利用微分形式不变性)(4)高阶导数的求法逐次求导归纳;间接求导法;第92页，本讲稿共96页基本导数公式基本导数公式 基本初等函数的导数公式 (1)(C)0(2)(xm)m xm1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec2x(6)(cot x)csc2x(7)(sec x)sec xtan x(8)(csc x)csc xcot x(9)(a x)a x ln a(10)(e x)ex第93页，本讲稿共96页 解 复合函数的求导法则:例 解解 例 函数 可看作是由ye u ux3复合而成的 因此 因此因此第94页，本讲稿共96页 例复合函数的求导法则:例 解 解 第95页，本讲稿共96页方程两边求微分方程两边求微分,得得例 已知求解解：第96页，本讲稿共96页