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1、第二章导数与微分第二章导数与微分一、基本概念及结论一、基本概念及结论1.1.导数定义的形式及特征导数定义的形式及特征1/24/20231(3)求函数的导数用定义形式求函数的导数用定义形式(1);求函数在某点的求函数在某点的导数特别是分段函数在分段点的导数用定义形式导数特别是分段函数在分段点的导数用定义形式(2)简便简便.1/24/20232特征：特征：导数是两个改变量比的极限，分子是导数是两个改变量比的极限，分子是两点两点函数值的改变量，其中有一项是函数值的改变量，其中有一项是自变量的改变量，自变量的改变量，注意注意 要从要从 和和 两侧趋近于两侧趋近于0；要从要从 和和两侧趋近于两侧趋近于0
2、；分母是两点；分母是两点显然有：显然有：当当函数可导时，満足上述特征的极限可用导数表函数可导时，満足上述特征的极限可用导数表示。示。1/24/20233分析分析:例例1.填空填空1/24/20234分析分析:1/24/20235例2.设处连续中，求求解：题目未给出 可导的条件，不能用导数的乘法公式，只能用导数定义来求.注注:常见不可导情形常见不可导情形从函数图形看从函数图形看,光滑的曲线处处可导光滑的曲线处处可导;在角点或尖点处函数不可导在角点或尖点处函数不可导.1/24/202362.2.函数在点函数在点 处可导的充要条件是其左、右处可导的充要条件是其左、右导数存在且相等，求分段函数（包括含
3、绝对值导数存在且相等，求分段函数（包括含绝对值符号的函数）在分段点处的导数要用左、右导符号的函数）在分段点处的导数要用左、右导数法。即数法。即1/24/20237例例3.求求解：解：1/24/202383.3.可导与連续的关係：可导与連续的关係：如果函数如果函数f(x)在点在点 处可导，则在点处可导，则在点 处一定处一定連续，反之不然；不連续则一定不可导。連续，反之不然；不連续则一定不可导。4.4.曲线的切线斜率与切线方程曲线的切线斜率与切线方程1/24/20239例例4.曲线曲线在点在点_处的切线斜率等于处的切线斜率等于3在点在点_处的切线平行处的切线平行OX轴轴.分析分析:即在点 处的切线
4、斜率等于3,在点 处的切线平行OX轴5.5.基本求导公式基本求导公式1/24/2023101/24/202311(15)(16)1/24/2023126.6.求导法则求导法则(和、差、积、商和、差、积、商)7.7.复合函数求导法则复合函数求导法则设处可导，在对应点u处可导，则复合函数在x处可导，且有1/24/202313由于公式不管u是自变量或中间变量都成立，因此称为一阶微分形式不变性.8.反函数求导法则设1/24/202314例5.设分析：9.高阶导数求法（只要求二阶导数）例6.设解：1/24/202315例7.设 由方程 确定，求解：方程两边对y求导，1/24/2023168.8.微分的概
5、念微分的概念例8.设 的一阶、二阶导数均存在且不为零，为其反函数，求解：1/24/202317（5）一元函数可导必可微，可微必可导）一元函数可导必可微，可微必可导例9.若，则当时，该函数在处的微分（A）等价无穷小；（B）同阶但不等价无穷小；（C）低阶无穷小；（D）高阶无穷小.1/24/202318分析：因为故应选（B）例例10.填空填空（A A）等价；（）等价；（B B）同阶；（）同阶；（C C）低阶；（）低阶；（D D）高阶）高阶.分析分析：故选（故选（B B）1/24/202319例11.函数 在点 处的增量 与其微分之差分析:例12.函数 在点 处可导是其在该点可微的（）（A）必要条件；
6、（B）充分条件；（C）充分必要条件；（D）不充分也不必要条件.分析：一元函数可导一定可微，可微也一定可导，故应选（C）1/24/202320二、基本问题及解法二、基本问题及解法问题问题(一一)：与导数定义有关的问题：与导数定义有关的问题分析分析:1/24/2023211/24/202322（1）复合函数求导：复合函数求导：先按法则后按公式，由外先按法则后按公式，由外层到里层，一层一层求，不要漏掉一层；对抽层到里层，一层一层求，不要漏掉一层；对抽象的复合函数求导，要注意导数符号的象的复合函数求导，要注意导数符号的“/”在不同位置表示对不同的变量求导，例如，在不同位置表示对不同的变量求导，例如，问
7、题问题(二二):):求各类一元函数的导数求各类一元函数的导数1/24/2023231/24/202324例3.已知分析：由题设知，上式中令例4.求下列函数的导数解：1/24/2023251/24/202326例5.求下列函数的微分解：1/24/202327(2).(2).抽象的复合函数求导法抽象的复合函数求导法1/24/2023281/24/2023291/24/202330(3)(3)求隐函数的导数与微分求隐函数的导数与微分运算方法运算方法:两边求导法两边求导法1/24/202331例例11.11.分析：分析：对方程两边求导，得对方程两边求导，得(*)1/24/2023321/24/2023
8、331/24/2023341/24/2023351/24/202336例15.设是由方程所确定，求1/24/202337解：方程两边对x求导，y是x的函数，按中间变量处理，再根据变上、下限积分的导数公式.所以1/24/202338例16.设 可导，函数 由方程所确定，求解：两边对x求导，y是x的函数，按中间变量处理.1/24/202339(4)取对数求导法取对数求导法对形如 的幂指函数以及比较复杂的积、商、幂、方根形式的函数可用取对数求导法.先两边取自然对数化为隐函数，然后按隐函数求导法求导.1/24/2023401/24/2023411/24/202342例19.设解：为方便引进变量则对于x
9、求导，1/24/202343所以1/24/202344(5)分段函数求导法分段函数求导法1/24/2023451/24/202346不存在.1/24/202347于是1/24/2023481/24/202349 分析分析:一种途径是先讨论可导性一种途径是先讨论可导性,由可导必连续由可导必连续,若若不可导时再讨论是否连续不可导时再讨论是否连续;另一种途径是先讨论连续另一种途径是先讨论连续性若不连续性若不连续,则一定不可导则一定不可导,若连续若连续,再讨论是否可导再讨论是否可导.1/24/202350例23.设 连续，且 令求解：即1/24/2023511/24/202352问题问题(三三)：求曲
10、线的切线斜率与切线方程：求曲线的切线斜率与切线方程1/24/202353例例2.1/24/202354例3.设 在 的某个邻域内连续，且1/24/202355（A）2；（B）1；（C）0；（D）2分析：由题设知，故应选（C）则1/24/202356解：由已知条件可知故所求的切线方程为例4.已知两曲线 在点（0，0）处的切线相同，求此切线方程，并求极限1/24/202357解解由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为例例51/24/202358问题问题(五五)可导问题中常数的确定可导问题中常数的确定运算依据运算依据:1/24/20
11、23591/24/202360三、课后练习三、课后练习分析：由又由1/24/202361故选（C）分析：原式1/24/2023621/24/2023634.设分析：利用导数定义，有5.设则01/24/2023646.提示：被积函数是复合函数，先换元再求导.7.设则的反函数的不可导点的个数为（D ）.（A）0；（B）1；（C）2；（D）3若不可导，则也不可导；提示：先求 ，再利用反函数的导数公式.1/24/202365若也不可导.综合可得（D）正确.8.曲线上与直线垂直的切线方程为.9.设在x=1处可导，则110.设方程11.设（C ）1/24/202366分析：由可排除（B）、（D），对于（A）：不正确，故应选（C）.事实上，对于（C），12.若函数1/24/20236713.已知为可导的偶函数，且则（B ）14.设函数 点可导，则不能确定.分析：因为1/24/202368因此，若若故正确答案为（D）.15.设函数 上满足则1/24/202369分析：先求 的表达式，令16.设曲线 与曲线 相交于点 并在该点处有公切线，则（D ）（A）1/24/202370分析：由两曲线有交点，可知又由两曲线在点 处有公切线，可知有1/24/2023711/24/2023721/24/202373（11）设所确定，求（12）设（答：1/24/202374