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1、第三章第三章1第一节第一节 导数引例导数引例取极限得取极限得瞬时速度瞬时速度(一一)物体作变速直线运动的瞬时速度问题物体作变速直线运动的瞬时速度问题2解解所以所以例例1 13(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置4(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置5(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置6(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置7(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置8(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置9(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极
2、限位置10(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置11(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置12(二二)切线问题切线问题切线切线割线的极限位置割线的极限位置13割线割线 MN 的斜率为的斜率为切线切线 MT 的斜率为的斜率为14解解例例2 21xy因此切因此切线线方程方程为为切线斜率为切线斜率为15第二节第二节 导数概念导数概念(一一)导数的定义导数的定义定义定义比值比值 并并16形式形式1形式形式2也可记为也可记为17 这样，曲线的切线的斜率可以说成是曲线这样，曲线的切线的斜率可以说成是曲线上点的纵坐标对该点的横坐标的变化率，上点的纵坐标对该点的横坐
3、标的变化率，变化的快慢。变化的快慢。它表示函数值的变化相对于自变量的它表示函数值的变化相对于自变量的变化率有广泛的实际意义，例如，加速度就是速度对于变化率有广泛的实际意义，例如，加速度就是速度对于时间的变化率，角速度就是旋转的角度对于时间的变化时间的变化率，角速度就是旋转的角度对于时间的变化率，线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率，率，线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率，功率就是所作的功对于时间的变化率，等等功率就是所作的功对于时间的变化率，等等.速度可以说成速度可以说成是行走的路程对于时间的变化率。是行走的路程对于时间的变化率。18导函数导函数19用定义求导数的基本步骤：用定义
4、求导数的基本步骤：20例例3 3解解21例例4 4解解22例例5 5解解23例例6 6解解以后证明，以后证明，(为任意非零实数为任意非零实数)。24011/1/极限不存在极限不存在,但但例例7 7 用定义讨论函数用定义讨论函数解解25(二二)导数的几何意义导数的几何意义切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为26例例8 8解解所以切线方程为所以切线方程为27练习：练习：解解所求切线方程为所求切线方程为或或或或L的斜率的斜率28(三三)左、右导数左、右导数2 2、右导数右导数：1 1、左导数左导数：29例例9 9解解30例例1010解解31(四四)可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理 函数在
5、可导点处必连续函数在可导点处必连续.证证32例如例如,注意注意：该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立：连续未必可导连续未必可导。33(或称导数无穷大或称导数无穷大)注意：注意：此时存在铅直切线。此时存在铅直切线。34例如例如,011/1/极限不存在极限不存在,但但35例例1111解解第三节第三节 导数的基本公式与运算法则导数的基本公式与运算法则(一一)常数的导数常数的导数即即则则37(二二)幂函数的导数幂函数的导数以后证明：以后证明：特别特别，则则(三三)代数和的导数代数和的导数证证注注：公式：公式可推广到有限多个函数的可推广到有限多个函数的代数和代数和。例例1 1 求下列函数的导数：求下
6、列函数的导数：40(四四)乘积的导数乘积的导数证证推论推论证证2、可推广到有限多个函数的乘可推广到有限多个函数的乘积积，如，如 一般地，有一般地，有42例例2 2 求下列函数的导数：求下列函数的导数：或用定义：或用定义：43(五五)商的导数商的导数证证所以所以4546例例3 3 求下列函数的导数：求下列函数的导数：或解或解47(六六)对数函数的导数对数函数的导数即即Natural log is natural.由对数换底公式由对数换底公式(七七)指数函数的导数指数函数的导数即即特别地特别地,(八八)三角函数的导数三角函数的导数即即类似有类似有例例4 4解解类似可得类似可得即即51例例5 5解解
7、类似可得类似可得即即52三角函数的导数公式三角函数的导数公式53例例6 6 求下列函数的导数：求下列函数的导数：54例例7 7解解例例8 8解解55训练训练：求导数：求导数或解：或解：56(九九)复合函数的导数复合函数的导数推广推广证略证略例例9 9解解例例1010解解例例1111解解58例例1212解解例例1313解解59例例1414解解60例例1515解解61训练训练：求导数：求导数62(十十)反函数的导数反函数的导数定理定理即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数。证略证略63(十一十一)反三角函数的导数反三角函数的导数例例1616解解类似有类似有例例1
8、717解解类似有类似有xy65反三角函数的导数公式反三角函数的导数公式66例例18 18 求下列函数的导数：求下列函数的导数：67(十二十二)隐函数的导数隐函数的导数问题问题：隐函数隐函数能否不经显化而直接求导能否不经显化而直接求导?例例1919解解比较：比较：69解解例例2020解得解得方程两方程两边边关于关于 x 求求导导,得得 解解例例2121解得解得方程两方程两边边关于关于 x 求求导导,得得 70例例2222解解注注：先代入数值，再解方程，较简便。：先代入数值，再解方程，较简便。方程两方程两边边关于关于 x 求求导导,得得 71解解例例2323所求切线方程为所求切线方程为方程两方程两
9、边边关于关于 x 求求导导,得得 72解解 先先变变形形为为再再两两边边关于关于 x 求求导导，例例242473(十三十三)取对数求导法取对数求导法观察函数观察函数方法方法：先在方程两边先在方程两边取对数取对数，然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导方法求出导数求导方法求出导数。适用范围适用范围：例例2525解解等式两边取对数得等式两边取对数得注意：需把注意：需把 y 换回成原来表达式换回成原来表达式。上式上式两两边边关于关于 x 求求导导,得得75说明：说明：所以所以故省略绝对值。故省略绝对值。76练习：练习：解解等式两边取对数得等式两边取对数得上式上式两两边边关于关于 x 求求导导,得得77
10、例例2626解解等式两边取对数得等式两边取对数得或解或解对数恒等式对数恒等式上式上式两两边边关于关于 x 求求导导,得得78例例2727解解等式两边取对数得等式两边取对数得方程方程两两边边关于关于 x 求求导导,得得79思考：思考：解解用对数求导法得用对数求导法得-局部对数求导法局部对数求导法80例例2828解解81(十四十四)由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得即即例例2929解解83例例3030解解 所求切线方程为所求切线方程为84(十五十五)导数公式导数公式86第四节第四节 高阶导数高阶导数问题：问题：变速直
11、线运动的加速度。变速直线运动的加速度。因为加速度因为加速度 a 是速度是速度 v 对时间对时间 t 的变化率，的变化率，87解解例例1 1 求下列函数的二阶导数：求下列函数的二阶导数：(1)(2)(3)(4)88例例2 2解解89例例3 3解解90例例4 4求求 n 阶导数：阶导数：解解91例例5 5解解92例例6 6解解93例例7 7解解类似可得类似可得归纳可证归纳可证94例例8 8解解或解或解常用常用 n 阶导数公式：阶导数公式：(不为正整数不为正整数)96第五节第五节 函数的微分函数的微分实例：实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.(一一)微分的定义微分
12、的定义(1)(2)97问题：问题：则函数则函数的改的改变变量量为为98定义定义differential99定理定理证证(1)必要性必要性100定理定理证证(2)充分性充分性101所以导数也称为所以导数也称为“微商微商”.102(二二)微分的几何意义微分的几何意义MNT）几何意义几何意义：(如图如图)P 以直代曲以直代曲 103例例1 1解解所以所以例例2 2解解104(三三)基本微分公式基本微分公式105106微分法则：微分法则：107(四四)微分形式的不变性微分形式的不变性结论结论：此性质称为此性质称为一阶微分的形式不变性一阶微分的形式不变性。108例例3 3解法解法1 1解法解法2 2分析分析微分的计算：微分的计算：计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.也可利用微分的形式不变性计算。也可利用微分的形式不变性计算。109例例4 4解解例例5 5解解110例例6 6解解111(五五)微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用或写成或写成112例例7 7解解球球周长周长球壳球壳113例例8 8解解114常用近似公式常用近似公式(1)证证注意联系等价无穷小：注意联系等价无穷小：常用近似公式常用近似公式116例例9 9 求下列各数的近似求下列各数的近似值值：解解解解117END118