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1、1全等三角形全等三角形本章总结提升问题 1 命题与逆命题、定理与逆定理什么叫做命题？什么叫做逆命题？怎样写出一个命题的逆命题？什么叫逆定理？每个定理都有逆定理吗？例 1 下列命题的逆命题不是定理的是( )A相等的角是对顶角B两直线平行，同位角相等C全等三角形的对应角相等D线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等2问题 2 运用全等三角形解决问题从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？判定两个直角三角形全等的条件是什么？例 2 已知：如图 13T1 所示，CDAB，BAD和ADC的平分线相交于点E，过点E的直线BC分别交DC，AB于
2、C，B两点求证：ADABCD.图 13T1问题 3 尺规作图什么叫尺规作图，基本的尺规作图有哪些？运用尺规作图需要注意哪些问题？例 3 如图 13T2，已知ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求回答问题：(1)作ABC的平分线BD交AC于点D；(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.由(1)(2)观察：线段EF与线段BD有怎样的关系？3图 13T2问题 4 等腰三角形、角平分线和线段垂直平分线的综合应用利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊性质？线段的
3、垂直平分线与角平分线的性质与判定定理是怎样的？你能用全等三角形证明垂直平分线与角平分线的性质吗？例 4 如图 13T3 所示，ACCD，BDCD，线段AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD 于点F，且ACFD，连结AF，BF.求证：ABF是等腰直角三角形图 13T3等角对等边的几个应用等腰三角形是一类特殊的三角形，它比一般的三角形应用更为广泛我们在七年级已经知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，这是等腰三角形的定义，也可以作为等腰三角形的判定条件不过，它是根据三角形的边来判定它是等腰三角形的那么，能否根据三角形的角的关系来判定一个三角形是等腰三角形呢？回答是肯定的，课本的第 82 页就证
4、明了“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” ，这个结论简称为“等角对等边” 至此，我们就可以用三角形中角的关系来判定等腰三角形了下面，我们来看看这个定理的常见应用：4一、用等角对等边判定等腰三角形例 1 如图 13T4，已知ACBC，BDAD，AC与BD交于点O，ACBD.(1)求证：BCAD；(2)试判断OAB的形状，并说明理由解：(1)证明： ACBC，BDAD，CD90.在 RtACB和 RtBDA中，ABBA，ACBD，RtACBRtBDA(H.L.)，BCAD.(2)OAB是等腰三角形理由：由ACBBDA，得CABDBA，OAOB，OAB是等腰三角形点评 判定一个
5、三角形是等腰三角形的两种途径：两边相等或两角相等图 13T4二、用等角对等边证明等腰三角形例 2 如图 13T5，点O是AD，BC的交点，ACBD，BACABD.求证：ABO是等腰三角形5图 13T5解析 要证明ABO是等腰三角形，由图可知，就是要证明OAOB，也就是要证明CBADAB，则只要证明ABCBAD即可证明：ACBD(已知)，BACABD(已知)，ABBA(公共边)，ABCBAD(S.A.S.)，CBADAB(全等三角形的对应角相等)，OAOB (等角对等边)，即ABO是等腰三角形点评 由例 2 进一步弄清了证明题的两个主要步骤：分析是执果索因，即根据结论去寻找原因；证明是由因到果，
6、即由题设推理出要证明的结果三、用等角对等边计算等腰三角形例 3 已知三角形的内角分别是x度，y度，且x2y20.三角形的一边长为 7，另一边长为 10，求它的周长解析 先由内角关系x2y20，判断出该三角形为等腰三角形，再分情况求出三角形的周长解：由x2y20，得(xy)(xy)0.因为xy0，所以xy0, 即xy.由等角对等边，可知此三角形是等腰三角形当腰长是 7 时，则底边长是 10，其周长是 771024；6当腰长是 10 时，则底边长是 7，其周长是 1010727.所以这个三角形的周长是 24 或 27.点评 涉及等腰三角形的计算等问题，一般要分情况讨论，才能避免漏解7详解详析详解详
7、析【整合提升】例 1 1 C例 2 2 解析 要证 ADABCD，在 AD 上截取线段 AF，使 AFAB，只需证 DFDC 即可证明：在线段 AD 上截取线段 AF，使 AFAB，连结 EF.在ABE 和AFE 中，ABAF，BAEFAE，AEAE，ABEAFE(S.A.S.)，BAFE(全等三角形的对应角相等)CDAB，CB180(两直线平行，同旁内角互补)又DFEAFE180，CDFE.在CDE 和FDE 中，CDEFDE，CDFE，DEDE，CDEFDE(A.A.S.)，DCDF，ADAFDFABCD.例 3 3 解析 (1)以点 B 为圆心，任意长为半径画弧与 AB，BC 交于 E，
8、F 两点，再以这两点为圆心，以大于两点间距离的一半为半径画弧，连结点 B 与两弧在ABC 内部的交点并延长，与 AC 交于点 D，BD 就是所求作的角平分线8(2)分别以 B，D 为圆心，以大于 BD 一半的长为半径在 BD 的两侧画弧交于两点，连结两弧的交点，交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，EF 就是所求作的线段 BD 的垂直平分线解：(1)，(2)如图所示从图中可以看出 EF 与 BD 互相垂直平分例 4 4 解析 EF 垂直平分 AB，AFBF.只需再证AFB90，即证AFCBFD 90.根据“H.L.”可判定RtACF 和RtFDB 全等，从而CAFDFB，再由AFCCAF90可证AFCDFB 90.证明：EF 是 AB 的垂直平分线，FAFB.ACCD，BDCD，ACF 与FDB 都是直角三角形在RtACF 与RtFDB 中，ACFD，FAFB, RtACFRtFDB(H.L.)，CAFDFB.C90，CAFCFA90，CFADFB90，AFB90，9故ABF 是等腰直角三角形