2023年高数_极限.docx

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1、2023年高数_极限 第一篇：高数_极限 求函 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。 关键词：函数极限 引言 在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此驾驭好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵敏运用方面,对读者有所助益。 主要内容 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: limx-3x+2x-22x2=1 证: 由 x2-3x+2x-2-1=x2-4x+4x-2 =(x-2)2x-2=x-2 e0 取d

2、=e 则当0x-2d 时,就有 x2-3x+2x-2-11,n0)解: 当 x1 时,存在唯一的正整数k,使 k xk+1 于是当 n0 时有: xanxk+1=1a 又Q 当x+时,k+ 有 lim(k+1)akaknk+=lim(k+1)akankk+1nk+a=0a=0 及 lim nk+k+1= lim=0 k+1a=01a=0 x+limxanx 12、用左右极限与极限关系(适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形)。定理：函数极限lim左极限lim xx0-xx0f(x)存在且等于A的充分必要条件是 A。即有： f(x)及右极限lim+f(x)都存在且都等于 xx0

3、limf(x)=Alimx)=A xxxx-f(x)=lim+f(00xx01-2e-x,x0例：设f(x)=x-x,0x0,x0) 解：令f(x)= f(x)=e-(1+2x)x, g(x)= ln(1+x) 2, g“(x)=2x1+x2 2f(x)=e+(1+2x)x-32,g(x)=2(1-x)(1+x)22 由于但f “f(0)=f(0)=0,g(0)=g(0)=0 (0)=2,g(0)=2 从而运用罗比塔法则两次后得到 lime-(1+2x)ln(1+x)2x12x0=lime-(1+2x)2x1+x2x-12x0=lime+(1+2x)2(1-x)(1+x)222x-32x0=2

4、2=1 由lim法则有： x+lnx=,limxx+a= 故此例属于型，由罗比塔1x+limlnxxa=limxaxa-1x+=lim1axax+=0(a0,x0) 14、利用泰勒公式 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比运用罗比塔法则更为便利，以下为常用的绽开式： 1、ex=1+x+x22!x3+LL+xnn!+o(x) n2、sinx=x-3!x2+x55!x4+LL+(-1)n-1x2n-1(2n-1)!n+o(x2n) 3、cosx=1-2!+4!2+LL+(-1)x2n(2n)!+o(x2n+1) 4、ln(1+x)=x- 5、(1+x) 6、11-xax2+LL+(-1)n-

5、1xnn+o(x)n n!x+o(x)nn=1+ax+2a(a-1)2!x+L+nn2a(a-1)L(a-n+1) = 1+x+x+LL+x+o(x)n 上述绽开式中的符号o(x)都有: nlimo(x)x0xn=0 例:求lima+2x-a+xx(a0) x0解:利用泰勒公式，当x0 有 1+x=1+x2+o(x) 于是 lima+2x-a+x0x x=a(1+2xlima-1+xa)0x xa+1(2x)+o(x)-1-1x-=1lim2a2ao(x)0x x(x)=ax(x)1lim2a+ox=lim2ax+ox0x=1 x02a 15、利用拉格朗日中值定理 定理:若函数f满意如下条件：

6、(I)f 在闭区间上连续(II)f 在(a ,b)内可导 则在(a ,b)内至少存在一点x,使得f(x)=f(b)-f(a)b-a 此式变形可为: f(b)-f(a)b-a=f(a+q(b-a)(0q1) 例: 求 limxe-exsinxx0x-sinx 解:令f(x)=e 对它应用中值定理得 e-exsinx=f(x)-f(sinx)=(x-sinx)f(sinx+q(x-sinx)(0q1)即: e-exsinxx-sinx=f(sinx+q(x-sinx)(0q1) Qf(x)=ex连续 limf(sinx+q(x-sinx)=f(0)=1 x0从而有: lime-exsinxx0x-

7、sinx=1 16、求代数函数的极限方法(1)有理式的状况，即若: R(x)=P(x)Q(x)=a0xmn+a1xm-1n-1+LL+am+LL+bnb0x+b1x(a00,b00) (I)当x时，有 mnm-1n-1limP(x)Q(x)x=lima0x+a1x+LL+am+LL+bnxb0x+b1xa0 m=nb0=0 mn (II)当x0 时有: 若Q(x若Q(x若Q(x0)0 则 lim0P(x)Q(x)x0=P(x0)Q(x0) P(x)Q(x)=)=0 而 P(x0)0 则lim0 x0)=0,P(x0)=0,则分别考虑若x0)P1(x)s为P(x)=0的s重根,即:P(x)=(x

8、-x0 也为Q(x)=0的r重根,即: Q(x)=(x-x0)Q1(x)r 可得结论如下： 0 , srs-r(x-x0)P1(x)P1(x0)P(x)lim=lim= , s=r xx0Q(x)xx0Q1(x)Q1(x0) ,s 1/x是无穷小量 |sinx|sinx/x=0 lim(x2-1)/(2x2-x-1)lim(x2-1)/(2x2-x-1)= lim(1-1/x2)/(2-1/x-1/ x2)=1/2 lim(1+2+n)/(2n2-n-1)lim(1+2+n)/(2n2-n-1)=lim/(2n2-n-1)=lim/(2-1/n-1/n2)=1/4 lim(2x-3)20(3x

9、+2)30/(5x+1)50 lim(2x-3)20(3x+2)30/(5x+1)50 = lim2030 = lim2030 =(2/5)20(3/5)30=220*330/550 第三篇：高数极限 极限分为 一般极限发散的，还有个数列极限前者的一种，解决极限的方法如下 1 等价无穷小的转化，只能在乘除时候运用，但是不是说确定在加减时候不能用 但是前提是必需证明拆分后极限照旧存在e的X次方-1 或者1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记x趋近无穷的时候还原成无穷小 2洛必达 法则大题目有时候会有示意 要你运用这个方法 首先他的运用有严格的运用前提！必需是 X趋近而不是N趋近！所以面对数

10、列极限时候先要转化成求x趋近状况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种状况而已，是必要条件还有一点 数列极限的n当然是趋近于正无穷的 不行能是负无穷！必需是 函数的导数要存在！假如告知你gx, 没告知你是否可导，干脆用无疑于找死！必需是 0比0 无穷大比无穷大！；当然还要留意分母不能为0 洛必达 法则分为3种状况 10比0 无穷比无穷 时候 干脆用 ；20乘以无穷 无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以 无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后 这样就能变成1中的形式了；30的0次方 1的无穷次方 无穷的0次方 对于指数幂数方程 方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来

11、了，就是写成0与无穷的形式了，这就是为什么只有3种形式的缘由，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于03泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋 的加减的时候要 特变留意！E的x绽开 sina 绽开 cos 绽开 ln1+x绽开对题目简化有很好关心 4面对无穷大比上无穷大形式的解决方法取大头原则 最大项除分子分母！5无穷小于有界函数的处理方法 面对困难函数时候，尤其是正余旋的困难函数与其他函数相乘的时候，确定要留意这个方法。面对特殊困难的函数 可能只需要知道它的范围结果就出来了！) 6夹逼定理主要应付的是数列极限！ 这个主要是望见极

12、限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用应付数列极限q确定值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数应付的还是数列极限 可以运用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式应付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的状况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不转变 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就假如x趋近无穷大 无穷小都有对有对应的形式地2个事实上是 用于 函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别留意可能是用地2 个重要极限当趋近于无穷大时候，不

13、同函数趋近于无穷的速度是不一样的！ x的x次方 快于 x！快于 指数函数 快于 幂数函数 快于 对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候 他们的比值的极限一眼就能看出来了换元法 是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中13假如要算的话 四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的14当你面对题目实在是没有方法 走投无路的时候可以考虑 转化为定积分。一般是从0到1的形式。 15单调有界的性质应付递推数列时候运用 证明单调性！ 16干脆运用求导数的定义来求极限，一般都是x趋近于0时候，在分子上fx加减麽个值加减fx的形式，望见了有特别留意 当题目中告知你F(0)=0

14、时候 f0导数=0的时候 就是示意你确定要用导数定义！ 第四篇：高数极限和连续 其次章 极限和连续 2.1 数列极限 一、概念的引入割圆术 “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不行割，则与圆周合体而无所失矣 刘徽 正六边形的面积A正十二边形的面积A2 n-1 正62形的面积An A1，A2，A3，An，S 二、数列的定义 定义:按自然数1，2，3编号依次排列的一列数x1，x2，xn，1 称为无穷数列，简称数列。其中的每个数称为数列的项，xn称为通项一般项。数列1记为 xn 。 例如 nn 2，4，8，2，； 2 留意： 1数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取 2数列是整标函数

15、xn=fn 三、数列的极限 1.定义 设xn是一数列，假如存在常数a，当n无限增大时，xn无限接近于常数a，则称数列 xn 收敛，a是数列 xn 的极限，或者称数列xn收敛于a，记为。 假如数列没有极限，就说数列是发散的。 例如 nn 2，4，8，2，； 2，发散，发散 收敛于0 2.数列极限的性质1唯一性 定理 每个收敛的数列只有一个极限。2有界性 定义: 对数列xn，若存在正数M，使得一切自然数n, 恒有|xn|M成立, 则称数列xn有界，否则，称为无界。 例如，数列有界，数列无界 数轴上对应于有界数列的点xn都落在闭区间上。 定理 收敛的数列必定有界。 留意：有界性是数列收敛的必要条件。

16、推论 无界数列必定发散。3保号性 收敛数列的保号性：假设数列n收敛，其极限为，1若有正整数N，nN时，n0或0，则0或02若0或0，则有正整数N，使得当nN时，n0或0 2.2 级数 1.级数的定义: 称为数项无穷级数或简称数项级数，un为一般项。 2.级数的部分和 3.部分和数列 4.级数的收敛与发散 当n无限增大时，假如级数的部分和数列Sn有极限S，即则称无穷级数收敛,这时极限S叫做级数的和,并写成。 假如Sn没有极限，则称无穷级数 数项级数收敛 存在 发散。 例1.探讨等比级数几何级数 a0的收敛性。 解：假如q1时，当|q|1时,当|q|1时 假如|q|=1时 当|q|=1时，级数发散

17、 收敛 发散 当q=-1时，级数变为-+-+ 不存在，级数发散 综上 例2.56页13推断以下级数的敛散性，并在收敛时求出其和： 解： 由 得级数收敛，其和为。 例3.推断级数的敛散性 例4.推断级数的敛散性，并在收敛时求出其和 例5.判别无穷级数 的收敛性。 解 级数收敛，和为。 2.3 函数极限 两种情形: 1x情形： 2xx0情形： 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 定义：设M是随便一个正数，函数fx在上有定义，假如存在常数A，当|x|无限增大即|x|时，fx无限接近于A，则称A为函数f(x)当x时的极限，或简称为fx在无穷大处的极限，记为 或f(x)A，当x时。 定理： 例1.60页例

18、 5、例6求以下函数的极限 1 2 解：对于函数 对于函数fx=arctanx，由反正切曲线y=arctanx的图形，易见 所以，极限 例2.不存在。 例3. 例4. 二、函数在有限点处的极限自变量趋于有限值时函数的极限 1.定义：给定函数y=fx在xD上有定义，假设点x0的某一去心邻域，假如存在常数A，使得当xx0时，函数值fx无限接近于A，则称A为函数fx当xx0时的极限，记为 或 fxA，当xx0时。 2.单侧极限 定义：设 fx在x0的一个左邻域中有定义，假如存在常数A，使得当相应的函数值fx无限接近于A，则称A为函数f(x)当 时的左极限，记为 定理： 时，或fx0-0。 例5.62

19、页2：567 求函数在指定点的左右极限，判定该点极限是否存在。 5x=2 6x=0 7，x=0 问题：函数y=fx在xx0的过程中，对应函数值fx无限趋近于确定值A。 例6.求 留意：函数极限与fx在点x0是否有定义无关 三、函数极限的性质 1.唯一性 定理 若limf(x)存在，则极限唯一。2.有界性 定理有极限函数的局部有界性假设中有界，即有常数M0，使得在x0的某个去心邻域 3.保号性 若 推论 存在，则fx在x0点的某个邻域 中，有，且A0或A0 若时 f(x)0或f(x)0，则A0或A0 四、小结 函数极限的统确定义 2.4 极限的运算法则 一、极限运算法则 定理 设 1 2 ，则

20、3 例7. 推论1 假如lim f(x)存在，而c为常数，则 常数因子可以提到极限记号外面。 推论2 假如lim f(x)存在，而n是正整数，则 二、求极限方法举例 例8.求 解 干脆代入法 例9.求。 解：x1时，分子，分母的极限都是零。型 消去零因子法或因式分解法 例10.求 解：先变形再求极限。 例11.求 三、小结 1.极限的四则运算法则及其推论； 2.极限求法 a.多项式与分式函数代入法求极限； b.因式分解法消去零因子求极限； c.通分法 d.利用左右极限求分段函数极限。 2.5 无穷小和无穷大 一、无穷小 1.定义：极限为零的变量称为无穷小。 函数fx当xx0或x时为无穷小，记作 例如，函数sinx是当x0时的无穷小。 ，函数是当x时的无穷小。 ，数列是当n时的无穷小。 留意： 1无穷小是变量，不能与很小的数混淆；2零是可以作为无穷小的唯一的数。2.无穷小与函数极限的关系： 其中x是当xx0时的无穷小。 定理 3.无穷小的运算性质： 1在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小。2有限个无穷小的乘积也是无穷小。3有界变量与无穷小的乘积是无穷小。 例如，当x0时，二、无穷大 1.定义：确定值无限增大的变量称为无穷大。 函数fx当xx0或x时为无穷大，记作。 2.特殊情形：正无穷大，负无穷大。