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1、2023年立体几何证明方法 第一篇：立体几何证明方法 立体几何证明方法 一、线线平行的证明方法： 1、利用平行四边形。 2、利用三角形或梯形的中位线 3、假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。线面平行的性质定理 4、假如两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。面面平行的性质定理 5、假如两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。线面垂直的性质定理 6、平行于同一条直线的两条直线平行。 二、线面平行的证明方法： 1、定义法：直线与平面没有公共点。 2、假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。线面
2、平行的判定定理 3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 三、面面平行的证明方法： 1、定义法：两平面没有公共点。 2、假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。面面平行的判定定理 3、平行于同一平面的两个平面平行 4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。 5、垂直于同始终线的两个平面平行。 四、线线垂直的证明方法 1、勾股定理。 2、等腰三角形。 3、菱形对角线。 4、圆所对的圆周角是直角。 5、点在线上的射影。6利用向量来证明。 7、假如一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内随便的直线都垂直。 8、假如两条平行线中
3、的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。 五、线面垂直的证明方法： 1、定义法：直线与平面内随便直线都垂直。 2、点在面内的射影。 3、假如一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。线面垂直的判定定理 4、假如两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。面面垂直的性质定理 5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面 6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于另一个平面。 7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂直于第三个平面。 8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。 9、过一点，有且只有
4、一个平面与已知直线垂直。 六、面面垂直的证明方法： 1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。 2、假如一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。面面垂直的判定定理 3、假如一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直。 4、假如一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直。 其次篇：中学立体几何证明方法 中学立体几何 一、平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完好的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。1.线线、线面、面面平行关系的转化： 面面平行性质 a/b aI
5、g=a,bIg a=b /b) 线面平行性质 a/gb/g ab aIb=b a/aa/b a/b aa a/b a/b 2.线线、线面、面面垂直关系的转化： 在a内射影aa 则aOAaPOaPOaAO la 线面垂直定义 ab a a la aIb=baa ab,ab agbgaIb ag =a 面面垂直定义 aIb=l，且二面角a-l-b 成直二面角 ab 3.平行与垂直关系的转化： a/baa aa a ba ab a /b 面面平行判定2 面面平行性质 3aaba a/b a/baa ab 4.应用以上“转化的基本思路“由求证想判定，由已知想性质。5.唯一性结论： 二、三类角 1.三类
6、角的定义： 1异面直线所成的角：090 2直线与平面所成的角：090q=0时，ba或b a 3二面角：二面角的平面角，0180 2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算即：1找出或作出有关的角；2证明其符合定义；3指出所求作的角；4计算大小。 三空间距离：求点到直线的距离，经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关三角形中求解。求点到面的距离，一般找出或作出过此点与已知平面垂直的平面利用面面垂直的性质求之也可以利用“三棱锥体积法干脆求距离，直线与平面的距离，面面距离都可转化为点到面的距离。 第三篇：立体几何常见证明方法 立体几何方法归纳小结 一、线线平行的证明方法 1、根据公理4
7、，证明两直线都与第三条直线平行。 2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A，过a的平面B与平面A相交于b，则 a/b。 3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a/b。 4、根据面面平行的性质定理，若平面A/平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线 a与直线 b，则a/b。 uuuruuur 5、由向量共线定理，若AB=xCD，且AB、CD不共线，则向量AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即a/b。 二、线面平行的证明方法 1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。 2、根据线面平行的判定定理，若平面 A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则
8、a/A。(用相像三角形或平行四边形) 3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任始终线与另一个平面平行。 4、向量法，向量c与平面A法向量垂直，且向量c所在直线c不在平面内，则c/A。 三、面面平行的证明方法 1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。 2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。 或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行。 3、垂直同始终线的两平面平行。 4、平行同一平面的两平面平行。 5、向量法，证明两平面的法向量共线。 四、两直线垂直的证明方法 1、根据
9、定义,证明两直线所成的角为90 2、始终线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、始终线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的全部直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).5、向量法.五、线面垂直的证明方法 1、根据定义,证明始终线与平面内的任一(全部)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,始终线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、始终线垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面
10、垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的向量共线.六、面面垂直的证明方法 1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。 2、根据面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。 3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。 4、向量法，证明两平面的法向量垂直即法向量的数量积为零。 七、两异面直线所成角的求法 1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，然后在三角形中求角。 2、利用中位线，将两异面直线平移至一特殊点中位线的交点然后在三角形中求角。 3、cosq=cosq1cosq2 4、向
11、量法.八、直线与平面所成角的求法 1、根据定义，作出直线与平面所成角，然后在直角三角形中求角。 2、转化为距离(sinq=h/l) 3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜线与法向量的夹角。留意为正弦注：对两异面直线所成角和直线与平面所成角确定要留意角的范围。九、二面角的求法 1、定义法，从二面角的棱上的某一点分别在两个半平面内作棱的垂线，求两条垂线所形成的角。 2、根据三垂线定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。 3、射影面积法，先作出一个半平面内的某个多边形，在另一个半平面内的射影多边形，然后由公式 cos=s/s其中为二面角的平面角，s为射影多边形的面积，s为多边形的面积
12、求出二面角的平面角。 4、向量法，求出两个半平面的法向量，然后求两法向量的夹角。一般要先根据已知推断二面角是锐角还是钝角,否则要推断指向，同内同外为补角 5.公式法(异面直线上点距离公式和三类角公式) 十、点到平面的距离的求法 1、根据定义，干脆求垂线段的长度。 2、向量法，利用公式 uuurur|PAn|d=ur|n|其中PA为平面的一条斜线，向量n 为平面的一个法向量。 3、等体积法，主要用在四面体三棱锥中，根据四面体的体积等于1/3底面积高，选取不同的底面积，求出其中一条高长。 十一、平面图形翻折问题的处理方法 1、先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生转
13、变，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论都已知的立体几何问题。 2、有关翻折问题的计算，必需抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些没变，尤其要抓住不变量。对计算几何体上两点之间的最短距离问题，要留意转变为平面图形求两点间的距离来计算。 十二、要留意的问题 1、对推理论证与计算相结合的题目的解题原则是一作、二证、三计算。(向量法可省略证角，但必需交代如何建系，右手系)。 2、正方体中，两个平行的正三角形截面把一条与它们垂直的体对角线三等分。 3、已知三条射线两两夹角，会求线面角和二面角(课堂笔记，只需会推导方法，不需强记公式) 4、适当时候
14、，坐标法不便利时可以考虑基向量法，求向量模易出错：ra=r2a。 5、求异面直线间的距离，若公垂线找不到，除向量法外，可以考虑构造平行平面或平行线面，转化为点面距离求。 第四篇：立体几何的证明方法 立体几何的证明方法 1线面平行的证明方法 2两线平行的证明方法 5.面面垂直的证明方法 6.线线垂直的证明方法 7、空间平行、垂直之间的转化与联系： 应用判定定理时，留意由“低维到“高维： “线线平行“线面平行“面面平行； 应用性质定理时，留意由“高维到“低维： “面面平行“线面平行“线线平行 (1)利用判定定理时，由“低维到“高维；利用性质定理或定义时，由“高维到“低维；(2)线面垂直是核心，联系
15、线线垂直，面面垂直，线线垂直是基础 例1如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E、F，且B1EC1F，求证：EF平面ABCD.D为C1C 例2如图，三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱长都相等，且A1A底面ABC，的中点，AB1与A1B相交于点O，连结OD，1求证：OD/平面ABC；2求证：AB1平面A1BD。 例3 如图，已知棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1面ABCD，DAB=60o，AD=AA1=1，F为棱AA1的中点，M为线段BD1的中点，1求证：MF/面ABCD；2推断直线MF与平面BDD1B1的位置关系，并证明你的结论；3求三
16、棱锥D1-BDF的体积.A C1 B1 M F C 第五篇：立体几何常见证明方法 立体几何方法归纳小结 一、线线平行的证明方法 1、根据公理4，证明两直线都与第三条直线平行。 2、根据线面平行的性质定理，若直线a平行于平面A，过a的平面B与平面A相交于b，则 a/b。 3、根据线面垂直的性质定理，若直线a与直线b都与平面A垂直，则a/b。 4、根据面面平行的性质定理，若平面A/平面B，平面C与平面A和平面B的交线分别为直线 a与直线 b，则a/b。uuuruuur 5、由向量共线定理，若AB=xCD，且AB、CD不共线，则向量AB所在的直线a与向量cd所在的直线b平行，即a/b。 二、线面平行
17、的证明方法 1、根据线面平行的定义，证直线与平面没有公共点。 2、根据线面平行的判定定理，若平面 A内存在一条直线b与平面外的直线a平行，则a/A。(用相像三角形或平行四边形) 3、根据平面与平面平行的性质定理，若两平面平行，则一个平面内的任始终线与另一个平面平行。 4、向量法，向量c与平面A法向量垂直，且向量c所在直线c不在平面内，则c/A。 三、面面平行的证明方法 1、根据定义，若两平面没有公共点，则两平面平行。 2、根据两平面平行的判定定理，一个平面内有两相交直线与另一平面平行，则两平面平行。 或根据两平面平行的判定定理的推论，一平面内有两相交直线与另一平面内两相交直线平行，则两平面平行
18、。 3、垂直同始终线的两平面平行。 4、平行同一平面的两平面平行。 5、向量法，证明两平面的法向量共线。 四、两直线垂直的证明方法 1、根据定义,证明两直线所成的角为90 2、始终线垂直于两平行直线中的一条,也垂直于另一条.3、始终线垂直于一个平面,则它垂直于平面内的全部直线.4、根据三垂线定理及逆定理,若平面内的直线垂直于平面的一条斜线(或斜线在平面内的射影),则它垂直于斜线在平面内的射影(或平面的斜线).5、向量法.五、线面垂直的证明方法 1、根据定义,证明始终线与平面内的任一(全部)直线垂直,则直线垂直于平面.2、根据判定定理,始终线垂直于平面内的两相交直线,则直线垂直于平面.3、始终线
19、垂直于两平行平面中的一个,也垂直于另一个.4、两平行直线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.5、根据两平面垂直的性质定理,两平面垂直,则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.6、向量法,证明平面的法向量与表示该直线的向量共线.六、面面垂直的证明方法 1、根据面面垂直的定义，两平面相交所成的二面角为直二面角，则两平面垂直。 2、根据面面垂直的判定定理，一平面经过另一平面的一条垂线，则两平面垂直。 3、一平面垂直于两平行平面中的一个，也垂直于另一个。 4、向量法，证明两平面的法向量垂直即法向量的数量积为零。 七、两异面直线所成角的求法 1、根据定义，平移其中一条和另一条相交，
20、然后在三角形中求角。 2、利用中位线，将两异面直线平移至一特殊点中位线的交点然后在三角形中求角。 3、cosq=cosq1cosq 24、向量法.八、直线与平面所成角的求法 1、根据定义，作出直线与平面所成角，然后在直角三角形中求角。 2、转化为距离(sinq=h/l) 3、向量法，求出平面的法向量，然后求平面的斜线与法向量的夹角。留意为正弦 注：对两异面直线所成角和直线与平面所成角确定要留意角的范围。 九、二面角的求法 1、定义法，从二面角的棱上的某一点分别在两个半平面内作棱的垂线，求两条垂线所形成的角。 2、根据三垂线定理，先作出二面角的平面角，再在直角三角形中求角。 3、射影面积法，先作
21、出一个半平面内的某个多边形，在另一个半平面内的射影多边形，然后由公式 cos=s/s其中为二面角的平面角，s为射影多边形的面积，s为多边形的面积求出二面角的平面角。 4、向量法，求出两个半平面的法向量，然后求两法向量的夹角。一般要先根据已知推断二面角是锐角还是钝角,否则要推断指向，同内同外为补角 5.公式法(异面直线上点距离公式和三类角公式) 十、点到平面的距离的求法 1、根据定义，干脆求垂线段的长度。 2、向量法，利用公式uuurur|PAn|d=|n|其中PA为平面的一条斜 线，向量n 为平面的一个法向量。 3、等体积法，主要用在四面体三棱锥中，根据四面体的体积等于1/3底面积高，选取不同
22、的底面积，求出其中一条高长。 十一、平面图形翻折问题的处理方法 1、先比较翻折前后的图形，弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生转变，然后将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论都已知的立体几何问题。 2、有关翻折问题的计算，必需抓住在翻折过程中点、线、面之间的位置关系、数量关系中，哪些是变的，哪些没变，尤其要抓住不变量。对计算几何体上两点之间的最短距离问题，要留意转变为平面图形求两点间的距离来计算。 十二、要留意的问题 1、对推理论证与计算相结合的题目的解题原则是一作、二证、三计算。(向量法可省略证角，但必需交代如何建系，右手系)。 2、正方体中，两个平行的正三角形截面把一条与它们垂直的体对角线三等分。 3、已知三条射线两两夹角，会求线面角和二面角(课堂笔记，只需会推导方法，不需强记公式) 4、适当时候，坐标法不便利时可以考虑基向量法，求向量 模易出错：r a=。 5、求异面直线间的距离，若公垂线找不到，除向量法外，可以考虑构造平行平面或平行线面，转化为点面距离求。