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1、2023年寻求二元一次不等式(组)所表示的平面区域的方法 第一篇：寻求二元一次不等式(组)所表示的平面区域的方法 寻求二元一次不等式组所表示的平面区域的方法 东北师范高校 熊明军 大连理工高校 曾玲莉 简洁线性规划问题是高考必考学问点，而其基础在于探讨二元一次不等式组所对应的平面区域下面介绍一些方法来快速精确地确定二元一次不等式组所表示的平面区域 方法一：直线定界，特殊点定域 找出一个二元一次不等式组在平面直角坐标系内所表示的平面区域的基本方法是：画直线 画直线作出各不等式对应方程表示的直线原不等式带等号的作实线，否则作虚线； 取特殊点平面直角坐标系内的直线要么过原点，要么不过原点；当直线过原
2、点时我们选取特殊点或坐标轴上的点，当直线不过原点时我们选取原点做取特殊点代值定域求公共部分 特殊点； 代值定域将选取的特殊点代入所给不等式：假如不等式成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在的区域；假如不等式不成立，则不等式所表示的平面区域就是该特殊点所在区域的另一边 求公共部分不等式组所确定的平面区域，是各个二元一次不等式所表示平面区域的公共部分 例1 画出不等式组 解析：画直线：不等式应的直线方程是 所表示的平面区域 对应的直线方程是；不等式与对如图 ；在平面直角坐标系中作出直线 取特殊点：直线取特殊点 将式 代入，即 所表示的平面区域；将，不等式 代入，即 不成立，直线另一侧区域就
3、是不等，不等式 成 过原点，可取特殊点 ；直线 不过原点，可 立，则原点所在区域就是不等式 所表示的平面区域图一 求公共部分：如图二所示公共部分就是不等式组所表示的平面区域 方法二：法向量判定法 由平面解析几何学问知道直线 不同时为0的一个法向量为 以坐标原点作为法向量的始点，可以利用向量内积证明如下结论：1不等式 2不等式 ，不等式表示的平面区域就是法向量反向的区域；小于反 向 ，不等式表示的平面区域就是法向量指向的区域；大于同 向 例2 画出不等式组 解析：不等式不等式线 对应的直线方程是与 所表示的平面区域 对应的直线方程是，法向量，法向量； ；在平面直角坐标系中作出直 及其相应的法向量
4、如图 由于不等式不等式 ，平面区域是法向量 指向的区域图一； ，平面区域是法向量反向的区域图二 然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域 方法三：未知数系数化正法直线 不同时为0含有两个未知数，于是我们可以将未知数项系数来探讨的系数分为两类：项系数与 1项系数化正法：顾名思义就是利用不等式性质，不等号两边同时将 项系数化为正值，然后根据变形后关于 移项的不等式中的不等号来确定区域位置规定： 轴正方向所指的区域为直线的上方；反之为下方有结论： 项系数正值化： 上； 下 例3 画出不等式组 解析：不等式应的直线方程是图 所表示的平面区域 对应的直线方程是 ；在平面直角坐标系中作出直线 ；不等式
5、 与 对如 将不等式组中每个不等式项 关于的不等式即 项系数正值化，得或移 或者的不等式即，直线上方的区域就，直线下方的是该不等式所表示的平面区域图一；关于 区域就是该不等式所表示的平面区域图二 然后求的公共部分就是不等式组所表示的平面区域 2项系数化正法：同1一样，不等号两边同时 或移项将项系数化 为正值，然后根据变形后关于的不等式中的不等号来确定区域位置规定：轴正方向所指的区域为直线的右方；反之为左方有结论： 项系数正值化： 可结合例3来对项系数化正法进行理解 上述方法中，方法一是找寻二元一次不等式所表示的平面区域的常规方法，思维回路较长，适合对理论的学习，但要快速精确地解决简洁的线性规划
6、问题就必需驾驭方法二或方法三中之一 2023-05-04人教网 右；左 其次篇：二元一次不等式(组)与平面区域教学设计 二元一次不等式组与平面区域教学设计 一、教学内容分析 二元一次不等式组与平面区域这一节内容在不等式、直线方程之后学习，它既是这两部分内容的延长和交汇，又是线性规划问题的基础和前提。同时，在探究问题过程中有效的训练了学生数形结合、等价转化等数学思想。 二、学情分析 因为学生在初中阶段已经接触过二元一次方程组，所以在接受二元一次不等式组上会比较简洁，鉴于高二学生能主动思索力但不不擅长总结的特点，以及认知水平是形象思维为主，抽象思维为辅的特点，本节课我着重培育学生的总牢固力和抽象思
7、维。 三、教学目标 1、学问与技能：了解二元一次不等式组的几何意义，并能正确画出二元一次不等式组所表示的平面区域。 2、过程与方法：阅历从实际问题中抽象出二元一次不等式组的过程，通过类比、特殊到一般的探讨方法获得二元一次不等式与平面区域的关系。 3、情感、看法与价值观：通过本节内容的学习，培育学生的数学应用意识，体会数学在实际生活中的广泛应用，提高学习数学的爱好。 四、教学重、难点 重点：探究获得二元一次不等式组与平面区域之间的关系。 难点：正确画出二元一次不等式组相应的平面区域。 根据：因为本节课就是围绕探究二元一次不等式组与平面区域之间的关系而绽开的，从数到形、从一维到二维构建本节课的学问
8、结构，所以本节课的重点定为探究获得二元一次不等式组与平面区域之间的关系。 另外，由于学生的认知过程中，由形到数易，由数到形难，所以难点定为正确画出二元一次不等式组相应的平面区域。 五、教法设计 1、探究、觉察法 2、讲练结合法 3、多媒体帮助教学法 六、学法设计 引导学生通过合作探究、分组探讨，主动构建新的学问 七、教学过程设计 一.创设问题情境 一家银行的信贷部支配年初投入25 万元用 于企业和个人贷款,盼望这笔资金至少可带来3万元的收益,其中从企业贷款中获益30%，从个人贷 款中获益15%，那么,信贷部应如何支配资金呢？ 师生活动： 生：细致读题独立思索。 师：生活中，常常会遇到此类对有限
9、资源如何合理支配利用，使其到达最优效果的问题。尤其是在国民经济、军事、管理决策等领域，为此科学的管理是一种重要的方法和手段。师：请同学们考虑这个问题要大家做什么事？ 生：要投资。 师：那投资的目的是什么？ 生：获利 师：假如设用于企业、个人贷款的资金分别为x元、y元，你能用不等式刻画其中的不等量关系吗？ 如何设立变量，将限制条件用数学语言表示。 学生活动：板演列出的不等式后，化简得 老师进行指导订正 设计意图： 激发学生的学习爱好，感知生活中诸如：至少至多等这样的不等关系，将不等式的建立过程留给学生，训练学生会从实际问题抽象出一元二次不等式组，培育学生能将实际问题抽象成数学问题、文字语言转化数
10、学语言的实力。培育学生反思意识，学生易忽视x0,y0的关系。 学生列出不等式组后，老师可由此可以引出二元一次不等式组解集的相关概念，老师对不等式组说明：满意二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对x，y，全部这样的有序实数对x，y构成的集合称为二元一次不等式组的解集。 二.织学生探究二元一次不等式的解集所表示的图形 让学生进行活动1，回顾一元一次不等式组的解集所表示的图形？总结出一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间。 活动1：让学生先回顾一元一次不等式组的 解集所表示的图形？ 给出具体的一元一次不等式组，例如：的解集为数轴上的一个区间如图。 设计意图：唤起学生对一元一次不等式组的的解
11、集表示方法的回忆，用类比的方法提出问题2：二元一次不等式xy =6上的点(b)在直线xy =6左下方区域内 设计意图：让学生直观感受到平面直角坐标系内，平面内全部的点被直线x y =6分为三类 活动4：填表、作图，视察，猜测，验证 设点P(x,y1)是直线l： x y =6上的点，选取点A(x,y2),使它的坐标满意x-y6，视察当点A(x,y2),与点P(x,y1)有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？ 进一步猜测得：直线l左上方的点与不等式x-y-60有什么关系？直线l右下方的点呢？ 填写下表，并将满意不等式对应当的点描在坐标系中，通过对其位置视察分析，归纳、猜测。 老师组织学生填表、
12、作图，视察，然后引导学生对猜测进行验证，让学生在左上方多取若干点，计算x y 6的值，觉察都是大于0的，在左下方去若干点，计算x y 6的值，觉察都是小于0的.学生活动结果：归纳出猜测以x y 60的解为坐标的点在直线x y =6的左上方，并验证这个猜测，觉察了直线同一侧的点都满意不等式x-y-60或0，从而使二元一次不等式的解与平面区域的对应的关系的理论体系更加完备。 设计意图：这一环节突出了本节课的重点探究获得二元一次不等式组与平面区域之间的关系。让学生体验平面上的点和直线的位置关系,自主探究，再由学生来得出结论。觉察满意不等式x-y6的解所表示的点与直线的位置关系。老师主要的任务是引导并
13、完善学生的探讨过程，并且利用教学软件进行演示，培育学生的自主探究实力。师生互动，生生互动。 事实上，不仅对这个具体的例子有此性质，而且对坐标平面内的随便一条直线都有此性质.活动5：让学生分组探讨，并总结，对于一般的二元一次不等式Ax + By + C0的解集表示的图形呢？ 学生活动结果：一般地，二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点组成的平面区域。 老师强调：直线Ax+By+C=0叫做这两个区域的边界。 Ax+By+C0表示的区域不包含边界，把边界画成虚线。 Ax+By+C0表示区域包含边界，把边界画成实线,。 设计意图：依据学生思维进展的依次，
14、从特殊状况到一般结论，使学生对二元一次不等式组表示区域的相识不断深化、更加完备。 三例题讲解 例1：画出不等式 x + 4y 0表示的平面区域 (3)画出不等式x1表示的平面区域 设计意图：是由一般的直线，过原点的直线，和轴垂直的特殊直线共同组成。有边界是实线的，也有的是虚线的。体验直线定界，特殊点定域的方法过程,。此题在考察学生思维的完备性和严谨性有重要的功能。 例 2、用平面区域表示不等式组的解集。 设计意图：将引例中的问题让学生解决，前后呼应，数学来源于生活，有服务于生活；类比一元一次不等式组的解集是数轴上的公共部分，使学生明确二元一次不等式组表示的区域是各个不等式所表示平面区域的公共部
15、分。 练习2详见教材P87练习 设计意图：通过练习，进一步加深对二元一次不等式组表示平面区域的理解，体验由数到形的过程 四课堂小结 二元一次不等式表示平面区域： 直线某一侧全部点组成的平面区域。 判定方法： 直线定界，特殊点定域。 二元一次不等式组表示平面区域： 各个不等式所表示平面区域的公共部分 设计意图：师生共同回顾与总结所学的学问与方法，让学生发表自己的看法，老师刚好总结得出 五布置作业 课本 P86习题3.3 第 1、2题。 设计意图：老师批阅，觉察问题刚好订正。 六板书设计 八、评价分析 中学数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用，线性规划问题是数学在日常生活中常见的一种
16、优化问题，在设计的过程中，提出实际生活问题，让学生阅历建立数学模型的过程，培育学生视察觉察、归纳类比、符号表示、抽象概括等数学思维实力。在学生理解二元一次不等式组与平面区的过程中，老师利用多媒体进行动态的、直观的展示，激励学生进行探究和觉察。 第三篇：二元一次不等式(组)与平面区域典型例题透析 数学备课大师 书目式免费主题备课平台！ 二元一次不等式组与平面区域典型例题透析 类型一：二元一次不等式组表示的平面区域 例1.画出不等式2x+y-40表示的平面区域。解析：先画直线2x+y-4=0画成虚线.取原点(0,0)代入2x+y-4得20+0-4=-40表示的平面区域内，不等式2x+y-40表示的
17、区域如图： 总结升华： 1.画二元一次不等式表示的平面区域常接受“直线定界，特殊点定域的方法。特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点。 2.虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线 举一反三： 画出以下不等式所表示的平面区域14x+3y12； 2x1 12 y-3x+12例2.用平面区域表示不等式组.x2y思路点拨: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因此是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 解析：不等式y-3x+12表示直线y=-3x+12右下方的区域，x2y表示直线x=2y右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。 数学
18、备课大师 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 书目式免费主题备课平台！ 总结升华：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因此是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。 举一反三： 画出以下不等式组表示的平面区域。 x3x+y22x+y32yxx+2y3x+2y41；2； 3.3x+2y6x0x0y02y-1x-2y-20y0(2)原不等式等价为x-y0或x+y0，如图 2x-y02x+y0 总结升华：把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解 举一反三： 0 用平面区域表示不等式(x+y-1)(x-y+4 数学备课大师 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 书目式免费主
19、题备课平台！ 用平面区域表示不等式 1yx+1；2xy；3xy 123 2x-y-30例4.求满意不等式组2x+3y-60的整数解.3x-5y-150思路点拨:不等式组的实数解集为直线l1： 2x-y-3=0，l2：2x+3y-6=0，l3：3x-5y-15=0所围成的三角形区域内部(不含边界)，求出三条直线的交点，求得区域内点横坐标范围，取出x的全部整数值，再代回原不等式组转化为y的一元不等式组得出相应的y的整数值。 解析：设l1： 2x-y-3=0，l2：2x+3y-6=0，l3：3x-5y-15=0，则 由2x+3y-6=0153，得A(,)，842x-y-3=02x-y-3=0由，得B
20、(0,-3) 3x-5y-15=0由2x+3y-6=07512，得C(,-) 19193x-5y-15=075)内，取x=1,2,3，19于是看出区域内点的横坐标在(0,数学备课大师 今日用大师 明日做大师！数学备课大师 书目式免费主题备课平台！ y-1124y-1，得y2，当x=1时，代入原不等式组有y-5区域内有整点(1,-2)。 同理可求得另外三个整点(2,0)、(2,-1)、(3,-1).总结升华：求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点，它为线性规划中求最优整数解作铺垫。常有两种处理方法，一种是通过打出网络求整点；另一种是此题解答中所接受的，先确定区域内点的横坐标的范围，确定x
21、的全部整数值，再代回原不等式组，得出y的一元一次不等式组，再确定y的全部整数值，即先固定x，再用x制约y。 举一反三： 3x-2y-20,求不等式组x+4y+40,的整数解。 2x+y-60例1：画出不等式组所表示的平面区域。x+2y0对应的直线方程是x-y=0；不等式x+2y4对应的直线方程是x+2y=4；在平面直角坐标系中作出直线x-y=0与x+2y=4如图。 取特殊点：直线x-y=0过原点，可取特殊点(0,1)；直线x+2y=4不过原点，可取特殊点O(0,0)。 将(0,1)代入，即0-1=-10不成立，直线另一侧区域就是不等式x-y0所表示的平面区域；将O(0,0)代入，即0+20=0
22、4，不等式x+2y4成立，则原点所在区域就是不等式x+2yc，不等式表示的平面区域就是法向量指向的区域大同向； 2不等式f(x,y)0所表示的平面区域。x+y1 r解析：不等式-2x+y-20对应的一个法向量n1=(-2,1)；不等式x+y1对应的一个法向量n2=(1,1)；在平面直角坐标系中作出直线-2x+y-2=0与x+y=1及其相应的法向量如图。 r 由于不等式-2x+y-20的不等号为，则其表示的平面区域就是法向量r；由于不等式x+y1的不等号为，则其表示的平面n1=(-2,1)指向的区域图一 区域就是法向量n2=(1,1)反向的区域图二。 然后，如第四幅图中所示相交的公共部分就是不等
23、式组所表示的平面区域。 方法三：未知数系数正值化法 直线Ax+By+C=0A、B不同时为0含有两个未知数，于是我们可以将未知数r的系数分为两类：x项系数与y项系数来探讨。 1y项系数正值化法：顾名思义就是利用不等式性质，不等号两边同时(-1)或移项将y项系数化为正值，然后根据变形后新不等式中的不等号来确定区域位置。规定：y轴正向正半轴所指区域为直线上方；y轴负向负半轴所指区域为直线下方，有结论： 1Ax+By+C0或，B0则不等式所表示的平面区域为直线上方大正； 2Ax+By+C0则不等式所表示的平面区域为直线下方小负； 或 1cyf(x)或cyf(x)，c0，则不等式所表示的平面区域为直线上
24、方大正； 2cy0，则不等式所表示的平面区域为直线下方小负。 例3：画出不等式组2x-y+20所表示的平面区域。 x+y1 解析：不等式2x-y+20y2x+2或。x+y1y-x+1-2x+y-20(a)不等号两边(-1)，(a)中不等式-2x+y-20(b)x+y1的不等号为，直线上方y正方向指向或y正半轴所在的区域就是该不等式所表示的平面区域图一；(b)中不等式x+y1的不等号为，直线下方y负方向指向或 ； y负半轴所在的区域就是该不等式所表示的平面区域图二 二不等式组y2x+2(a)移项，(a)中不等式y2x+2的不等号为，直 y-x+1(b) 线上方的区域就是该不等式所表示的平面区域图
25、一；(b)中不等式y-x+1的不等号为 ，直线下方的区域就是该不等式所表示的平面区域图二； 然后两区域相交的公共部分就是不等式组所表示的平面区域。 2x项系数正值化法：同1一样，不等号两边同时(-1)或移项将x项系数化为正值，然后根据变形后新不等式中的不等号来确定区域位置。规定：x轴正向正半轴所指区域为直线右方；x轴负向负半轴所指区域为直线左方，则有结论： 1Ax+By+C0或，A0则不等式所表示的平面区域为直线右方大正； 2Ax+By+C0则不等式所表示的平面区域为直线左方小负； 或 1cxf(y)或cxf(y)，c0，则不等式所表示的平面区域为直线右方大正； 2cx0，则不等式所表示的平面
26、区域为直线左方小负。可结合例3来对x项系数正值化法进行理解。 上述方法中，方法一是找寻二元一次不等式组所表示的平面区域的常规方法，中的一种。思维回路较长，适合初学者对理论的学习，但要快速精确地解决简洁线性规划问题就必需驾驭方法二或方法三 第五篇：4.示范教案(3.3.1_二元一次不等式(组)与平面区域) 3.3 二元一次不等式组与简洁的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出二元一次不等式组的一些基本概念，由一元一次不等式组的解集可以表示为数轴上的区间，引出问题：在直角坐标系内，二元一次不等式组的解集表示什么图形？再从一个具体的一元二次不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的区域及确定的方法，以此激发学生对科学的探究精神和肃穆认真的科学看法.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思索项，让学生探究，层层铺设，以便让学生深刻理解一元二次不等