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1、第第四四章章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数4.4.3 不同增长函数的差异1.了解指数函数、对数函数、线性函数了解指数函数、对数函数、线性函数(一次函数一次函数)的增长差异的增长差异.2.理解对数增长、直线上升、指数爆炸。理解对数增长、直线上升、指数爆炸。3.了解函数的建模过程。了解函数的建模过程。学习目标学习目标温故知新温故知新 我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方
2、式的差异提出提出问题问题 虽然它们都是增函数，但增长方式存在很大差异，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映.我们仍然采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法.下面就来研究一次函数f(x)=kx+b，k0，指数函数g(x)=ax(a1)，对数函数 在定义域内增长方式的差异.问题探究问题探究以函数y=2x与y=2x为例研究指数函数、一次函数增长方式的差异.分析：(1)在区间(-,0)上，指数函数y=2x值恒大于0，一次函数y=2x值恒小于0，所以我们重点研究在区间(0,+)上它们的增长差异.(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：xy=2xy=2x0100.51.4
3、1411221.52.82832442.55.6575386y=2xy=2x问题探究问题探究(3)观察两个函数图象及其增长方式：结论1：函数y=2x与y=2x有两个交点(1,2)和(2,4)结论2：在区间(0,1)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上结论3：在区间(1,2)上，函数y=2x的图象位于y=2x之下结论4：在区间(2,3)上，函数y=2x的图象位于y=2x之上综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快.问题探究问题探究请大家想象一下，取更大的x值，在更大的范围内两个函数图象的关系？思考：随着
4、自变量取值越来越大，函数y=2x的图象几乎与x轴垂直，函数值快速增长，函数y=2x的增长速度保持不变，和y=2x的增长相比几乎微不足道.问题探究问题探究总结一：函数y=2x与y=2x在0,+)上增长快慢的不同如下：虽然函数y=2x与y=2x在0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度.尽管在x的一定范围内，2xx0时，恒有2x2x.归纳总结归纳总结总结二：一般地指数函数y=ax(a1)与一次函数y=kx(k0)的增长都与上述类似.即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a1)虽然有一段区间会小于y=kx(k0)，但
5、总会存在一个x0，当xx0时，y=ax(a1)的增长速度会大大超过y=kx(k0)的增长速度.归纳总结归纳总结跟踪训练跟踪训练分析：(1)在区间(-,0)上，对数函数y=lgx没意义，一次函数值恒小于0，所以研究在区间(0,+)上它们的增长差异.(2)借助信息技术，在同一直角坐标系内列表、描点作图如下：xy=lgx0不存在不存在01011201.3012301.4773401.6024501.6995601.7786以函数y=lgx与 为例研究对数函数、一次函数增长方式的差异.y=lgx问题探究问题探究(3)观察两个函数图象及其增长方式：总结一：虽然函数y=lgx与 在(0,+)上都是单调递增
6、，但它们的增长速度存在明显差异.在(0,+)上增长速度不变，y=lgx在(0,+)上的增长速度在变化.随着x的增大，的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样.y=lgx问题探究问题探究例如：lg10=1，lg100=2，lg1000=3，lg10000=4；这表明，当x10，即y1，y=lgx比 相比增长得就很慢了.y=lgx问题探究问题探究思考：将y=lgx放大1000倍，将函数y=1000lgx与 比较，仍有上面规律吗？先想象一下，仍然有.总结二：一般地，虽然对数函数 与一次函数y=kx(k0)在(0,+)上都是单调递增，但它们的增长速度不同.随着x的增大
7、，一次函数y=kx(k0)保持固定的增长速度，而对数函数 的增长速度越来越慢.不论a值比k值大多少，在一定范围内，可能会大于kx，但由于 的增长会慢于kx的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，恒有 .归纳总结归纳总结跟踪训练跟踪训练当堂达标当堂达标当堂达标当堂达标当堂达标当堂达标当堂达标当堂达标 1.由特殊到一般特殊到一般，由具体到抽象具体到抽象研究了一次函数f(x)=kx+b，k0，指数 函数g(x)=ax(a1)，对数函数 在定义域上的 不同增长方式.课堂小结课堂小结2.根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数