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1、第十四章幂级数第十四章幂级数1 幂级数幂级数一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义:2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域:函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项(x在收敛域上在收敛域上)注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数:(定义域是定义域是?)解解由达朗贝尔判别法由达朗贝尔判别法原级数绝对收敛原级数绝对收敛.原级数发散原级数发散.收敛收敛;发散发散;二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义:2.2.收敛性收敛性:证明证明由由(1)结论结论几何说
2、明几何说明收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区域发散区域推论推论定义定义:正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间收敛区间.规定规定问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?证明证明由比值审敛法由比值审敛法,定理证毕定理证毕.例例2 2 求下列幂级数的收敛区间求下列幂级数的收敛区间:解解该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散发散发散收敛收敛故收敛区间为故收敛区间为(0,1.解解缺少偶次幂的项缺少偶次幂的项级数收敛级数收敛,级数发散级数发散,级数发散级数发散,级数发散级数发散,原级数的收敛区间为原级数的收敛区
3、间为三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质:(1)加减法加减法(其中其中(2)乘法乘法(其中其中柯柯西西乘乘积积(3)除法除法(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小得多)2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质:(收敛半径不变收敛半径不变)(收敛半径不变收敛半径不变)解解两边积分得两边积分得解解收敛区间收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数常用已知和函数的幂级数四、小结四、小结2.幂级数的收敛性幂级数的收敛性:收敛半径收敛半径R3.幂级数的运算幂级数的运算:分析运算性质分析运算性质1.函数项级数的概念函数项级数的概念:思考题思考题 幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？么它的收敛域是否也不变？思考题解答思考题解答不一定不一定.例例它们的收敛半径都是它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是但它们的收敛域各是练练 习习 题题练习题答案练习题答案