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1、第十四章 Fourier级数两类重要的函数项级数两类重要的函数项级数 幂级数幂级数三角级数三角级数问题问题 三角级数收敛？表示的函数给定函数能否用三角级数表示研究函数满足什么条件，可以展开成三角级数若可以展开，展开式是什么形式？一、三角函数系的正交性一、三角函数系的正交性14.1 14.1 三角级数与三角级数与FourierFourier级数级数1 1、三角函数系：、三角函数系：（正交系）（正交系）三角函数系中任意两个不同的函数的乘积，三角函数系中任意两个不同的函数的乘积，在在 区间上的积分为区间上的积分为0 0，即：，即：回答问题（回答问题（ii ii），利用正交性和一致收敛性，逐项积分），
2、利用正交性和一致收敛性，逐项积分 定理中的积分区间可以改为长度为定理中的积分区间可以改为长度为 的区间的区间可得可得:上述定理的结论，称为三角函数系（上述定理的结论，称为三角函数系（1 1）的正交性）的正交性设设在在绝对可积绝对可积记为记为 2 2）常数项写成）常数项写成是为了与是为了与的表达式统一的表达式统一说明：说明：1 1）上式不能写成等号）上式不能写成等号若 在有界，则表示可积若 在无界，则表示绝对可积称称为为的傅立叶级数。的傅立叶级数。例例1 1，求其傅立叶级数。，求其傅立叶级数。解：由于解：由于 为奇函数知，为奇函数知，看看P118P118图图 例例2 2解：看解：看P118P11
3、8图由于图由于 f(x)为奇函数知，为奇函数知，求其傅立叶级数。，求其傅立叶级数。例例3 3，求其傅立叶级数。，求其傅立叶级数。解：解：看看P118P118图图例例4 4，求其傅立叶级数。，求其傅立叶级数。看看P118P118图图解：看解：看P119P119图由于图由于 f(x)为偶函数知，为偶函数知，f(x)可展开成它的可展开成它的FourierFourier级数的条件：级数的条件：即上式划即上式划“等号等号”的条件的条件 按函数项级数收敛的定义，考察按函数项级数收敛的定义，考察 Fourier Fourier 级数的部分和：级数的部分和：方法：方法：给出部分的一个表达式给出部分的一个表达式
4、 14.2 14.2 FourierFourier级数的收敛性级数的收敛性设记把：代入上式，得:称为Dirichlet积分 在上述积分中，令 t=u x 得 在（1）中取得:先看是否逐点收敛？，即取其中其中综上：综上：FourierFourier级数在级数在使以下的极限式成立：使以下的极限式成立：当上式成立时，当上式成立时，的的FourierFourier级数在级数在点收敛于点收敛于S S 是否收敛是否收敛,归结为：归结为：能否取到适当的能否取到适当的S S，将（将（*）分成两部分）分成两部分后一积分的处理用下面：后一积分的处理用下面：引理1 若在绝对可积，则 若以为周期。且在绝对可积，则的F
5、ourier系数，当时趋向于0，即推论：若以为周期，在绝对可积，则的Fourier级数在点的收敛与发散，只与函数在附点的值有关 证明：不妨设不妨设由由RiemamRiemam引理知引理知所以：所以：的的fourierfourier级数在级数在是收敛与发散是收敛与发散当当时时收敛与发散收敛与发散当当时时的收敛的与发散的收敛的与发散在在的性质的性质进一步可以证明：当进一步可以证明：当时，时，的收敛情况相同：的收敛情况相同：叙述叙述的事实的事实 现在给出现在给出fourierfourier级数收敛性判别法：级数收敛性判别法：积分积分收敛与发散性与收敛与发散性与（DiniDini判别法）判别法）若能取
6、到合适的若能取到合适的S S使函数使函数满足：满足：在某个在某个绝对可积，即绝对可积，即存在存在,的的fourierfourier级数在级数在点收敛于点收敛于S,S,即即设设以以为周期，在为周期，在绝对可积，绝对可积，则则下面讨论下面讨论S S的选取：有以下两种常见情况：的选取：有以下两种常见情况：在在连续，取连续，取 S=S=则则这时只要右边两项在这时只要右边两项在绝对可积，就有绝对可积，就有的的fourierfourier级数级数,注意到注意到:由比较判别法，要由比较判别法，要在在绝对可积，只需绝对可积，只需趋于趋于0 0的速度足够快即可，这就是的速度足够快即可，这就是Th14.4.Th1
7、4.4.（1 1）收敛到收敛到（2）在是第一类间断或可去间断，即存在，取类似（1）的讨论：只需 足够快便有的 级数在点收敛到（Lipschitz Lipschitz 判别法）判别法）P127 P127 若若以以为周期，在为周期，在绝对可积，且绝对可积，且满足满足 阶的阶的LipschitzLipschitz条件，即存在条件，即存在与常数与常数,使得使得则则的 级数在点收敛到推论推论1 1 且且在在点可导，或点可导，或存在存在,则则的的级数在级数在点收敛到点收敛到上面的讨论推广到上面的讨论推广到在在是第一类间断点或可去间断点的情形是第一类间断点或可去间断点的情形在在逐段可微：逐段可微：P128P
8、128：1.1.每个小开区间可导每个小开区间可导2.2.存在存在3.3.广义左右微商存在，即广义左右微商存在，即逐段光华逐段光华综合：得：综合：得：若若以以为周期，在为周期，在绝对可积，绝对可积，P128 P128 若若在在逐段可微，则逐段可微，则的的级数级数 为为的连续点的连续点为为的不连续点。的不连续点。级数级数同理在同理在点收敛到同一数。点收敛到同一数。点的收敛情况：点的收敛情况：点：点：说一下：说一下：在在（P116 例例2）：）：看看P130P130图图（P115 P115 例例1 1）例例1 1例例2 2看看P131P131图图例例3 3 求其展开式。解：1）.画图系数。为偶函数，
9、2）.求 3）.4）.由于函数处处连续，逐逐段可微，故 在上式中取 得：例例4.4.（P117 例4）求其傅立叶级数求其傅立叶级数.解：解：由于函数处处连续，逐逐段可微，故 例例5 5.(P134)求其傅立叶级数。求其傅立叶级数。解：解：由于函数处处连续，逐逐段可微，故 P136P136（逐项积分）在在除有限个可去间断点除有限个可去间断点或第一类间断点外是连续的，且，或第一类间断点外是连续的，且，则则设以为周期，在绝对可积。做变换，则是以其中：这就是周期为的函数的Fourier级数。为周期的函数，用前面的讨论得：14.3 14.3 任意区间上的任意区间上的FourierFourier级数级数上
10、面的方法：的函数以周期为另外的方法：沿用研究周期为展开的方法。在（或任意长度为的区间）是正交的。的函数。易证：以周期为的函数的Fourier一般一个函数只给出了有限区间一个周期函数，那么能否考虑它的Fourier展开呢？可以,只要把函数按周期延拓到整个数轴即可，下面两个常用（有用）的延拓方法。上的定义不能说它是例：不妨设定义。给出定义使为偶函数，再把按为周期沿拓到整个数轴，这时：一偶延拓：一偶延拓：为的连续点 为的间断点二奇延拓：二奇延拓：定义使为奇函数，再把按为周期沿拓到整个数轴，这时：给出 为的连续点 为的间断点例例1.1.将函数按余弦展开。解解:根据偶延拓计算傅立叶系数因此例例2.2.将
11、函数按正弦展开。根据奇延拓计算傅立叶系数解解:因此内容小结1.周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 其中注意注意:若 为间断点,则级数收敛于2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3.在 0,上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓,展开为正弦级数 作偶周期延拓,展开为余弦级数习题1.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为解:先求傅里叶系数将 f(x)展成傅里叶级数.2.2.上的表达式为将 f(x)展成傅里里叶级数.解:设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 说明:当时,级数收敛于3.3.将函数则解:将 f(x)延拓成以 展成傅里叶2为
12、周期的函数 F(x),利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x=0 时,f(0)=0,得说明:4.4.设的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解:若不计周期为 2 的奇函数,因此n1根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4逼近 f(x)的情况见右图.n55.5.将周期函数展成傅里叶级数,其中E 为正常数.解:是周期为2 的补充题1.1.将函数展成余弦级数.解:先求正弦级数.去掉端点,将 f(x)作奇周期延拓,作偶周期延拓,对2.2.设又设求当的表达式.解:由题设可知应对作奇延拓:由周期性:为周期的正弦级数展开式的和函数,定义域3.3.写出函数答案:4.4.叶级数展式为则其中系提示:利用“偶倍奇零”(93 考研)的傅里 5.5.设是以 2 为周期的函数,其傅氏系数为则的傅氏系数提示:令作业P118 2(1)(3)(5)(7)P140 1,2(1)