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1、线性离散控制系统的分析与综合第1页，共61页，编辑于2022年，星期一8.1 离散控制系统概述离散控制系统概述一、离散控制系统特点：一、离散控制系统特点：从系统结构上看，含有采样开关；从系统结构上看，含有采样开关；从信号传递上看，系统中某一处或几处信号是以脉冲或数字形式传递的。从信号传递上看，系统中某一处或几处信号是以脉冲或数字形式传递的。二、离散控制系统的两种典型结构离散控制系统的两种典型结构1、采样控制系统、采样控制系统 e(t)是是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。e*(t)作为作为脉冲控制器的输入，经
2、控制器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信脉冲控制器的输入，经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信号，对受控对象实施控制。号，对受控对象实施控制。采样系统中既有离散信号，又有连续信号。采样系统中既有离散信号，又有连续信号。采样开关接通时刻，系统处于闭采样开关接通时刻，系统处于闭环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。环工作状态。而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。第2页，共61页，编辑于2022年，星期一2 2、计算机控制系统计算机控制系统 计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，计算机作为系统的控制器，其输
3、入和输出只能是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号，和输出是连续信号，故需要故需要A/D和和D/A实现两种信号的转换。实现两种信号的转换。三、离散控制系统的分析方法三、离散控制系统的分析方法 建立在建立在Z变换变换的数学基础上，采用的数学基础上，采用脉冲传递函数脉冲传递函数，并利用类似连读控制系统，并利用类似连读控制系统的分析方法进行分析、研究。的分析方法进行分析、研究。第3页，共61页，编辑于2022年，星期一8.2 连续信号的采样与复现连续信号的采样与复现一、连
4、续信号的采样、数学描述一、连续信号的采样、数学描述 1 1、采样过程、采样过程 把一连续信号转换成一串脉冲序列或数码信号的过程，称为把一连续信号转换成一串脉冲序列或数码信号的过程，称为 采样过程采样过程。例如下图中，采样器可用一个周期性闭合的采样开关表示，例如下图中，采样器可用一个周期性闭合的采样开关表示，设采样开关每隔设采样开关每隔T T秒闭合一次（接通一次）。秒闭合一次（接通一次）。f(t)f(t)为输入连续信为输入连续信 号，则经采样开关后，号，则经采样开关后，f*(t)f*(t)为定宽度等于为定宽度等于的调幅脉冲序的调幅脉冲序 列，在采样瞬时列，在采样瞬时nT(n=0,1,2,3nT(
5、n=0,1,2,3）时出现。由于采样开关闭合时）时出现。由于采样开关闭合时 间间很小，很小，TT，分析可认为，分析可认为=0=0。采样器的输出。采样器的输出f*(t)f*(t)信号，信号，等于输入于采样器的连续信号在采样时刻的数值。等于输入于采样器的连续信号在采样时刻的数值。第4页，共61页，编辑于2022年，星期一2 2、数学描述、数学描述 为了对采样过程和采样信号进行数学描述，往往把它看成是一个为了对采样过程和采样信号进行数学描述，往往把它看成是一个幅值调制幅值调制的过程，的过程，如下图所示。如下图所示。采样开关类似于一幅值调制器，当采样开关周期性开闭时，产生一串以采样开关类似于一幅值调制
6、器，当采样开关周期性开闭时，产生一串以T T为周期的单为周期的单位理想脉冲位理想脉冲T T(t)(t)。幅值调制的过程，数学上表示为两个信号函数相乘，即幅值调制的过程，数学上表示为两个信号函数相乘，即f*(t)f*(t)可以认为是输可以认为是输入连续信号入连续信号f(t)f(t)调制在理想脉冲调制在理想脉冲T T(t)(t)上的结果。上的结果。设理想脉冲序列设理想脉冲序列 第5页，共61页，编辑于2022年，星期一 则采样脉冲序列的数学表达式：则采样脉冲序列的数学表达式：二、信号的复现及装置二、信号的复现及装置 使采样信号使采样信号f*(t)f*(t)大体上回复为连续信号大体上回复为连续信号f
7、(t)f(t)的变化规律，称的变化规律，称信号的复现信号的复现。怎样才能使采样信号怎样才能使采样信号f*(t)f*(t)大体上反映连续信号大体上反映连续信号f(t)f(t)的变化规律呢？的变化规律呢？从连续信号和其采样后的离散信号的频谱特性分析：从连续信号和其采样后的离散信号的频谱特性分析：对于一个非正弦周期函数对于一个非正弦周期函数f(t)f(t)，可以分解成一个傅氏级数，它的各次谐波的振幅，可以分解成一个傅氏级数，它的各次谐波的振幅 随随频率变化的分布情况，称为频率变化的分布情况，称为f(t)f(t)的的频谱特性频谱特性。f(t)f*(t)采样采样复现复现第6页，共61页，编辑于2022年
8、，星期一设有一离散信号设有一离散信号对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知将将s=j代入代入经经上述上述讨论讨论分析可知，分析可知，对对于一于一连续连续信号信号f(t)f(t)，其，其频频率特性率特性为为一孤立的一孤立的连续频谱连续频谱（maxmax)。以均匀周期以均匀周期T(=2T(=2/s)s)对对f(t)f(t)进进行采行采样样，采，采样样信号信号f*(t)f*(t)的的频谱频谱与采与采样频样频率率s s有关，而且有关，而且是以是以s s为周期的无限多个频谱之和。与原函数频谱相比，各对应频率处为周期的无限多个频谱之和。与原
9、函数频谱相比，各对应频率处的幅值下降为的幅值下降为1/T1/T。第7页，共61页，编辑于2022年，星期一观察上图，观察上图，信号的复现需满足两个条件：信号的复现需满足两个条件：(1)(1)对于一个有限频谱的连续信号进行采样，当采样频率对于一个有限频谱的连续信号进行采样，当采样频率时，采样信号才可能无失真的复现原来的连续信号。时，采样信号才可能无失真的复现原来的连续信号。(香农采样定理香农采样定理)(2)(2)在被控对象前必须串联一个理想的低通滤波器。在被控对象前必须串联一个理想的低通滤波器。Ts较大时较大时(s2 max)第8页，共61页，编辑于2022年，星期一采样定理的采样定理的物理意义
10、物理意义是，采样频率越高，即采样周期越小，故采样越细密，采是，采样频率越高，即采样周期越小，故采样越细密，采样的精度就越高，就能充分反映连续变化的所有信息。因此可以按要求复现原信号。样的精度就越高，就能充分反映连续变化的所有信息。因此可以按要求复现原信号。反之，采样频率越低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样时刻之间反之，采样频率越低，不能反映信息的全部变化情况，即由于在两个采样时刻之间连续信号变化较大，而这种变化不能在采样信号中得到反映，故不能按一定的精度复现连续信号变化较大，而这种变化不能在采样信号中得到反映，故不能按一定的精度复现原连续信号。原连续信号。需要指出，实际的非周期函
11、数，其频谱的最高频率是无限的，不过由于高频分需要指出，实际的非周期函数，其频谱的最高频率是无限的，不过由于高频分量的幅值不大，因此通过低通滤波后的信号基本上能复现。在这种情况下，量的幅值不大，因此通过低通滤波后的信号基本上能复现。在这种情况下，如何选如何选择采样频率的最高频率呢？择采样频率的最高频率呢？一般考虑频谱幅值降为最大值的一般考虑频谱幅值降为最大值的5%5%处的频率为处的频率为maxmax。10.05max-max第9页，共61页，编辑于2022年，星期一三、零阶保持器三、零阶保持器低通滤波器低通滤波器 使采样信号使采样信号f*(t)在每一个采样瞬间的采样值在每一个采样瞬间的采样值f(
12、kT)一直保持到下一个采样瞬间。这样一直保持到下一个采样瞬间。这样离散信号就变成了一阶梯信号离散信号就变成了一阶梯信号fh(t)。因为。因为fh(t)在每一个采样区间内的值均为常数，其导在每一个采样区间内的值均为常数，其导数为数为0，故称为，故称为零阶保持器零阶保持器。第10页，共61页，编辑于2022年，星期一设有一零阶保持器，其数学模型为设有一零阶保持器，其数学模型为对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知对上式两边取拉氏变换，再由拉氏变换的复数位移定理可知将将s=j代入代入从幅频特性上看，幅值随频率的增从幅频特性上看，幅值随频率的增加而衰减，所以零阶保持器是一低加而衰减，所以
13、零阶保持器是一低通滤波器。从相频特性上看，零阶通滤波器。从相频特性上看，零阶保持器会产生负相移，使系统的相保持器会产生负相移，使系统的相位滞后增大，使系统稳定性变差。位滞后增大，使系统稳定性变差。第11页，共61页，编辑于2022年，星期一8.3 Z8.3 Z变换及反变换变换及反变换 一、Z变换变换 在数学上表示：在数学上表示：对上式两边取拉氏变换对上式两边取拉氏变换可看出，可看出，是以复变量是以复变量s s表示的函数。引入一新变量表示的函数。引入一新变量z z-定义在定义在Z Z平面上的一个复变量，称为平面上的一个复变量，称为Z Z变换子；变换子；-采样周期；采样周期；S-S-拉氏变换算子。
14、拉氏变换算子。(1)(1)Z Z变换的定义变换的定义 8.28.2节指出，一个连续函数节指出，一个连续函数经采样后，其采样函数经采样后，其采样函数式中：式中：第12页，共61页，编辑于2022年，星期一 上式收敛时，被定义为上式收敛时，被定义为采样函数采样函数 的的Z Z变换变换。即。即注意：注意：1 1、上面三式均为采样函数、上面三式均为采样函数的拉氏变换式；的拉氏变换式；2 2、是是的的Z Z变换式；变换式；3 3、只表征连续函数只表征连续函数在采样时刻之间的特性，不能反映。在采样时刻之间的特性，不能反映。在采样时刻的信号特性，在采样时刻的信号特性，第13页，共61页，编辑于2022年，星
15、期一(2)Z(2)Z变换方法变换方法 Z Z变换方法多种，主要的有变换方法多种，主要的有 1)1)级数求和法级数求和法。以例说明。以例说明例例 求单位价跃函数求单位价跃函数1 1（t t）的）的Z Z变换变换.解：因为解：因为或者或者，由，由两边同乘以两边同乘以z z-1-1得：得：两式相减得：两式相减得：第14页，共61页，编辑于2022年，星期一例2.试求取衰减的指数函数e-at(a)的Z变换。解：解：第15页，共61页，编辑于2022年，星期一2)2)部分分式法部分分式法 方法是，先求出连续函数的拉氏变换式，并部分分式展开。方法是，先求出连续函数的拉氏变换式，并部分分式展开。；然后逐项进
16、行；然后逐项进行Z Z变换。变换。例例3巳知原函数巳知原函数的拉氏变换式为的拉氏变换式为，求其，求其Z Z变换。变换。解：对拉氏变换式用部分分式展开解：对拉氏变换式用部分分式展开逐项进行逐项进行Z Z变换变换(查查Z Z变换表变换表)有有第16页，共61页，编辑于2022年，星期一例4.求取具有拉氏变换为 的连续函数f(t)的Z变换。解：解：第17页，共61页，编辑于2022年，星期一例5.求 的Z变换。解：解：第18页，共61页，编辑于2022年，星期一例例6 求求 的的Z变换变换解：解：第19页，共61页，编辑于2022年，星期一(3)Z(3)Z 变换的主要性质变换的主要性质 1)1)线性
17、性质线性性质2)2)延迟定理延迟定理 说明：原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数说明：原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以上乘以 ,算子算子 的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟n n个周期。个周期。第20页，共61页，编辑于2022年，星期一 3)3)超前定理超前定理若若则则4 4）复数位移定理）复数位移定理第21页，共61页，编辑于2022年，星期一例7:用实数位移定理计算延迟一个采样周期T的单位阶跃函数的Z变换。例8：计算延迟一个采样周期的指数函数e-at的变换。解：解：第22页，共61页，编辑于2022年，星期一5 5）
18、终值定理）终值定理若若在平面上以原点为圆心在平面上以原点为圆心的单位圆上和圆外没有极点或（的单位圆上和圆外没有极点或（z-1z-1）F(z)F(z)全部极点位于全部极点位于Z Z平面平面单位圆内。单位圆内。则则例例设设 的的Z Z 变换函数为变换函数为 求求 的终值。的终值。解解：用终值定理：用终值定理第23页，共61页，编辑于2022年，星期一二、二、Z Z 反变换反变换 Z Z反变换是已知反变换是已知Z Z变换表达式变换表达式F F（z z），求离散序列），求离散序列f f（nTnT）或）或 的过程。的过程。Z Z反变换的方法也有多种，主要方法有反变换的方法也有多种，主要方法有1.1.部分
19、分式法（因式分解法，查表法）部分分式法（因式分解法，查表法）步骤：步骤：先将变换式写成先将变换式写成 ，并展开成部分分式，并展开成部分分式，两端乘以两端乘以Z Z。F F（z z）=查查Z Z变化表。变化表。=例例巳知巳知，求，求。解解写成写成第24页，共61页，编辑于2022年，星期一两边同乘两边同乘z z查查z z 变换表变换表 2 2、幂级数法（长除法）、幂级数法（长除法）将将 表达式直接用长除法，求按降幂排列的展开式表达式直接用长除法，求按降幂排列的展开式 ，便可，便可 直接写出脉冲序列的表达式。直接写出脉冲序列的表达式。例例 己知己知求其反求其反z z 变换变换。解解 可先改写可先改
20、写z z表达式表达式第25页，共61页，编辑于2022年，星期一用长除法，分子、分母相除有用长除法，分子、分母相除有依依z z 变换的定义，有变换的定义，有 注：在实际应用中，常常只需要计算有限的几项就够了，注：在实际应用中，常常只需要计算有限的几项就够了，是开放形式。是开放形式。第26页，共61页，编辑于2022年，星期一8.4 8.4 线性离散系统的数学模型线性离散系统的数学模型一、脉冲传递函数的概念一、脉冲传递函数的概念 定义：线性定常系统，在零初始条件下，系统输出信号定义：线性定常系统，在零初始条件下，系统输出信号 的的Z Z变换与输入信号的变换与输入信号的Z Z变换之比。用式子为变换
21、之比。用式子为二、开环脉冲传递函数的求法二、开环脉冲传递函数的求法系统由串联环节组成时，脉冲传递函数与采样开关的位置和数目有关。系统由串联环节组成时，脉冲传递函数与采样开关的位置和数目有关。1.1.串联环节之间有采样开关串联环节之间有采样开关(图图a)a)G(Z)=G1(Z)G2(Z)2.2.串串联环节间联环节间无采无采样样开关开关(图图b)b)G(Z)=ZG1(s)G2(s)=G1G2(z)第27页，共61页，编辑于2022年，星期一G2(s)零阶保持器y(t)3.环节与零阶保持器串联时的脉冲传函数第28页，共61页，编辑于2022年，星期一解：例.求下图所示二环节串联的脉冲传函,其中G1(
22、S)G2(S)第29页，共61页，编辑于2022年，星期一结论结论:有采样开关断开的线性环节串联时，系统脉冲传递函数有采样开关断开的线性环节串联时，系统脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数的积；无采样开关断开的线性环节串等于各环节脉冲传递函数的积；无采样开关断开的线性环节串联时，系统其脉冲传递函数等于两个连续环节串联之后的联时，系统其脉冲传递函数等于两个连续环节串联之后的Z Z变换。变换。本结论可推广到本结论可推广到n n个环节。个环节。例例：设：设G(s)=1/sG(s)=1/s，G(s)=1/(s+1),G(s)=1/(s+1),分别求上述两种连接时的脉冲传递数。分别求上述两种连接时的脉冲传
23、递数。解解：(1)(1)二环节间有采样器二环节间有采样器 G(Z)=G1(Z)G2(Z)=Z1/sZ1/(s+1)=(2)(2)二环节间无采样器二环节间无采样器第30页，共61页，编辑于2022年，星期一三、闭环脉冲转递函数三、闭环脉冲转递函数 由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置的可能性，故闭环离散系统没由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置的可能性，故闭环离散系统没有唯一的结构形式，通常须采用列出方程式，再消去中间信号变量求出闭环有唯一的结构形式，通常须采用列出方程式，再消去中间信号变量求出闭环转递函数。转递函数。1.1.采样开关位于误差通道采样开关位于误差通道由图由图取取Z Z 变换有
24、变换有又由图有又由图有由以上三式，消去中间变量可得该系统的闭环传递函数：由以上三式，消去中间变量可得该系统的闭环传递函数：第31页，共61页，编辑于2022年，星期一2采样开关不位于误差通道G(s)H(s)r(t)Tsy(t)m(t)-b(t)G1(s)e第32页，共61页，编辑于2022年，星期一3扰动输入时的脉冲传递函数H(s)r(t)Tsy(t)e(t)-b(t)G1G2n(t)G2(s)H(s)G1(s)n(t)-m*m(t)y(t)第33页，共61页，编辑于2022年，星期一第34页，共61页，编辑于2022年，星期一H(S)D(S)G(S)R(S)X(S)Y(S)-例1.试求右图所
25、示系统的闭环传递函数解：第35页，共61页，编辑于2022年，星期一C(s)R(s)-例2.试求取如图所示线性数字系统的闭环传函数解:第36页，共61页，编辑于2022年，星期一注：注：1 1、典型系统的传递函数或输出表达式见表、典型系统的传递函数或输出表达式见表8.18.1 2 2、元部件相同但采样开关的位置或个数不同，系统的传递、元部件相同但采样开关的位置或个数不同，系统的传递 函数不同；函数不同；3 3、有些结构的系统只有输出表达式但求不出闭环传递函数。、有些结构的系统只有输出表达式但求不出闭环传递函数。第37页，共61页，编辑于2022年，星期一8.5 离散控制系统稳定性分析离散控制系
26、统稳定性分析一、一、S S平面与平面与Z Z平面的对应平面的对应(映射映射)关系关系S S平面平面Z Z平面平面左半平面左半平面单位园内单位园内虚轴虚轴单位园上单位园上右半平面右半平面单位园外单位园外注注 ：S S平面上的左半平面，相当于平面上的左半平面，相当于Z Z 平面上的单位园内；平面上的单位园内；S S平面的虚轴，相当于平面的虚轴，相当于Z Z 平面上的单平面上的单位园上；位园上；S S平面上的右半平面，相当于平面上的右半平面，相当于Z Z 平面上的单平面上的单位园外。第38页，共61页，编辑于2022年，星期一二、离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件二、离散控制系统闭环稳定的充分、必
27、要条件离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件是，系统的特征方程的根全离散控制系统闭环稳定的充分、必要条件是，系统的特征方程的根全部位于部位于Z Z平面以原点为园心的单位园内。平面以原点为园心的单位园内。例例 某离散控制系统如右图所示，采样周期为某离散控制系统如右图所示，采样周期为1s1s，系统能否稳定工作？，系统能否稳定工作？解：系统的开环脉冲传递函数为解：系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为系统的闭环脉冲传递函数为特征方程特征方程=0特征方程根特征方程根，在在 Z Z 平面的单位园外，所以该系统是不稳定。平面的单位园外，所以该系统是不稳定。由于由于第39页，共61页，编辑于2022
28、年，星期一三、离散系统的稳定性判据三、离散系统的稳定性判据劳斯判据。具体方法、步骤；劳斯判据。具体方法、步骤；1 1、求出特征方程式，、求出特征方程式，2 2、Z W Z W 变换：变换：令特征方程式中的令特征方程式中的 ，得到，得到 3 3、用第三章劳斯判据的方法判稳。、用第三章劳斯判据的方法判稳。；例1.设闭环采样系统的特征方程为D(z)=45z3-117z2+119z-39=0判断其稳定性.解：解：第40页，共61页，编辑于2022年，星期一r(t)-T例2.判断如图所示系统的稳定性,采样周期Ts=0.2(秒)解:第41页，共61页，编辑于2022年，星期一-R(S)G(S)C(S)T例
29、3.设采样系统的方框图如图所示,其中 采样周期T=0.25s,求能使系统稳定的K1值范围解:第42页，共61页，编辑于2022年，星期一8.6 8.6 离散控制系统的稳态误差分析离散控制系统的稳态误差分析 离散系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是指系统到达稳定后误差离散系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是指系统到达稳定后误差脉冲序列。脉冲序列。由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，故不能给出一般的误差脉冲传递函数的计算公式由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，故不能给出一般的误差脉冲传递函数的计算公式,其稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取。其稳态误差需要针对不同形式的
30、离散系统来求取。离散系统稳态误差的分析、计算与连续系统的相类拟，计算方法主要两种。离散系统稳态误差的分析、计算与连续系统的相类拟，计算方法主要两种。一、用用Z Z变换的终值定理计算变换的终值定理计算 若系统稳定若系统稳定,即全部极点位于即全部极点位于z z平面单位图内平面单位图内,则可用则可用z z变换终值变换终值定理求出采样瞬时终值误差。方法、步骤如下：定理求出采样瞬时终值误差。方法、步骤如下：1、求出误差传递函数求出误差传递函数 2 2、求出误差、求出误差Z Z变换式变换式3 3、终值定理计算、终值定理计算第43页，共61页，编辑于2022年，星期一二、误差系数方法二、误差系数方法其中其中
31、 含有的积分环节个数含有的积分环节个数N N，表征系统的无差度。，表征系统的无差度。N=0 0N=0 0阶无差系统；阶无差系统；N=1N=1一阶无差系统；一阶无差系统；N=2 N=2 二阶无差系统二阶无差系统 称为位置误差系数。且有称为位置误差系数。且有设单位反馈系统，开环传递函数为设单位反馈系统，开环传递函数为（1 1）阶跃输入时）阶跃输入时 由终值定理有由终值定理有N=0,N=0,N=0 N1 令令第44页，共61页，编辑于2022年，星期一(2)(2)斜坡输入斜坡输入，速度误差系数，速度误差系数当N=0 时，当N=1 时，有限值，当N=2 时，(3)(3)加速度输入加速度输入第45页，共
32、61页，编辑于2022年，星期一，称为加速度误差系数。称为加速度误差系数。例例1(t)r(t)求下列系统单位斜波信号作用下的稳态误差。求下列系统单位斜波信号作用下的稳态误差。y(t)当当N=0,1 时时 当当N=2 时时 第46页，共61页，编辑于2022年，星期一解解I I 型系统。型系统。注注：引入保持器，并不会改变系统开环脉冲传递函数极点的个数，系统仍是一阶：引入保持器，并不会改变系统开环脉冲传递函数极点的个数，系统仍是一阶无差系统。无差系统。第47页，共61页，编辑于2022年，星期一例2.右图所示系统中的采样周期Ts=0.2s,试求在时的稳态误差.解:第48页，共61页，编辑于202
33、2年，星期一8.7离散控制系统的动态性能分析离散控制系统的动态性能分析 一、闭环极点（根的位置）与时间响应的关系一、闭环极点（根的位置）与时间响应的关系 在连续系统里，如已知系统的极点位置，可估计出它的对应在连续系统里，如已知系统的极点位置，可估计出它的对应瞬态形状。离散系统中，若己知闭环脉冲传递函数的极点在瞬态形状。离散系统中，若己知闭环脉冲传递函数的极点在z z平平面上单位圆内的分布与系统响应之间关系，这对系统设计、分析面上单位圆内的分布与系统响应之间关系，这对系统设计、分析会有重要意义。会有重要意义。分析：分析：设闭环脉冲传递函数为设闭环脉冲传递函数为)当当r(t)=1(t),r(t)=
34、1(t),离散系统输出的离散系统输出的z z变换变换Y(z)=(z)R(z)=第49页，共61页，编辑于2022年，星期一展成部分分式展成部分分式为了方便讨论，假设无重极点为了方便讨论，假设无重极点 A=式中式中反反Z Z变换变换第50页，共61页，编辑于2022年，星期一根据根据P Pj j在单位圆的位置，可以确定在单位圆的位置，可以确定y y*(t)(t)的动态响应形式的动态响应形式(1)(1)单极点位于单极点位于Z Z平面实轴上平面实轴上 P Pj j1 1 闭环极点位于闭环极点位于Z Z平面单位圆外的正实轴上，脉冲响应单调发散平面单位圆外的正实轴上，脉冲响应单调发散 P Pj j=1=
35、1 单位圆上，动态响应为等幅（常值）脉冲序列。单位圆上，动态响应为等幅（常值）脉冲序列。0P 0Pj j1 1 单位圆正实轴单调递减。单位圆正实轴单调递减。-1P-1Pj j0 0 单位圆内负实轴，正负交替递减脉冲序列，振荡周单位圆内负实轴，正负交替递减脉冲序列，振荡周 期期=T=T，P Pj j=-1=-1 正负交替的等幅脉冲序列正负交替的等幅脉冲序列 P Pj j-1 1,|Pj|1,振荡发散序列。振荡发散序列。|Pj|Pj|越大，发散越快；越大，发散越快；|Pj|=1|Pj|=1，等幅振荡脉冲序列；，等幅振荡脉冲序列；|Pj|1|Pj|1，收敛振荡，收敛振荡，|Pj|Pj|越小，收敛越快
36、。越小，收敛越快。用图表示用图表示二、离散控制系统的动态性能估算二、离散控制系统的动态性能估算离散控制系统的动态性能计算复杂。离散控制系统的动态性能计算复杂。P203页提供式页提供式(8-39)、(8-39)作为离散控制系统的动态性能估算公式。作为离散控制系统的动态性能估算公式。为使离散控制系统具有较好的动态性能，闭环极点应尽量避免分布在平面单位圆内的左半部，并且不要靠近负实轴，闭环极点最好分布在单位圆内右部正实轴上并靠近原点的位置。第52页，共61页，编辑于2022年，星期一8.8 8.8 数字控制器的模拟化设计数字控制器的模拟化设计 一、设计原理一、设计原理 先把数字调节器的脉冲传递函数看
37、成为模拟调节器的传递函数，把离散系统视为先把数字调节器的脉冲传递函数看成为模拟调节器的传递函数，把离散系统视为一连续系统，再按连续系统的校正方法求出校正网络，最后对求出的模拟调节器的一连续系统，再按连续系统的校正方法求出校正网络，最后对求出的模拟调节器的传递函数进行数字化。传递函数进行数字化。二、模拟调节器的传递函数进行数字化常用方法：二、模拟调节器的传递函数进行数字化常用方法：1 1、直接差分法、直接差分法 2 2、双线性变换法、双线性变换法三、数字控制器的模拟化设计方法的步骤：三、数字控制器的模拟化设计方法的步骤：1 1、求出带零阶保持器的被控对象传函；、求出带零阶保持器的被控对象传函；2
38、、根据性能要求，用第六章开环对数频率特性的博德图法，、根据性能要求，用第六章开环对数频率特性的博德图法，求出校正网络的求出校正网络的 传递函数；传递函数；3、选择采样频率；、选择采样频率；4、校正网络传递函数的离散化处理；、校正网络传递函数的离散化处理；5、求出差分方程，计算机程序实现。、求出差分方程，计算机程序实现。第53页，共61页，编辑于2022年，星期一四、例题四、例题 某计算机控制系统如图所示。设计数字控制器，使系统的开环截止频率大于某计算机控制系统如图所示。设计数字控制器，使系统的开环截止频率大于或等于或等于15(1/s)15(1/s)，相位裕度大于或等于，相位裕度大于或等于454
39、5度，度，开环增益开环增益(控制精度控制精度)大于或等于大于或等于3030。解解 (1)设计模似校正装置设计模似校正装置 根据静态性能要求，取开环放大系数为根据静态性能要求，取开环放大系数为30；把零阶保持器近似为一个惯性环；把零阶保持器近似为一个惯性环 节，节，设取采样周期为设取采样周期为0.01秒，于是未校秒，于是未校 正前系统的开环传递函数为正前系统的开环传递函数为校正前系统的开环频率特性校正前系统的开环频率特性如图中实线所示如图中实线所示第54页，共61页，编辑于2022年，星期一由图可知，开环截止频率约等于由图可知，开环截止频率约等于10(1/s)10(1/s)，相位裕度约等于，相位
40、裕度约等于1414度度，相位裕度也可以通过下式计算：，相位裕度也可以通过下式计算：根据第六章，采用串联校正。串联校正取为根据第六章，采用串联校正。串联校正取为 采用串联校正后，系统开环频率特性如图中虚线所示。由图有开环截采用串联校正后，系统开环频率特性如图中虚线所示。由图有开环截止频率等于止频率等于19(1/s)19(1/s)，相位裕度等于，相位裕度等于6060度，开环增益度，开环增益(控制精度控制精度)大于或等大于或等于于3030。满足性能要求值。满足性能要求值。(2)(2)选取采样频率选取采样频率 采样频率值己选为采样频率值己选为0.010.01秒。秒。第55页，共61页，编辑于2022年
41、，星期一(3)3)模似校正装置的离散化模似校正装置的离散化 采用双线性变换的离散化方法，令传递函数中采用双线性变换的离散化方法，令传递函数中s s等于等于于是，数字控制器的脉冲传递函数为于是，数字控制器的脉冲传递函数为(4)(4)化数字控制器的脉冲传递函数为差分方程化数字控制器的脉冲传递函数为差分方程第56页，共61页，编辑于2022年，星期一代入各时间常数的值，有代入各时间常数的值，有 为了避免运算过程中出现溢出，因此将控制量中误差项的传递系数缩小为了避免运算过程中出现溢出，因此将控制量中误差项的传递系数缩小2020倍，其增益的补偿将由系统中的功放实现。于是数字调节器的输入输出表达倍，其增益
42、的补偿将由系统中的功放实现。于是数字调节器的输入输出表达式为式为根据上式编制计算机控制算法程序。根据上式编制计算机控制算法程序。第57页，共61页，编辑于2022年，星期一8.98.9数字控制器的离散化设计数字控制器的离散化设计 数字控制器的离散化设计方法有数字控制器的离散化设计方法有Z Z平面的根迹法、平面的根迹法、W W平面的博德图法、解析法（最少拍）平面的博德图法、解析法（最少拍）等。这里只介绍等。这里只介绍W W平面的博德图法。最少拍在平面的博德图法。最少拍在 课程中都有介绍。课程中都有介绍。一、一、原理原理 系统中的各环节都具有离散模型的型式下，通过系统中的各环节都具有离散模型的型式
43、下，通过Z Z平面与平面与W W平面的转换后，用第六平面的转换后，用第六章的博德图法进行系统的校正、综合。章的博德图法进行系统的校正、综合。二、二、方法与步骤方法与步骤1、求出带零阶保持器的被控对象脉冲传递函数；、求出带零阶保持器的被控对象脉冲传递函数；2、进行、进行Z域到域到W域的变换；域的变换；3、令、令w=，作未校正前博德图；作未校正前博德图；若不满足性能要求，表明要对系统要进行校正，转第若不满足性能要求，表明要对系统要进行校正，转第4步；步；4、根据性能要求，用第六章开环对数频率特性的博德图法，、根据性能要求，用第六章开环对数频率特性的博德图法，求出校正网络的传递函数；求出校正网络的传
44、递函数；5、对所求出的校正网络的传递函数进行、对所求出的校正网络的传递函数进行W域到域到Z域的变换；域的变换；6、计算机程序实现。、计算机程序实现。第58页，共61页，编辑于2022年，星期一例例 系统如图所示，采样周期系统如图所示，采样周期0.10.1秒。要求性能：幅值裕度大于等于秒。要求性能：幅值裕度大于等于16dB16dB，相位裕度大于等于相位裕度大于等于4040度，度，速度误差系数大于等于速度误差系数大于等于3 3，开环截止频率大于等，开环截止频率大于等于于3(1/s)3(1/s)。设计调节器。设计调节器。解解 (1)(1)未校正前系统的开环脉冲传递函数未校正前系统的开环脉冲传递函数考
45、虑到静态性能要求值，考虑到静态性能要求值，k=30k=30。(2)对对G(Z)作作W变换，令变换，令 代入代入 ，第59页，共61页，编辑于2022年，星期一(3)(3)令令 ，求出末校正前的开环虚拟频率特性，求出末校正前的开环虚拟频率特性 ，如图所示，如图所示由图可知，系统不稳定。由图可知，系统不稳定。(4)采用串联滞后校正采用串联滞后校正 依第六章，设采用的校正装置依第六章，设采用的校正装置则校正后的系统开环频率特性则校正后的系统开环频率特性作出校正后系统的开环对数频率特性，如图所示。作出校正后系统的开环对数频率特性，如图所示。由图可知，幅值裕度约等于由图可知，幅值裕度约等于18dB，相位裕度约等于相位裕度约等于42度，度，考虑到虚拟频率与实际考虑到虚拟频率与实际频率之关系，频率之关系，开环截止频率实际穴上约等于开环截止频率实际穴上约等于3.36(1/s)；满足性能要求。；满足性能要求。第60页，共61页，编辑于2022年，星期一(5)(5)对对 作作w w对对z z域的变换，求校正装置的脉冲传递函数域的变换，求校正装置的脉冲传递函数 将校正装置的脉冲传递函数化为差分方程，依差分方程编制程序。将校正装置的脉冲传递函数化为差分方程，依差分方程编制程序。第61页，共61页，编辑于2022年，星期一