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1、线性控制系统的动态分析第1页，共32页，编辑于2022年，星期一n n状态转移矩阵n n线性定常系统状态方程的求解n n线性时变连续系统状态方程的求解n n 线性离散时间系统状态方程的求解第2页，共32页，编辑于2022年，星期一 一、一、状态转移矩阵状态转移矩阵1、状态转移矩阵的基本定义 对于线性定常连续系统对于线性定常连续系统 ，当初时刻，当初时刻 时，满足如下矩时，满足如下矩阵微分方程和初始条件：阵微分方程和初始条件：解解 为线性定常连续系统为线性定常连续系统 的状态转移矩阵。的状态转移矩阵。特点：特点：1 1）概念易于推广）概念易于推广 2 2）更好地刻画系统状态运动变化的规律）更好地
2、刻画系统状态运动变化的规律 第3页，共32页，编辑于2022年，星期一 2、状态转移矩阵的计算方法1.1.级数展开法级数展开法 2.2.拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法 齐次状态方程齐次状态方程 两边取拉普拉斯变换：两边取拉普拉斯变换：第4页，共32页，编辑于2022年，星期一 得得：为初始时刻的初始状态。为初始时刻的初始状态。3.3.约当规范型法约当规范型法 （1 1）方阵）方阵A A的的n n个特征值互异，个特征值互异，A A可以对角化可以对角化 第5页，共32页，编辑于2022年，星期一 得得：P P是由是由A A的特征向量的特征向量 来构造来构造 （2 2）方阵方阵A A有有n n重特征值
3、时，重特征值时，A A不能变换为对角线标准型，只能使相不能变换为对角线标准型，只能使相似变换后的矩阵似变换后的矩阵 为约当标准型为约当标准型J J，即，即 第6页，共32页，编辑于2022年，星期一 为方阵为方阵A A的重特征值，且的重特征值，且 第7页，共32页，编辑于2022年，星期一 则则 4.4.赛尔维斯特内插法赛尔维斯特内插法 1 1）凯莱）凯莱-哈密顿定理哈密顿定理 A A的特征方程：的特征方程：凯莱凯莱-哈密顿定理指出，矩阵哈密顿定理指出，矩阵A A满足其自身的特征方程，即满足其自身的特征方程，即 第8页，共32页，编辑于2022年，星期一 2 2）最小多项式）最小多项式 定义定
4、义n nn n维矩阵维矩阵A A的最小多项式为最小阶次的多项式的最小多项式为最小阶次的多项式 即即 使使 则则 最小多项式的求解步骤：最小多项式的求解步骤：a.a.根据伴随矩阵根据伴随矩阵 ，写出，写出 作为分解多项式的各元素。作为分解多项式的各元素。b.b.确定各元素的最高公约式确定各元素的最高公约式 ，选取，选取 的的 最高阶次系数为最高阶次系数为1 1，若，若不存在公约式，则不存在公约式，则 c.c.根据公式得到根据公式得到 第9页，共32页，编辑于2022年，星期一 3 3）赛尔维斯特内插法）赛尔维斯特内插法 基本思想：化基本思想：化 为为A A的有限项，然后通过求待定时间函数获得的有
5、限项，然后通过求待定时间函数获得 的方法的方法 。设设A A的最小多项式阶数为的最小多项式阶数为mm，则通过求解行列式，则通过求解行列式 （3-13-1）得到得到 。此外，也可采用如下等价方法：。此外，也可采用如下等价方法：将（将（3-13-1）按最后一行展开，得到：）按最后一行展开，得到：（3-23-2）第10页，共32页，编辑于2022年，星期一 通过求解下列方程组通过求解下列方程组 可确定出可确定出 ，进而代入式（，进而代入式（3-23-2）即可求得）即可求得 二、线性定常系统状态方程的求解二、线性定常系统状态方程的求解 1、线性定常系统齐次状态方程的解 齐次状态方程是研究系统本身的自由
6、运动，不考虑输入项齐次状态方程是研究系统本身的自由运动，不考虑输入项。齐次状态描述齐次状态描述 第11页，共32页，编辑于2022年，星期一 解得方程的解为：解得方程的解为：将将 称为状态转移矩阵，并记为称为状态转移矩阵，并记为 当初始状态给定后，状态转移矩阵包含了自由运动的全部当初始状态给定后，状态转移矩阵包含了自由运动的全部 信息。信息。2、线性定常系统非齐次状态方程的解 状态描述方程，即：状态描述方程，即：求解非齐次状态方程是为了研究输入作用下系统强迫运动的规律，求解非齐次状态方程是为了研究输入作用下系统强迫运动的规律，下面介绍求解的几种方法：下面介绍求解的几种方法：第12页，共32页，
7、编辑于2022年，星期一 1 1）直接求解法）直接求解法 将非齐次方程改写为：将非齐次方程改写为：作如下变换：作如下变换：积分两边左乘积分两边左乘 得：得：第13页，共32页，编辑于2022年，星期一 若若 则对应的初始状态方程的解为：则对应的初始状态方程的解为：2 2）拉普拉斯变换法）拉普拉斯变换法 对式（对式（3-33-3）求拉普拉斯变换，并移项整理）求拉普拉斯变换，并移项整理 第14页，共32页，编辑于2022年，星期一 利用卷积分公式有利用卷积分公式有 3 3）状态方程解得意义）状态方程解得意义 线性定常系统有两部分叠加而成，它们分别是系统初始状态的初始运动线性定常系统有两部分叠加而成
8、，它们分别是系统初始状态的初始运动和由输入引起的系统的强迫运动，其中强迫运动的值为输入函数与矩阵函和由输入引起的系统的强迫运动，其中强迫运动的值为输入函数与矩阵函数的卷积。通过选择适当的输入控制信号来达到期望的状态变化规律。数的卷积。通过选择适当的输入控制信号来达到期望的状态变化规律。第15页，共32页，编辑于2022年，星期一三、线性时变连续系统状态方程的求解三、线性时变连续系统状态方程的求解 严格地说，实际控制对象都是时变系统，其系统结构或参数随时严格地说，实际控制对象都是时变系统，其系统结构或参数随时间变化。由于时变系统的数学模型复杂，不易于分析，优化和控制，间变化。由于时变系统的数学模
9、型复杂，不易于分析，优化和控制，在实际工程准许的情况下，可将慢时变系统作定常系统处理。对高精在实际工程准许的情况下，可将慢时变系统作定常系统处理。对高精度控制系统需作时变系统处理。度控制系统需作时变系统处理。1、线性时变连续系统齐次状态方程的解 时变齐次状态方程为：时变齐次状态方程为：式（式（3-43-4）的解为：）的解为：表示了系统自由运动的特性，代表初始状态的转移，转移表示了系统自由运动的特性，代表初始状态的转移，转移特性完全由特性完全由 决定。决定。第16页，共32页，编辑于2022年，星期一2、线性时变连续系统的状态转移矩阵 1 1、状态转移矩阵的求解、状态转移矩阵的求解 线性时变连续
10、系统的状态转移矩阵线性时变连续系统的状态转移矩阵 是下列微分方程和初始是下列微分方程和初始条件的的解条件的的解 对（对（3-63-6）在时间域内进行积分有：）在时间域内进行积分有：第17页，共32页，编辑于2022年，星期一 将将 按式按式 展开，这样继续迭代下去并将各展开式代入展开，这样继续迭代下去并将各展开式代入 中：中：时变系统矩阵时变系统矩阵 与与 满足矩阵乘法的可交换条件时，状态转移满足矩阵乘法的可交换条件时，状态转移矩阵可表示为矩阵可表示为第18页，共32页，编辑于2022年，星期一 可交换的充分必要条件是：可交换的充分必要条件是：3、线性时变连续系统非齐次状态方程的解 状态描述方
11、程为：状态描述方程为：该非齐次状态方程的解为该非齐次状态方程的解为 第19页，共32页，编辑于2022年，星期一 比较线性定常连续系统与线性时变连续系统状态方程的解的表示形比较线性定常连续系统与线性时变连续系统状态方程的解的表示形式式 定常系统：定常系统：时变系统：时变系统：1 1）解的结构和形式相同，都是零输入和零状态响应的线性叠加。）解的结构和形式相同，都是零输入和零状态响应的线性叠加。2 2）在）在 为时不变时，时变系统的为时不变时，时变系统的 即为定常系统的即为定常系统的 。第20页，共32页，编辑于2022年，星期一四、线性离散时间系统状态方程的求解四、线性离散时间系统状态方程的求解
12、 图图 3-1 连续系统离散化的实现连续系统离散化的实现1、线性连续系统状态方程的离散化线性连续系统状态方程的离散化第21页，共32页，编辑于2022年，星期一 线性连续系统的时间离散化问题的数学实质线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采样方式保就是在一定的采样方式保持方式下持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型。由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型。1 1、线性定常连续系统的离散化、线性定常连续系统的离散化 1 1）精确离散化）精确离散化 连续系统的状态方程的求解公式如下连续系统的状态方程的求解公式如下:考虑在采样时刻考虑在采样时刻 和
13、和 时刻之间的状态响应，时刻之间的状态响应，,于是于是 第22页，共32页，编辑于2022年，星期一 线性连续系统的时间离散化问题的数学实质线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采样方式保就是在一定的采样方式保持方式下持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型。由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型。1 1、线性定常连续系统的离散化、线性定常连续系统的离散化 1 1）精确离散化）精确离散化 连续系统的状态方程的求解公式如下连续系统的状态方程的求解公式如下:考虑在采样时刻考虑在采样时刻 和和 时刻之间的状态响应，时刻之间的状态响应，,于是于是 第2
14、3页，共32页，编辑于2022年，星期一考虑到考虑到u u(t t)在采样周期内保持不变的假定在采样周期内保持不变的假定,所以有所以有 对上式作变量代换令对上式作变量代换令 ,则上式可记为则上式可记为比较比较,可知两式对任意的可知两式对任意的 和和 成立的条件为成立的条件为将上式与线性定常离散系统的状态方程第24页，共32页，编辑于2022年，星期一 上式即为精确离散化的计算式。上式即为精确离散化的计算式。2 2）近似离散化）近似离散化 所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指n n在采样周期在采样周期较小较小,n n且对离散化的精度要求
15、不高的情况下且对离散化的精度要求不高的情况下,用状态变量的用状态变量的差商代替微商差商代替微商差商代替微商差商代替微商来求得近似的差分方程。来求得近似的差分方程。当采样周期较小时，有当采样周期较小时，有 代入连续系统的状态方程，有代入连续系统的状态方程，有 第25页，共32页，编辑于2022年，星期一 与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比较，得近似离散化的与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比较，得近似离散化的计算公式：计算公式：将上述近似离散法和精确离散法比较知将上述近似离散法和精确离散法比较知,由于由于I I+ATAT和和BTBT分别是分别是e eATAT和和 e eAtAtd
16、dtBtB的的TaylorTaylor展开式中的一次近展开式中的一次近似似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次式的一次TaylorTaylor近似展开式。近似展开式。一般说来一般说来,采样周期采样周期T T越小越小,则离散化精度越高。考虑实际的误则离散化精度越高。考虑实际的误差等因素，差等因素，T T不宜过小。不宜过小。第26页，共32页，编辑于2022年，星期一 2 2、线性时变连续系统的离散化、线性时变连续系统的离散化n n线性时变连续系统状态空间模型的离散化线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定的采
17、样实际上是指在指定的采样周期周期T T下下,将连续系统的状态方程变换成线性时变离散系统的如下状态方将连续系统的状态方程变换成线性时变离散系统的如下状态方程程:n n线性时变连续系统的状态方程的离散化线性时变连续系统的状态方程的离散化,就是利用时变系统的状态轨迹求就是利用时变系统的状态轨迹求解公式来进行离散化。解公式来进行离散化。第27页，共32页，编辑于2022年，星期一 连续系统状态方程的解可表示为连续系统状态方程的解可表示为:现在只考虑在采样时刻现在只考虑在采样时刻 和和 时刻之间的状态响应时刻之间的状态响应 u u(t t)在采样周期内保持不变在采样周期内保持不变,所以有所以有第28页，
18、共32页，编辑于2022年，星期一 比较下述两式比较下述两式可得线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下可得线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下 第29页，共32页，编辑于2022年，星期一 3 3、线性离散系统状态方程的解、线性离散系统状态方程的解 1 1）线性定常离散系统状态方程的解）线性定常离散系统状态方程的解由迭代法得：由迭代法得：递推法 状态方程：，G、H是定常矩阵。给定 时的 初始状态x(0)，及任意时刻 u(k)第30页，共32页，编辑于2022年，星期一 由此得：由此得：初始状态引起的响应初始状态引起的响应初始状态引起的响应初始状态引起的响应输入引起的响应输入引起的响应输入引起的响应输入引起的响应Z变换法离散系统的状态方程：对上式两边进行Z变换：对上式两边进行Z反变换第31页，共32页，编辑于2022年，星期一 对上式两边进行Z反变换小结：两种方法的解的结构是一致，均为初始状态的影响和初始时刻后输入的影响。Z变换的方法Z的反变换后的结果与递推法的求解结果是一致的。第32页，共32页，编辑于2022年，星期一