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1、西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系第五章第五章 贝赛尔（贝赛尔（Bessel）函数）函数特殊函数之一特殊函数之一西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系1 Bessel方程的导出方程的导出5.1 Bessel方程及方程及Bessel函数函数引例：设有半径为引例：设有半径为R的圆形薄盘，上、下两面绝热，圆盘边界的圆形薄盘，上、下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零度，且初始温度分布已知，求圆盘内的上的温度始终保持为零度，且初始温度分布已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。瞬时温度分布规律。该问题的数学模型为：该问题的数学模型为：用分离变量法求解。令用分离变量法求解。令代入方程得代入方
2、程得西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系考虑到边界条件，有考虑到边界条件，有转化到极坐标系，问题变成转化到极坐标系，问题变成亥姆霍兹方程西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系再用分离变量法再用分离变量法第二个方程变形为第二个方程变形为令代入方程得令代入方程得西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系求解固有值问题求解固有值问题得固有值及固有函数分别为得固有值及固有函数分别为将代入方程得将代入方程得再由边界条件知，再由边界条件知，故有下列固有故有下列固有值问题值问题又又西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系只要能够求解该固有值问题，本节提出的热传导问题就解只要能够求解该固有
3、值问题，本节提出的热传导问题就解决了。下面先研究该固有值问题中的方程。决了。下面先研究该固有值问题中的方程。称为阶称为阶Bessel方程方程一般的有一般的有v阶阶Bessel方程方程西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系2.Bessel函数函数Bessel方程的解方程的解用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解为为于是于是各阶导数为各阶导数为西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系代入代入Bessel方程，整理，得方程，整理，得于是由幂级数展式的唯一性，有于是由幂级数展式的唯一性，有不妨取不妨取西安理工大学应用数学系
4、西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系其中是一个任意常数，为了简化，取其中是一个任意常数，为了简化，取注：注：是一个广义函数：是一个广义函数：注：注：的性质：的性质：当当v是正整数是正整数 n时时回到原问题回到原问题西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系这时这时这样就得到了这样就得到了Bessel方程的一个特解方程的一个特解记为，即记为，即称为称为v阶第一类阶第一类Bessel函数（级数）。函数（级数）。称为称为-v阶第一类阶第一类Bessel函数（级数）。函数（级数）。当时可得当时可得Bessel方程的另一个解，即方程的另一个解，即西安理工大学应用数学系西安
5、理工大学应用数学系由幂级数收敛性判定知，这两个级数在实数域内均绝对收敛。由幂级数收敛性判定知，这两个级数在实数域内均绝对收敛。若构造若构造Bessel方程的通解如何得到呢？方程的通解如何得到呢？情形情形：当：当v 不是整数时，不是整数时，与与 线性无关，于线性无关，于是是Bessel方程的通解为方程的通解为则称为则称为第二类第二类Bessel函数，函数，而与线性无关，而与线性无关，故通解又可写成故通解又可写成情形情形：当：当 v是正整数是正整数n（包括零）时，（包括零）时，与与 线线性相关，于是需找到与线性无关的函数，才能得到性相关，于是需找到与线性无关的函数，才能得到Bessel方程的通解。
6、方程的通解。西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系定义定义即可满足要求。即可满足要求。此时此时下面说明与的线性相关性：下面说明与的线性相关性：由于当由于当而当，于是有而当，于是有西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系故与的线性相关。故与的线性相关。例例1验证是方程验证是方程的解。的解。分析：满足分析：满足Bessel方程方程西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系证明：因证明：因代入方程，得代入方程，得西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系例例2 2：证明：证明 的解为的解为 西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系性质性质1 1 有界性有界性 性质性质2 2 奇偶性
7、奇偶性 5.2 贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质当当v为正整数为正整数n时时 西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系性质性质3 3 递推性递推性 推导：推导：于是得递推公式：于是得递推公式：推导：推导：于是得递推公式：于是得递推公式：西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系例例 求下列微积分求下列微积分同理有递推公式：同理有递推公式：西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系性质性质 半奇数阶的贝塞尔函数半奇数阶的贝塞尔函数 西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系1 固有值问题的解固有值问题的解 5.15.1问题的继续问题的继续问题
8、的继续问题的继续 5.3 正整数阶正整数阶Bessel函数的性质及应用函数的性质及应用上节要解决的固上节要解决的固有值问题有值问题经前面讨论之后，可得方程的通解为经前面讨论之后，可得方程的通解为西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系2 Bessel函数的零点函数的零点西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系由如上几个函数零点的布局结构，可推知由如上几个函数零点的布局结构，可推知1有无穷多个单重实零点，并关于原点对称分布，故有无穷多个单重实零点，并关于原点对称分布，故2有无穷多个正零点，记为有无穷多个正零点，记为2与的零点是相间分布的，且与的零点是相间分布的，且3即的最小正零点比的小。
9、即的最小正零点比的小。3,即图形随着趋即图形随着趋于于4以为周期的函数。以为周期的函数。这时这时故固有值为故固有值为固有函数系为固有函数系为在前面的介绍中，在前面的介绍中，故有函数系均正交，故有函数系均正交，此处如何？此处如何？西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系 固有函数系的正交性固有函数系的正交性证明略。证明略。结论：结论：n阶阶Bessel函数系在上带权函数系在上带权正交，即正交，即西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系且且结论：若在内分段连续，且结论：若在内分段连续，且则必能展成如下形式的级数则必能展成如下形式的级数其中其中 Fourier-Bessel级数级数Fouri
10、er-Bessel级数级数Fourier-Bessel系数系数西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系例例4 4：将：将1 1在在 区间内展成区间内展成 的级数形式的级数形式 解：设解：设由正交性知由正交性知而而所以所以西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系例例5：将将x在在0 x2区间内展成区间内展成 的级数形式的级数形式 解：设解：设由正交性知由正交性知而而所以所以西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系 Bessel函数的应用函数的应用例求解下列热传导问题例求解下列热传导问题用分离变量法。令，代入方程，得用分离变量法。令，代入方程，得均匀圆盘的热传导，均匀圆盘的热传导，无热源无热源边界温度边界温度为零为零初始温度与角度初始温度与角度无关，于是内部无关，于是内部温度分布也与角温度分布也与角度无关度无关西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系方程通解为方程通解为固有函数为固有函数为可归纳出固有值问题：可归纳出固有值问题：于是固有值为于是固有值为阶阶Bessel方方程程另一方程解为另一方程解为西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系由叠加原理有由叠加原理有由初值条件知由初值条件知此时此时经计算得经计算得故原问题的解为故原问题的解为西安理工大学应用数学系西安理工大学应用数学系