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1、第 5 章 参数估计5.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 5.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计5.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计5.4 样本容量的确定样本容量的确定学习目标1.估计量与估计值的概念估计量与估计值的概念2.点估计与区间估计的区别点估计与区间估计的区别3.评价估计量优良性的标准评价估计量优良性的标准4.一个总体参数的区间估计方法一个总体参数的区间估计方法5.两个总体参数的区间估计方法两个总体参数的区间估计方法6.样本容量的确定方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程样样本本总体总体样本统计量样本统计量样本统计量样本统计
2、量样本统计量样本统计量如：样本均值、如：样本均值、如：样本均值、比率、方差比率、方差比率、方差总体均值、比总体均值、比率、方差等率、方差等5.1 参数估计的一般问题一、估计量与估计值一、估计量与估计值二、点估计与区间估计二、点估计与区间估计三、评价估计量的标准三、评价估计量的标准估计量与估计值1.估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比率、样本方差等例如:样本均值就是总体均值 的一个估计量2.参数用 表示，估计量用 表示3.估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值 x=80，则80就是的估计值估计量与估计值(estimator&estimated value)点估计与
3、区间估计参数估计的方法估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计点估计(point estimate)1.用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息3.点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等区间估计(interval estimate)1.在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在7585之
4、间，置信水平是95%样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量 (点估计点估计点估计点估计)置信区间置信区间置信区间置信区间置信下限置信下限置信下限置信下限置信上限置信上限置信上限置信上限区间估计的图示 x95%95%的样本的样本的样本的样本 -1.96-1.96 x x +1.96+1.96 x x99%99%的样本的样本的样本的样本 -2.58-2.58 x x +2.58+2.58 x x90%90%的样本的样本的样本的样本 -1.65-1.65 x x +1.65+1.65 x x1.将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平 2.表示为(1-为
5、是总体参数未在区间内的比率3.常用的置信水平值有 99%,95%,90%相应的相应的 为0.01，0.05，0.10置信水平 1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间2.统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 3.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间(confidence interval)置信区间与置信水平 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布样
6、本均值的抽样分布(1-(1-)%)%区间包含了区间包含了区间包含了区间包含了%的区间未包含的区间未包含的区间未包含的区间未包含 1 1 /2 2 /2 2影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，用来测度2.样本容量，3.3.置信水平(1-)，影响 z 的大小评价估计量的标准无偏性(unbiasedness)无无偏偏性性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数 P P()B BA A无偏无偏无偏无偏无偏无偏有偏有偏有偏有偏有偏有偏有效性(efficiency)有效性：有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效 AB 的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布
7、的抽样分布的抽样分布的抽样分布的抽样分布P P()一致性(consistency)一一致致性性：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较小的样本容量较小的样本容量较小的样本容量较大的样本容量较大的样本容量较大的样本容量较大的样本容量P P()5.2 一个总体参数的区间估计一、总体均值的区间估计一、总体均值的区间估计二、总体比率的区间估计二、总体比率的区间估计三、总体方差的区间估计三、总体方差的区间估计一个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均均值值比率比率方差方差总体均值的区间估计(大样本)总体均值的区间估计(大样本)1.
8、假定条件总体服从正态分布,且方差()未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n 30)2.使用正态分布统计量 z3.总体均值总体均值 在在1-1-置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为总体均值的区间估计(例题分析)【例例例例 】一一家家食食品品生生产产企企业业以以生生产产袋袋装装食食品品为为主主，为为对对产产量量质质量量进进行行监监测测，企企业业质质检检部部门门经经常常要要进进行行抽抽检检，以以分分析析每每袋袋重重量量是是否否符符合合要要求求。现现从从某某天天生生产产的的一一批批食食品品中中随随机机抽抽取取了了2525袋袋，测测得得每每袋袋重重量量如如下下表表所所示示。已已知知产产品品
9、重重量量的的分分布布服服从从正正态态分分布布，且且总总体体标标准准差差为为10g10g。试试估估计计该该批批产产品品平平均均重重量量的的置信区间，置信水平为置信区间，置信水平为95%95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3总体均值的区间估计(例题分析)解解解解：已已知知 N N(，10102 2)，n n=25,=25,1-1-=95%95%，z z/
10、2/2=1.96=1.96。根根据样本数据计算得：据样本数据计算得：总体均值总体均值 在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为该食品平均重量的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g109.28g101.44g109.28g总体均值的区间估计(例题分析)【例例例例】一一家家保保险险公公司司收收集集到到由由3636投投保保个个人人组组成成的的随随机机样样本本，得得到到每每个个投投保保人人的的年年龄龄(周周岁岁)数数据据如如下下表表。试建立投保人年龄试建立投保人年龄90%90%的置信区间的置信区间 36个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 2335392736443642
11、46433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计(例题分析)解解解解：已已知知n n=36,=36,1-1-=90%90%，z z/2/2=1.645=1.645。根根据据样样本本数数据据计算得：计算得：总体均值总体均值 在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.3737.37岁岁41.6341.63岁岁总体均值的区间估计(小样本)总体均值的区间估计(小样本)1.假定条件总体服从正态分布,且方差()未知小样本(n 30)2.使用 t 分布统计
12、量3.总体均值 在1-置信水平下的置信区间为t 分布 t t 分分布布是是类类似似正正态态分分布布的的一一种种对对称称分分布布，它它通通常常要要比比正正态态分分布布平平坦坦和和分分散散。一一个个特特定定的的分分布布依依赖赖于于称称之之为为自自由由度度的的参参数数。随随着着自自由由度度的的增增大大，分分布布也也逐逐渐渐趋于正态分布趋于正态分布 x x xt t 分布与标准正态分布的比较分布与标准正态分布的比较t t 分布分布标准正态分布标准正态分布t t不同自由度的不同自由度的t t分布分布标准正态分布标准正态分布t t(dfdf=13)=13)t t(dfdf=5)=5)z z总体均值的区间估
13、计(例题分析)【例例例例】已已知知某某种种灯灯泡泡的的寿寿命命服服从从正正态态分分布布，现现从从一一批批灯灯泡泡中中随随机机抽抽取取1616只只，测测得得其其使使用用寿寿命命(小小时时)如如下。建立该批灯泡平均使用寿命下。建立该批灯泡平均使用寿命95%95%的置信区间的置信区间16灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470总体均值的区间估计(例题分析)解：解：解：解：已知已知 N N(，2 2)，n n=16,1-=16,1-=95%=95%，t t/2/2=2.131=
14、2.131 根据样本数据计算得：根据样本数据计算得：，总体均值总体均值 在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为该该种种灯灯泡泡平平均均使使用用寿寿命命的的置置信信区区间间为为1476.81476.8小小时时1503.21503.2小时小时总体比率的区间估计总体比率的区间估计1.假定条件总体服从二项分布可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量 z3.3.3.总体比率总体比率总体比率 在在在1-1-1-置信水平下置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为的置信区间为总体比率的区间估计(例题分析)【例例例例】某某城城市市想想要要估估计计下下岗岗职职工工中中女女性性所所占占的的比
15、比率率，随随机机地地抽抽取取了了100100名名下下岗岗职职工工，其其中中6565人人为为女女性性职职工工。试试以以95%95%的的置置信信水水平平估估计计该该城城市市下下岗岗职职工工中中女女性性比比率率的置信区间的置信区间解解解解：已已知知 n n=100=100，p p65%65%,1 1-=95%95%，z z/2/2=1.96=1.96该该城城市市下下岗岗职职工工中中女女性性比比率率的的置置信信区间为区间为55.65%74.35%55.65%74.35%总体方差的区间估计总体方差的区间估计1.估计一个总体的方差或标准差2.假设总体服从正态分布3.总体方差 2 的点估计量为s2,且4.总
16、体方差在1-置信水平下的置信区间为总体方差的区间估计(图示)1-1-1-1-总体方差总体方差总体方差1-1-1-的置信区间的置信区间的置信区间自由度为自由度为自由度为自由度为n n-1-1的的的的 分布分布分布分布总体方差的区间估计(例题分析)【例例例例】一一家家食食品品生生产产企企业业以以生生产产袋袋装装食食品品为为主主，现现从从某某天天生生产产的的一一批批食食品品中中随随机机抽抽取取了了2525袋袋，测测得得每每袋袋重重量量如如下下表表所所示示。已已知知产产品品重重量量的的分分布布服服从从正正态态分分布布。以以95%95%的置信水平建立该种食品重量方差的置信区间的置信水平建立该种食品重量方
17、差的置信区间 25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3总体方差的区间估计(例题分析)解解解解:已知已知n n2525，1-1-95%,95%,根据样本数据计算得根据样本数据计算得 s s2 2=93.21=93.21 2 2置信度为置信度为95%95%的置信区间为的置信区间为 该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区该企业生产的食品总体重量标准差的的置信区间
18、为间为7.54g13.43g7.54g13.43g5.3 两个总体参数的区间估计一、两个总体均值之差的区间估计一、两个总体均值之差的区间估计二、两个总体比率之差的区间估计二、两个总体比率之差的区间估计三、两个总体方差比的区间估计三、两个总体方差比的区间估计两个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均值之差比率之差方差比两个总体均值之差的区间估计(独立大样本)两个总体均值之差的估计(大样本)1.假定条件两个总体都服从正态分布，1、2已知若不是正态分布,可以用正态分布来近似(n130和n230)两个样本是独立的随机样本2.使用正态分布统计量 z两个总体均值之差的估计
19、(大样本)1.1，2已知时，两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为2.1 1、2 2未知时，未知时，两个总体均值之差两个总体均值之差 1 1-2 2在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计(例题分析)【例例】某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立抽取两个随机样本，有关数据如右表。建立两所中学高考英语平均分数之差95%的置信区间 两个样本的有关数据两个样本的有关数据 中学中学1中学中学2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2两个总体均值之差的估计(例题分析)解解解解:两两个个总总体体均均值值之之差
20、差在在1-1-置置信信水水平平下下的的置置信信区区间间为为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为两所中学高考英语平均分数之差的置信区间为5.035.03分分10.9710.97分分两个总体均值之差的区间估计(独立小样本)两个总体均值之差的估计(小样本:12=22)1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知但相等：1=2两个独立的小样本(n130和n230)2.总体方差的合并估计量3.3.估计估计量量 x x1 1-x x2 2的抽样标准差的抽样标准差两个总体均值之差的估计(小样本:12=22)1.两个样本均值之差的标准化2.两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体均
21、值之差的估计(例题分析)【例例例例】为为估估计计两两种种方方法法组组装装产产品品所所需需时时间间的的差差异异，分分别别对对两两种种不不同同的的组组装装方方法法各各随随机机安安排排1212名名工工人人，每每个个工工人人组组装装一一件件产产品品所所需需的的时时间间（分分钟钟）下下如如表表。假假定定两两种种方方法法组组装装产产品品的的时时间间服服从从正正态态分分布布，且且方方差差相相等等。试试以以95%95%的的置置信信水水平平建建立立两两种种方方法法组组装装产产品品所所需需平平均均时间差值的置信区间时间差值的置信区间两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法方法1方法方法228.3
22、36.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.52 21 1两个总体均值之差的估计(例题分析)解解解解:根据样本数据计算得根据样本数据计算得 合并估计量为：合并估计量为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.140.14分钟分钟7.267.26分钟分钟两个总体均值之差的估计(小样本:12 22)1.假定条件两个总体都服从正态分布两个总体方差未知且不相等：12两个独立的小样本(n130和n230)2.使用统计
23、量两个总体均值之差的估计(小样本:1222)两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为自由度自由度两个总体均值之差的估计(例题分析)【例例例例】沿沿用用前前例例。假假定定第第一一种种方方法法随随机机安安排排1212名名工工人人，第第二二种种方方法法随随机机安安排排名名工工人人，即即n n1 1=12=12，n n2 2=8=8，所所得得的的有有关关数数据据如如表表。假假定定两两种种方方法法组组装装产产品品的的时时间间服服从从正正态态分分布布，且且方方差差不不相相等等。以以95%95%的的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的
24、置信区间 两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.22 21 1两个总体均值之差的估计(例题分析)解解解解:根据样本数据计算得根据样本数据计算得 自由度为：自由度为：两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为两种方法组装产品所需平均时间之差的置信区间为0.1920.192分钟分钟9.0589.058分钟分钟两个总体均值之差的区间估计(匹配样本)两个总体均值之差的估计(匹配大样本)1.假定条件两个匹配的大
25、样本(n1 30和n2 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布2.两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为对应差值的均值对应差值的均值对应差值的标准差对应差值的标准差两个总体均值之差的估计(匹配小样本)1.假定条件两个匹配的大样本(n1 30和n2 30)两个总体各观察值的配对差服从正态分布 2.两个总体均值之差d=1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体均值之差的估计(例题分析)【例例例例】由由 1010名名学学 生生 组组 成成 一一 个个随随 机机 样样 本本，让让他他们们分分别别采采用用A A和和B B两两套套试试卷卷进进行行 测测 试试，结结 果果如如下下表表 。
26、试试建建立立 两两 种种 试试 卷卷 分分数数 之之 差差 d d=1 1-2 2 95%95%的的置置信信区间区间 10名学生两套试卷的得分名学生两套试卷的得分 学生编号学生编号试卷试卷A试试卷卷B差差值值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916两个总体均值之差的估计(例题分析)解解解解:根据样本数据计算得根据样本数据计算得两种试卷所产生的分数之差的置信区间为两种试卷所产生的分数之差的置信区间为6.336.33分分15.6715.67分分两个总体比率之差的区间估计1.假定条件两个总体服从二项分布
27、可以用正态分布来近似两个样本是独立的2.两个总体比率之差1-2在1-置信水平下的置信区间为两个总体比率之差的区间估计两个总体比率之差的估计(例题分析)【例例】在某个电视节目的收视率调查中，农村随机调查了400人，有32%的人收看了该节目；城市随机调查了500人，有45%的人收看了该节目。试以90%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间 1 1 2 2两个总体比率之差的估计(例题分析)解解解解:已知已知 n n1 1=500=500，n n2 2=400=400，p p1 1=45%=45%，p p2 2=32%=32%，1-1-=95%=95%，z z/2/2=1.96=1.96 1 1
28、-2 2置信度为置信度为95%95%的置信区间为的置信区间为城城 市市 与与 农农 村村 收收 视视 率率 差差 值值 的的 置置 信信 区区 间间 为为6.68%19.32%6.68%19.32%两个总体方差比的区间估计两个总体方差比的区间估计1.比较两个总体的方差比2.用两个样本的方差比来判断如果S12/S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异3.总体方差比在1-置信水平下的置信区间为两个总体方差比的区间估计(图示)F FF F1-1-1-1-F F 总体方差比总体方差比总体方差比1-1-1-的置信区间的置信区间的置信区间方差比置信区间示
29、意图方差比置信区间示意图方差比置信区间示意图方差比置信区间示意图两个总体方差比的区间估计(例题分析)【例例】为了研究男女学生在生活费支出(元)上的差异，在某大学各随机抽取25名男学生和25名女学生，得到下面的结果：男学生：女学生：试以90%置信水平估计男女学生生活费支出方差比的置信区间 两个总体方差比的区间估计(例题分析)解解解解:根根据据自自由由度度 n n1 1=25-1=24=25-1=24，n n2 2=25-1=24=25-1=24，查查得得 F F/2/2(24)=1.98(24)=1.98，F F1-1-/2/2(24)=1/1.98=0.505(24)=1/1.98=0.505
30、 1 12 2/2 22 2置信度为置信度为90%90%的置信区间为的置信区间为男男女女学学生生生生活活费费支支出出方方差差比比的的置置信信区区间间为为0.471.840.471.84 5.4 样本容量的确定一、估计总体均值时样本容量的确定一、估计总体均值时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定二、估计总体比率时样本容量的确定三、估计总体均值之差时样本容量的确定三、估计总体均值之差时样本容量的确定四、估计总体比率之差时样本容量的确定四、估计总体比率之差时样本容量的确定1.估计总体均值时样本容量n为2.样本容量n与总体方差 2、允许误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与允
31、许误差成反比与可靠性系数成正比估计总体均值时样本容量的确定 其中：其中：估计总体均值时样本容量的确定(例题分析)【例例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望允许误差为400元，应抽取多大的样本容量？估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)解解解解:已知已知 =2000=2000，E E=400,=400,1-1-=95%=95%，z z/2/2=1.96=1.96 应抽取的样本容量为应抽取的样本容量为即应抽取即应抽取9797人作为样本人作为样本 1.根据比率区间估计公式可得样本容量n为估计总体比率时样本容量的确定 2.E的取值一
32、般小于0.13.未知时，可取最大值0.5其中：其中：其中：估计总体比率时样本容量的确定(例题分析)【例例例例】根根据据以以往往的的生生产产统统计计，某某种种产产品品的的合合格格率率约约为为90%90%，现现要要求求 允允 许许 误误 差差 为为5%5%，在在 求求 95%95%的的置置信信区区间间时时，应应抽抽取取多多少少个个产产品作为样本？品作为样本？解解解解:已已 知知=90%=90%，=0.05=0.05，z z/2/2=1.96=1.96，E E=5%=5%应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为 应抽取应抽取139139个产品作为样本个产品作为样本1.设n1和n2为来自两个总体的样本，并
33、假定n1=n22.根据均值之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为估计两个总体均值之差时样本容量的确定 其中：其中：其中：估计两个总体均值之差时样本容量的确定(例题分析)【例例】一所中学的教务处想要估计试验班和普通班考试成绩平均分数差值的置信区间。要求置信水平为95%，预先估计两个班考试分数的方差分别为：试验班12=90，普通班 22=120。如果要求估计的误差范围(允许误差)不超过5分，在两个班应分别抽取多少名学生进行调查？估计两个总体均值之差时样本容量的确定(例题分析)解解解解:已已知知 1 12 2=90=90，2 22 2=120=120，E E=5,=5,1-1-=95%=95%，z
34、 z/2/2=1.96=1.96即应抽取即应抽取3333人作为样本人作为样本 1.设n1和n2为来自两个总体的样本，并假定n1=n22.根据比率之差的区间估计公式可得两个样本的容量n为估计两个总体比率之差时样本容量的确定 其中：其中：其中：估计两个总体比率之差时样本容量的确定(例题分析)【例例例例】一一家家瓶瓶装装饮饮料料制制造造商商想想要要估估计计顾顾客客对对一一种种新新型型饮饮料料认认知知的的广广告告效效果果。他他在在广广告告前前和和广广告告后后分分别别从从市市场场营营销销区区各各抽抽选选一一个个消消费费者者随随机机样样本本，并并询询问问这这些些消消费费者者是是否否听听说说过过这这种种新新
35、型型饮饮料料。这这位位制制造造商商想想以以10%10%的的误误差差范范围围和和95%95%的的置置信信水水平平估估计计广广告告前前后后知知道道该该新新型型饮饮料料消消费费者者的的比比率率之之差差，他他抽抽取取的的两两个个样样本本分分别别应应包包括括多多少少人人？(假假定定两两个个样样本本容容量量相等相等)绿色绿色绿色绿色健康饮品健康饮品健康饮品健康饮品估计两个总体比率之差时样本容量的确定(例题分析)解解:E=10%,1-=95%，z/2=1.96，由于没有的信息，用0.5代替即应抽取193位消费者作为样本 本章小结1.参数估计的一般问题参数估计的一般问题2.一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计3.两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计4.样本容量的确定样本容量的确定结结 束束