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1、第7章 参数估计7.1 参数估计的基本原理7.1.1 估计量与估计值估计量与估计值参数估计就是用样本统计量去估计总体参数。用于估计总体参数的统计量称为估计量，根据样本计算出来的估计量的数值称为估计值。总体参数总体参数符号表示符号表示用于估计的用于估计的样本统计量样本统计量一个一个总总体体均值比例方差两个总体两个总体均值之差比例之差方差比被估计的总体参数被估计的总体参数样本统计量(点估计)置信区间置信下限置信上限2.区间估计在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。例如:总体均值落在5070之间，置
2、信度为95%x_XX=Zx95%的样本-1.96 x+1.96x99%的样本-2.58x+2.58x90%的样本-1.65 x+1.65x置信水平：1.置信区间中包含总体参数真值的次数所占比例2.表示为(1-为显著性水平，是总体参数未在区间内的概率3.常用的显著性水平值有 99%,95%,90%相应的相应的 为0.01，0.05，0.10区间与置信水平区间与置信水平 均值的抽样分布(1-)%区间包含了区间包含了%的区间未包含的区间未包含 1-/2/2P(X)XC CA A 无偏无偏有偏有偏2.有效性对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小标准差的估计量更有效。与其他估计量相比，样本均值是一个更有
3、效的估计量AB中位数的抽样分布均值的抽样分布X XP P(X X)3.一致性随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体参数。AB较小的样本容量较大的样本容量 P(X)X X7.2 一个总体参数的区间估计7.2.1 总体均值的区间估计总体均值的区间估计【例】某种零件长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取件，测得其平均长度为21.4 mm。已知总体标准差0.15mm，试建立该种零件平均长度的置信区间，给定置信水平为0.95。解：已知N(，0.152)，x2.14,n=9,1-=0.95，/2=1.96 总体均值的置信区间为【例】某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到他们平均每天参加体育锻
4、炼的时间为26分钟。试以95的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加体育锻炼的时间（已知总体方差为36小时）解：已知 x26,=6,n=100,1-=0.95,/2=1.96【例】从一个正态总体中抽取一个随机样本，n=25，其均值x=50，标准差 s=8。建立总体均值 的95%的置信区间。解：已知N(，2)，x=50,s=8，n=25,1-=0.95，t/2=2.0639。【例】某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本。在对其进行访问时，有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不能融洽相处。试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正比例构造95
5、%的置信区间。解：已知 n=200，0.7,n =1405,n(1-)=605，=0.95，/2=1.967.2.3 总体方差的区间估计【例例】对某种金属的10个样品组成的一个随机样本作抗拉强度试验。从实验数据算出的方差为4。试求2的95%的置信区间。解:已知n10，s2 4，1-95%2置信度为95%的置信区间为7.3 两个总体参数的区间估计7.3.1 两个总体均值之差的区间估计两个总体均值之差的区间估计 1 1 1 1总体1 2 2 2 2总体2抽取简单随机样样本容量 n1计算 X1抽取简单随机样样本容量 n2计算X2计算每一对样本的X1-X2所有可能样本的X1-X2 1-1-22抽样分布
6、抽样分布1.两个总体均值之差的估计：独立样本如果两个样本是从两个总体中独立抽取的，即一个样本中的元素与另一个样本中的元素相互独立，则称为独立样本某地区教育管理部门想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所学校独立抽取两个随机样本，有关数据如下：建立两所学校高考英语平均分之差95%的置信区间（2）小样本的估计在两个样本都是小样本的情况下，为估计两个总体的均值之差，需要做出以下假定两个总体都服从正态分布两个随机样本独立的分别抽自两个总体则两个样本均值之差必定服从正态分布1）总体方差已知使用正态分布统计量Z两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为【例例】一个银行负责人想知道储
7、户存入两家银行的钱数。他从两家银行各抽取了一个由25个储户组成的随机样本，样本均值如下：银行A：4500元；银行B:3250元。设已知两个总体服从方差分别为A2=2500和B2=3600的正态分布。试求 A-B的区间估计（1）置信度为95%（2）置信度为99%解:已知 XAN(A,2500)XB N(B,3600)xA=4500，xB=3250，A2=2500 B2=3600 nA=nB=25(1)A-B置信度为95%的置信区间为(2)A-B置信度为99%的置信区间为2）总体方差未知但相等使用 t 分布统计量两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为【例例】为比较两位银行职员为新顾客办
8、理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位职员随机安排了10位顾客，并记录下为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟），相应的样本均值和方差分别为：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位职员办理账单所需时间均服从正态分布，且方差相等。试求两位职员办理账单的服务时间之差的95%的区间估计。解:已知 X1N(1,2)X2 N(2,2)x1=22.2，x2=28.5，s12=16.63 s22=18.92 n1=n2=10 12=121-2置信度为95%的置信区间为3）当两个总体方差未知且不相等使用的统计量为两个总体均值之差1-2在1-置信水平下的置信区间为【
9、例例】为比较两位银行职员为新顾客办理个人结算账目的平均时间长度，分别给两位职员随机安排了10位顾客，并记录下了为每位顾客办理账单所需的时间（单位：分钟），相应的样本均值和方差分别为：x1=22.2，s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位职员办理账单所需时间均服从正态分布，但方差不相等方差不相等。试求两位职员办理账单的服务时间之差的95%的区间估计。自由度 f 为1-2置信度为95%的置信区间为解:已知 X1N(1,2)X2 N(2,2)x1=22.2，x2=28.5，s12=16.63 s22=18.92 n1=n2=10 12122.两个总体均值之差的估计：匹配样本
10、匹配样本：一个样本中的数据与另一个样本中的数据相对应，可以消除样本指定的不公平7.3.2 两个总体比例之差的区间估计1.假定条件两个总体是独立的两个总体服从二项分布可以用正态分布来近似2.两个总体比例之差P1-P2在1-置信水平下的置信区间为【例例】某饮料公司对其所做的报纸广告在两个城市的效果进行了比较，它们从两个城市中分别随机地调查了1000个成年人，其中看过广告的比例分别为p1=0.18和p2=0.14。试求两城市成年人中看过广告的比例之差的95%的置信区间。P1-P2置信度为95%的置信区间为解:已知 p1=0.18，p2=0.14，1-=0.95，n1=n2=1000我们有95%的把握
11、估计两城市成年人中看过该广告的比例之差在0.79%7.21%之间7.3.3两个正态总体方差比的区间估计【例例】用某一特定工序生产的一批化工产品中的杂质含量的变异依赖于操作过程中处理的时间长度。某生产商拥有两条生产线，为了降低产品中杂质平均数量的同时降低杂质的变异，对两条生产线进行了很小的调整，研究这种调整是否确能达到目的。为此从两条生产线生产的两批产品中各随机抽取了25个样品，它们的均值和方差为 x1=3.2，S12=1.04 x2=3.0，S22=0.51试确定两总体方差比 12/12的90%的置信区间。解:已知 x1=3.2，S12=1.04x2=3.0，S22=1.04 F1-/2(24
12、,24)=F0.95=1.98 F/2(24,24)=F0.05=0.5112/22置信度为90%的置信区间为7.4样本量的确定样本量的确定7.4.1 估计总体均值时样本量的确定1.根据均值区间估计公式可得样本容量n为2.样本容量n与总体方差2、允许误差E、可靠性系数Z之间的关系为与总体方差成正比与允许误差成反比与可靠性系数成正比其中：其中：【例】一家广告公想估计某类商店去年所花的平均广告费用有多少。经验表明，总体方差约为1800000元。如置信度取95%，并要使估计处在总体平均值附近500元的范围内，这家广告公司应抽多大的样本？解:已 知 2=1800000，=0.05，Z/2=1.96，E=500 应抽取的样本容量为7.4.2 估计总体比例时样本量的确定1.根据比例区间估计公式可得样本容量n为2.若总体比例未知时，可用样本比例 来代替 p其中：其中：【例例】根据以往根据以往 的生产统计，某种产品的合的生产统计，某种产品的合格率为格率为90%，先要求估计误差为，先要求估计误差为5%，在，在95%的置信区间下，应抽取多少个产品作为样的置信区间下，应抽取多少个产品作为样本本?解:已知E=0.05，=0.05，Z/2=1.96，=90%应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为