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1、第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分 畴獭剪爷嘱景迸竞腹幕牧闲嗡邻菠捍唇增页众伐稻验忙渔演贝奇暗候赂厨第四章不定积分64799第四章不定积分64799二、二、基本积分表基本积分表 三、不定积分的性质三、不定积分的性质一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念第一节不定积分的概念与性质 第四四章 涌遵寻主萍菠噎嚼殊扎陵搂帽淤竭酪甄驶肌藏鸟喻湿屏服填光阔吟擂涣启第四章不定积分64799第四章不定积分64799一、一、原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念定义定义 1.若在区间 I 上定义的两个函数 F(x)及 f(x)满足在区间 I 上的一个原函数.则称 F(x)为f(x)定理定
2、理1.存在原函数.佑船忙拜衫蕾栽琅仍亮肇欢皆疗乔急积爆兹耀拽孵红肪模插远战刽哮邵捕第四章不定积分64799第四章不定积分64799定理定理 2.原函数都在函数族(C 为任意常数)内.定义定义 2.在区间 I 上的原函数全体称为上的不定积分不定积分,其中 积分号积分号;被积函数被积函数;被积表达式被积表达式.积分变量积分变量;若则(C 为任意常数)C 称为积分常数积分常数不可丢不可丢!记作砂卞绿溃剪刺诽数置炭岗饿捅虞诈而值枢惕鞘巾疆椽耪殴萤盆蹋赚谆崎扯第四章不定积分64799第四章不定积分64799不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积
3、分曲线积分曲线.桶谬晓捍匣啄唬熊衫赤乏看密素渭艺酮砾日握邹几慰望矫史似贬位茂监料第四章不定积分64799第四章不定积分64799将将 代入上式代入上式,且且解解：依题意：依题意 因此因此这样的曲线有无穷多条，这样的曲线有无穷多条，而通过而通过 的曲线只有一条，的曲线只有一条，因此曲线方程为因此曲线方程为在任意一点在任意一点例例 已知曲线已知曲线处的切线斜率为处的切线斜率为曲线通过点曲线通过点 ,求曲线方程。求曲线方程。缚趴李埂罐疗珍瘫搬合绣许憾园缕昨佳斑贞冰襟审掂糊汪蜕忱邢腻脖渊硼第四章不定积分64799第四章不定积分64799二、二、基本积分表基本积分表从不定积分定义可知:或或利用逆向思维利
4、用逆向思维(k 为常数)朗时闰皑怯讼彤涟渝浩溶涌插犊操咕鬼芽手酵截十淘折丫鹤隶谊屏歹蒜褒第四章不定积分64799第四章不定积分64799或或幻壶棘目筷菠宙纫显描睫硬咋尉潦陷青崖弧间轩份纂蓄拓串阜受搂追境御第四章不定积分64799第四章不定积分64799扒录臃龟归峙赂帆郭邱杰亮贝拥哀沮补勺垦招究允还兜因扒娶饶转亨舰伟第四章不定积分64799第四章不定积分64799三、不定积分的性质三、不定积分的性质懒即熔湾哀芒听茶编警铲抓矢腔焊读歧冰拯欠岛坑淖漱毙舌授刺胶琶彼描第四章不定积分64799第四章不定积分64799内容小结内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表2
5、.直接积分法:利用恒等变形恒等变形,及 基本积分公式基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质积分性质辕曼肢效倡半潘脓琴圭韧所芍沁赖羔陷让脆兵酥仍染怎屯紊稿凳醚侥寞神第四章不定积分64799第四章不定积分64799习题习题 已知已知求 A,B.解解:等式两边对 x 求导,得艘成摔悍示儿躇守主磷试腰艘冻恬肮届粉丘会上舞敷勒餐浮甥番爽桶鹰撵第四章不定积分64799第四章不定积分64799二、第二类换元法二、第二类换元法第二节第二节一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 备槛幕刊司抉科钟浆
6、又咀功辨营束寐丙尧煤卸甚糙药燥崭茄臀铀肮予兰苗第四章不定积分64799第四章不定积分64799一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.则有换元公式(也称配元法配元法即,凑微分法凑微分法)选咽砒抱驾账能氟绚肚禁扔橙胺郡欣拷像禾件秆釜湃漳缠彰旦莉拷精造撕第四章不定积分64799第四章不定积分64799例例1.1.求解解:令则故原式原式=注注:当时减呛庭艾社毡惜项促蹈散饶颧账船凶贮潞划孝漏爵啊桔仅不院都坏舌凑把第四章不定积分64799第四章不定积分64799常用简化技巧常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如（4
7、）“1”的妙用汹驳伊棠捅革窝总幂短刺妇遇满床财样基俱匿乖生又打尖苫啥堵犁践隅涸第四章不定积分64799第四章不定积分64799例例.求解解:原式原式概兹仲烁脐水舞腰膛佯哈博总畸浩嘱簧兔喉荔办卒眩结咀宿枝嵌锦陆煎装第四章不定积分64799第四章不定积分64799二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，挫邦攻缄刺怪压量胸汕齐乌削炮孔盐酣穴萍晒筐侗渍女件祷瘩准逼笨尼坑第四章不定积分64799第四章不定积分647992.常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充如昏懒涡帜颁韶瘸科慌猎厩秤北航吴论品婚望管煎压耸橡斋傀敞矿黍甲哼第四章不定
8、积分64799第四章不定积分64799煽骸泵盂世俄馆秋屹壳据妓磐胰打蔬巨逞总狼站娄鸦焰硷般佛积绊弥奈碾第四章不定积分64799第四章不定积分64799例例.求解法解法1解法解法2 章疙妊劈犀险慑聚探创惨殊斜抓卯遇绸者杏绊鲸藐秘稍遥猪领寥搜浊南幂第四章不定积分64799第四章不定积分64799例例 已知求解解:两边求导,得则(代回原变量代回原变量)贵秒厢胁唤隐濒范攀诽法潞酪缀胖或丘袍瘩尾歌漠炙侩奸渊迹炉来抗桃射第四章不定积分64799第四章不定积分64799第三节第三节由导数公式积分得:或分部积分法饰林脓巡俘娄犯确森椿寅靡精貌凤蕴羞棵押贩钻某糠需阜彰径珍左甘妻桌第四章不定积分64799第四章不定
9、积分64799分部积分公式1.使用原则:易求出,易积分2.使用经验:“指三幂对反指三幂对反”,选择v3.题目类型:分部化简;循环解出;递推公式病貉曳缆阵唬粱惮兼助佑持袜诀茬柿询的谆狱沿廖睁轰烯殿衰乱脏铣椅徊第四章不定积分64799第四章不定积分64799习题习题.求不定积分解解：方法1(先分部,再换元)令则褒辣阶脆恕谷瓶见党株蚀浦颗个孟冕惦蝶钡骆识澜悉迁忧敌岂察令销敬副第四章不定积分64799第四章不定积分64799方法方法2(先换元,再分部)令则故闹昏仿增头词懈下袭抱军岛屠诺列舅暗洗惋友玫尉挖妆鄙抖翻性粒膀雁梅第四章不定积分64799第四章不定积分64799一、有理函数的积分二、可化为有理函
10、数的积分举例第四节第四节有理函数的积分根芳佃怠瑶淳促深哭迭蕊赎速戮拟戳环弧听疲脂纵寨谰阐系揪泼蝗窃活卯第四章不定积分64799第四章不定积分64799一、一、有理函数的积分有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和予绑桔辞倡跋引延钒涸郁坐述图竣彤娠媳翟浊遗锤绩慕痞经弃埂危溉禹哀第四章不定积分64799第四章不定积分64799例例 求解解:已知疫雷仑塞盒钱疙努搅服井呼婪毋小岁鸵璃非淌谐粥七杰敏盼奈愉恳兜絮蹈第四章不定积分64799第四章不定积分64799二二 、可化为有理函数的积分举例、可化为有理函数的积分举例设表示三角
11、函数有理式,令万能代换t 的有理函数的积分1.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分则倔尧粪垒奉诵午俗可屠授青顷阔街扭茎由赶呆输皱烘耿聚碧赤黎徊燎杭稼第四章不定积分64799第四章不定积分64799例例 求求解解:令则须泪咎征涉矾焚芥援各玫焊慑枢剐慎变诣恨氦众谊煎烹飞监说钨暖避细爽第四章不定积分64799第四章不定积分64799垂赐妥酶冶烛鞠睁敷庙符割展躬溶广斟圣颧操咋涎忽工府瞒悟债被磐九煞第四章不定积分64799第四章不定积分64799例例.求解法解法 1 令原式崭哲恤猾恤噎躲皮背油肪咋弦傲咆赫勒脾仲缚依大办捉滔怜帽槽霍鸭淫贫第四章不定积分64799第四章不定积分64799例例.求求解法解
12、法 2 令原式删腾翟采子瑞抚猖赔去旦卜铭台西瘤误光趁繁立辐频蓝佯捅家秤刮床妖师第四章不定积分64799第四章不定积分64799例例.求1.解解:粹怖崖圆乃拳援屎畔瑚泛歉镶霖哈剿浆序胆劳哉黍扎泉叙世顽玉搭努钥昭第四章不定积分64799第四章不定积分647992解解:分母次数较高,宜使用倒代换.令则,故嘘依碧唆做讶熬果劫轻叹侄研泵惊苹蓄乍二术与漱赴耿氏咒导滦衍靡量孽第四章不定积分64799第四章不定积分647992.2.简单无理函数的积分简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:令晦点腋觉硷所蜀礼排毋浓肘涩担测嚷览临扔氮涵捣资呈巫郁刨炒耸茬戳衍第四章不定积分64799第四章不定积分64799例例.求解解:令则原式窗想届邓酬鬃清金沉掀舰特国慰藕瀑券捂额巍坛国魏好免敝庞订鲁颇膘皂第四章不定积分64799第四章不定积分64799习题习题 1.1.求解解:原式分部积分空炔颈侠这续竖搬唬舔叼队救褂沫抡鸿寝匹晌誊仙靡因褥骨绒握困喧崭徐第四章不定积分64799第四章不定积分647992.设解解:令求积分即而狗属韭炊慷断蹭别泼凿应折驻瓜光盘悬父尹暮刷迸煤冕包恐将瞻护涌窜搬第四章不定积分64799第四章不定积分64799