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1、4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质4.2 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法4.3 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法第第4章章 不定积分不定积分结束前页前页结束结束后页后页 又如又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以所以sec x是是sec x tan x的原函数的原函数.定义定义 设设f(x)在某在某区间上区间上有有定义定义，如果对该区间的任意，如果对该区间的任意点点x都有都有 F(x)=f(x)或或 dF(x)=f(x)dx则称则称F(x)为为 f(x)在在该区间上的一个原函数该区间上的一个原函数.4.1.1 原函数的概念原函数的概念 例如例如:
2、，是函数是函数 在在 上的原函数上的原函数.,sin x是是cos x在在 上的原函数上的原函数.4.1 4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质前页前页结束结束后页后页 (2)(2)如如果果f(x)在在某某区区间间上上存存在在原原函函数数，那那么么原原函函数数不是唯一的不是唯一的,且有无穷多个且有无穷多个注注:(1):(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在在例如例如而而在在 上上 是是 的原函数的原函数也是它的原函数也是它的原函数即即 加任意常数都是加任意常数都是 的原函数的原函数.(3)若函数若函数 f(x)在区间在区间 I 上存在
3、原函数，则其上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项任意两个原函数只差一个常数项.前页前页结束结束后页后页定义定义2 2 如果函数如果函数F(x)是是f(x)在在区间区间 I 上上的一个原函数，那的一个原函数，那么么f(x)的全体的全体原函数原函数F(x)C(C为任意常数为任意常数)称为称为f(x)在在区间区间 I 上上的不定积分的不定积分.记作记作其中记号其中记号 称为积分号称为积分号，f(x)称为被积函数，称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，称为被积表达式，x称为积分变量，称为积分变量，C为积分常数为积分常数.即2.不定积分的概念不定积分的概念前页前页结束结束后页后页例例2 求
4、求解解例例1 求求解解前页前页结束结束后页后页例例3 求求解解前页前页结束结束后页后页3 3 不定积分与微分的关系不定积分与微分的关系微分运算与积分运算互为逆运算微分运算与积分运算互为逆运算.特别地，有特别地，有前页前页结束结束后页后页4.1.24.1.2不定积分的基本积分公式不定积分的基本积分公式前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页例例4 计算下列积分计算下列积分解解前页前页结束结束后页后页例例5 计算下列积分计算下列积分解解 (1)(2)前页前页结束结束后页后页4.1.3 不定积分的性质不定积分的性质性质性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分被积函数中不为零的常数因子可
5、以移到积分号的前面号的前面.性质性质2可以推广到有限多个函数的情形，即可以推广到有限多个函数的情形，即性质性质2 两个函数的和两个函数的和(或差或差)的不定积分等于各函数的不定积分等于各函数不定积分的和不定积分的和(或差或差)，即，即 前页前页结束结束后页后页例例6 求求解解 注注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只要写出一个任意常数即可要写出一个任意常数即可 前页前页结束结束后页后页例例7 求求解解例例8 求求解解前页前页结束结束后页后页解解例例11 求求前页前页结束
6、结束后页后页例例12 求求解解 有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数的积分后，便可逐项积分求得结果如例的积分后，便可逐项积分求得结果如例9 91212。前页前页结束结束后页后页解解例例14.2 4.2 换元积分法换元积分法4.2.1 4.2.1 第一类换元法第一类换元法前页前页结束结束后页后页定理定理1前页前页结束结束后页后页根据不定积分的定义，则有根据不定积分的定义，则有 公式公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应称为不定积分的第一换元积分公式，应
7、用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法积分法.也称也称“凑微分凑微分”法法 应用定理应用定理1 1求不定积分的步骤为求不定积分的步骤为 前页前页结束结束后页后页例例2 求求解解前页前页结束结束后页后页设设 是单调可导的函数，是单调可导的函数，且且定理定理2那么那么应用第二类换元法求不定积分的步骤为应用第二类换元法求不定积分的步骤为 前页前页结束结束后页后页由函数乘积的微分公式由函数乘积的微分公式移项得移项得对上式两端同时积分，得对上式两端同时积分，得公式公式(1)或公式或公式(2)称为分部积分公式称为分部积分公式.或或4.34.3 分部积分法分部积分法前页前页结束结束后页后页例例1 求求解解