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1、第一章第一章 二次函数二次函数1.5 1.5 二次函数的应用二次函数的应用学习目标学习目标学会用二次函数解决实际问题的方法、步骤学会用二次函数解决实际问题的方法、步骤.一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，当水面宽是4米时，拱顶离水面2米.若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化.4m2m4.9m思考思考如何解决这样的问题呢？建立函数模型.构建怎样的函数模型呢？拱桥的纵截面是抛物线的一部分，所以可以构建二次函数模型解决此问题.如何方便简单地构建函数模型呢？我们有下面四种选择：（0，0）（4，0）（2，2）yoxoyx（0，0）（2，-2）（-2，-2）（0，0）（-4
2、，0）（-2，2）oyxoyx（2，0）（2，0）（-2，0）选择哪个更容易解决问题？怎样建立直角坐标系比较简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系.由于顶点的坐标是（0,0），因此这条抛物线的形式为y=ax2.-2-42-2A-2-42-2A已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上.由此得出：解得因此，这个函数的表达式为 ，其中丨x丨是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数.由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：-2.45x2.45.【例1】如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 表示.（1
3、）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？13131313O解：（1）卡车可以通过.当x=1时，y=3.754-2.所以卡车可以通过.（2）卡车可以通过.当x=2时，y=34-2.所以卡车可以通过.建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解实际问题的解如图，用8m长的铝材做一个日字形窗框试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S（m2）最大？最大面积是多少？（假设铝材宽度不计）解：设窗框的宽度为x m.则窗框的高为 m，其中
4、则透光面积为 配方得 所以，当 时，S取最大值 .所以当窗户宽 米，高2米时，透光面积最大，最大面积为 m2.x思考思考运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值解题的一般步骤是怎样的？般步骤是怎样的？首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围.然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值.注意：注意：有此求得的最有此求得的最大值或最小值对应的字大值或最小值对应的字变量的值必须在自变量变量的值必须在自变量的取值范围内的取值范围内.【例2】某网络玩具引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高
5、销售单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量将相应减少10件.当销售单价为多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？解：设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y万元.每月减少的销售量为10 x件，实际销售量为(180-10 x)件，单件利润为(30+x-20)元，则y=(10+x)(180-10 x)，即 y=-10 x2+80 x+1800(x18).将上式进行配方，y=-10 x2+80 x+1800 =-10(x-4)2+1960(x18).当x=4时，即销售单价为34元时，y最大值为1960元.答：当销售单价定为34元时，该店一个月内最大利润为1960元.
6、1.如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状.一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触绳子，求绳子最低点到地面的距离.ABCD0.71.62.20.4EFOxy练习练习解：以CD所在的直线为x轴，CD的中垂线为y轴建立直角坐标系 则 B（0.8,2.2），F（-0.4,0.7）.设 y=ax2 +k,从而有解得所以，.E坐标为（0,0.2）.故绳子最低点到地面的距离为0.2米.答：绳子最低点到地面的距离为0.2米.ABCD0.71.62.20.4EFOxy2.小红想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？解：设一个正方形的边长为acm，则另一个正方形的边长为=（18-a）cm.则两个正方形的面积和为：S=a2+(18-a)2=2a2-36a+324(0 x18).将上式进行配方得 S=2(a-9)2+162(0 x18).当a=9 cm时，S最小，最小值为162 cm2.此时，她将彩带二等分.答：她应将彩带分成相等的两段剪，此时的面积和为162 cm2.通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流。你还存在哪些疑问，和同伴交流。我思 我进步