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1、3.1 3.1 等比数列等比数列请你观察：请你观察：问：上面数列有什么共同特点？问：上面数列有什么共同特点？从第从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.1,2,4,8,16,263;1,1,1,1,;1.0198,1.01982,1.01983,.定义定义：如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项起，每一项与它的前一项项 的的比比都等于都等于同一个常数同一个常数.那么这个数列就叫做那么这个数列就叫做等比等比数列数列.这个常数叫做等比数列的这个常数叫做等比数列的公比公比，公比通常用，公比通常用 q表表示示(q0).即即当当
2、 q1，a10，数列是递增数列数列是递增数列.或或 0q1，a11，a10，数列是递减数列数列是递减数列.或或 0q0 时，时，说明：说明：(1)因为等比数列每一项都可能作分母，因为等比数列每一项都可能作分母，所以每一项均不为所以每一项均不为0，因此因此 q0.(2)当当q0时，时，数列单调性不定数列单调性不定.当当 d=0 时，数列是常数列；时，数列是常数列；当当 d 0 时，数列是递增数列；时，数列是递增数列；当当 d 0 时，数列是递减数列时，数列是递减数列.等差数列定义：等差数列定义：对比对比方法一：根据等比数列的定义：从第二项起每一项方法一：根据等比数列的定义：从第二项起每一项都等于
3、它的前一项乘以公比都等于它的前一项乘以公比 q，所以，所以问：问：若已知等比数列若已知等比数列an的首项的首项 a1，公比，公比 q,能确定能确定这个数列吗？这个数列吗？（不完全归纳）（不完全归纳）由此得到：由此得到：即为等比数列通项公式即为等比数列通项公式.方法方法2-1：根据等比数列的定义：根据等比数列的定义：（当（当n=1时等式也成立）时等式也成立）（迭代法）（迭代法）（累积法）（累积法）将上面将上面n-1个等式相乘得个等式相乘得方法方法2-2：根据等比数列的定义：根据等比数列的定义：例如：例如：1，2，4，8，263 .首项首项 a1=1，公比，公比 q=2，等比数列等比数列通项公式通
4、项公式：通项公式通项公式an=12n-1=2n-1(n64)从函数的角度来看等比数列通项公式：从函数的角度来看等比数列通项公式：anOn1 2 3 4 5 6 710987654321等比数列图象等比数列图象是函数是函数 图象上一群孤立的点图象上一群孤立的点想一想：想一想：如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使a,G,b成等比数列，成等比数列，那么那么G应满足什么条件？应满足什么条件？即即结论：结论：即即则则等比中项：等比中项：由此得由此得,在等比数列在等比数列a1,a2,a3,a4,a5,an,中中,结论：结论：解法解法2：例例2.已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为 Sn,（1）求）求（2）求证：数列）求证：数列an是等比数列是等比数列.解解:（1）即即又又即即证明证明:（2）当当n2时，时，数列数列an是首项为是首项为 ，公比为，公比为 的等比数列的等比数列.当当n=1时，时，解：解：由由知：知：数列数列an是首项为是首项为 a1=1，公比为，公比为q=的等比数列的等比数列.又由又由即即所以数列所以数列bn是首项为是首项为 b1=1，公差为，公差为d=1的等差数列的等差数列.等比数列等比数列an 的判定方法：的判定方法：作业作业