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1、第第1章章 函数、极限、连续函数、极限、连续第第1节节 集合、映射与函数集合、映射与函数第第2节节 数列的极限数列的极限第第3节节 函数的极限函数的极限第第4节节 无穷小量及无穷大量无穷小量及无穷大量第第5节节 连续函数连续函数1南京航空航天大学 理学院 数学系第第2节节 数列的极限数列的极限n2.1 数列极限的概念数列极限的概念n2.2 2.2 收敛数列的性质收敛数列的性质n2.32.3数列收敛性的判别准则数列收敛性的判别准则22.1 2.1 数列的极限数列的极限1概念的引入概念的引入2数列的定义数列的定义3 数列的极限数列的极限3割圆术：割圆术：刘徽刘徽1.概念的引入概念的引入4割圆术：割
2、圆术：刘徽刘徽1.概念的引入概念的引入5割圆术：割圆术：刘徽刘徽1.概念的引入概念的引入6割圆术：割圆术：刘徽刘徽1.概念的引入概念的引入7割圆术：割圆术：刘徽刘徽1.概念的引入概念的引入8割圆术：割圆术：刘徽刘徽1.概念的引入概念的引入9割圆术：割圆术：刘徽刘徽1.概念的引入概念的引入10割圆术：割圆术：刘徽刘徽1.概念的引入概念的引入11“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术：割圆术：刘徽刘徽1.概念的引入概念的引入包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知,用近似逼近精确用近似逼近精确”的重
3、要极限思想12正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积132 2、截杖问题：、截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”这个辩证的讲是有限和无限的统一，有限之中有无限。这是辩证的思想这个句子出自庄子 天下篇，是由古代哲学家庄周提出的142、数列的定义、数列的定义数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列,可看作一动可看作一动点在数轴上依次取点在数轴上依次取注意注意:x15例如例如163.3.数列的极限数列的极限播放播放173.3.数列的极限数列的极限183.3.数列的极限数列的极限193.3.数列的极限数列的极限203
4、.3.数列的极限数列的极限213.3.数列的极限数列的极限223.3.数列的极限数列的极限233.3.数列的极限数列的极限243.3.数列的极限数列的极限253.3.数列的极限数列的极限263.3.数列的极限数列的极限273.3.数列的极限数列的极限283.3.数列的极限数列的极限293.3.数列的极限数列的极限30n=31n=49n=16n=2531问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它.随着随着n的增加，的增加，1/n会越来越小会越来越小.利用距离！利用距离！通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:32随着随着n的增加，的增加，1
5、/n会越来越小会越来越小.例如例如33只要只要n无限增大，无限增大，an 就会与就会与1无限接近无限接近,引入符号引入符号 和和N来刻化无限接近和无限增大来刻化无限接近和无限增大.极限定义正是借助于极限定义正是借助于 0和和N0将无限过程划分为无限多个有限过程来刻画它的。将无限过程划分为无限多个有限过程来刻画它的。3435 数列极限的定义未给出求极限的方法，数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来验证极限的存在我们可以用定义来验证极限的存在.36例例1 1证证37例例2 2证证所以所以,说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.38EXEX证证39例例3 3证证时）
6、时）是否有是否有问题：问题：40又证又证所以所以,适当放大适当放大是关键！是关键！41注意注意:一般一般 任意变小，任意变小，N随之变大，随之变大，42几何解释几何解释“邻域式的定义邻域式的定义”43例例4 4用定义证明数列极限存在时用定义证明数列极限存在时,N不必是最小不必是最小！分析分析:44证明证明:例例4 445例例类似地可证类似地可证:分析分析:46应记住的结果：应记住的结果：当当47小结小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义.48Z 思考思考以下结论是否成立以下结论是否成立?49 将数列看成是定义在正整数集合上的函数将数列看成是定义在正整数集合上的函数 y=f(n),则其图像为平面上的点则其图像为平面上的点(n,f(n)的集合的集合.意味着意味着?Z 思考思考几何解释几何解释(2)50几何解释几何解释(2)(2)将数列看成是定义在正整数集合上将数列看成是定义在正整数集合上的函数的函数 y=f(n),则其图像为平面上的点则其图像为平面上的点(n,f(n)的集合的集合.意味着意味着:51